2020年4月开学摸底考（新课标卷）高三数学（理）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．测试范围：高中全部内容．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合，，则（ ）A． B． C． D．2．已知复数是纯虚数，则的值为（ ）A． B． C． D．3．已知，，，则下列选项正确的是（ ）A． B． C． D．4．已知函数，则的图象大致为（ ）A． B．C． D．5．在中，为上一点，是的中点，若，，则（ ）A． B． C． D．6．已知数列满足，，若，则数列的通项（ ）A． B． C． D．7．已知函数的图象经过点和.若函数在区间上有唯一零点，则实数的取值范围是（ ）A． B．C． D．8．已知，若点是抛物线上任意一点，点是圆上任意一点，则的最小值为 A．3 B．4 C．5 D．69．如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为 A． B． C． D．10．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为，大圆盘上所写的实数分别记为,如图所示.将小圆盘逆时针旋转次，每次转动，记为转动次后各区域内两数乘积之和，例如. 若， ，则以下结论正确的是A．中至少有一个为正数 B．中至少有一个为负数C．中至多有一个为正数 D．中至多有一个为负数11．已知集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合A中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为，现将组成的三个数字按从小到大排成的三位数记为（），按从大到小排成的三位数记为D（）（例如＝219，则（）＝129，D（）＝921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个，则输出b的值为（ ）A．792 B．693 C．594 D．49512．如下图，在正方体中，点分别为棱，的中点，点为上底面的中心，过三点的平面把正方体分为两部分，其中含的部分为，不含的部分为，连接和的任一点，设与平面所成角为，则的最大值为（ ）．A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数，，则________．14．已知随机变量服从正态分布，若，则__________．15．已知双曲线中，是左、右顶点，是右焦点，是虚轴的上端点．若段上（不含端点）存在不同的两点，使得，则双曲线离心率的取值范围是____________.16．四面体中，底面，，，则四面体的外接球的表面积为______三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知数列的前项和，数列满足.（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）设，数列的前项和为，求满足的的最大值.18．（本小题满分12分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数0123台数5102015以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（1）求X的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？19．（本小题满分12分）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长.20．（本小题满分12分）已知是抛物线上不同两点.（1）设直线与轴交于点，若两点所在的直线方程为，且直线恰好平分，求抛物线的标准方程.（2）若直线与轴交于点，与轴的正半轴交于点，且，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）定义：对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点.如果函数存在不动点，求实数的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）分别求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）设直线交曲线于，两点，交曲线于，两点，求的长．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知，，设函数，（I）若，求不等式的解集；（II）若函数的最小值为，证明：（）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合，，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为 ,，所以 .故选D.2．已知复数是纯虚数，则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】是纯虚数，解得：本题正确选项：3．已知，，，则下列选项正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，∵6π＞0，∴a，b，c的大小比较可以转化为的大小比较．设f（x），则f′（x），当x＝e时，f′（x）＝0，当x＞e时，f′（x）＞0，当0＜x＜e时，f′（x）＜0∴f（x）在（e，+∞）上，f（x）单调递减，∵e＜3＜π＜4∴，∴b＞c＞a，故选：D．4．已知函数，则的图象大致为（ ）A． B．C． D．【答案】A【解析】由于，排除B选项.由于，，函数单调递减，排除C选项.由于，排除D选项.故选A.5．在中，为上一点，是的中点，若，，则（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】，因为是的中点， 所以，，解得 ，.故选B.6．已知数列满足，，若，则数列的通项（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】 , ,,则 ,数列是首项为2，公比为2的等比数列， ，利用叠加法， ， ，则.选B.7．已知函数的图象经过点和.若函数在区间上有唯一零点，则实数的取值范围是（ ）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意得，，得，故，因为，，所以.由，得，因为，故，所以，从而当时，，令，则由题意得在上有唯一解，故由正弦函数图象可得或，解得.故选D8．已知，若点是抛物线上任意一点，点是圆上任意一点，则的最小值为 A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】抛物线的焦点，准线：，圆的圆心为，半径，过点作垂直准线，垂足为，由抛物线的定义可知，则，当三点共线时取最小值，．即有取得最小值4，故选B．9．如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为 A． B． C． D．【答案】D【解析】提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设5个区域依次为,分4步进行分析：，对于区域，有5种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有4种颜色可选；，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选；，对于区域，若与颜色相同，区域有3种颜色可选，若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有2种颜色可选，则区域有种选择，则不同的涂色方案有种，其中，区域涂色不相同的情况有：，对于区域，有5种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有4种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有2种颜色可选；，对于区域，若与颜色相同，区域有2种颜色可选，若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有1种颜色可选，则区域有种选择，不同的涂色方案有种，区域涂色不相同的概率为 ,故选D．10．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为，大圆盘上所写的实数分别记为,如图所示.将小圆盘逆时针旋转次，每次转动，记为转动次后各区域内两数乘积之和，例如. 若， ，则以下结论正确的是A．中至少有一个为正数 B．中至少有一个为负数C．中至多有一个为正数 D．中至多有一个为负数【答案】A【解析】根据题意可知：（）>0,又（）去掉括号即得：（）=>0,所以可知中至少有一个为正数，故选A11．已知集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合A中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为，现将组成的三个数字按从小到大排成的三位数记为（），按从大到小排成的三位数记为D（）（例如＝219，则（）＝129，D（）＝921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个，则输出b的值为（ ）A．792 B．693 C．594 D．495【答案】D【解析】试题分析：A，如果输出的值为792，则 ，不满足题意．B，如果输出的值为693，则，，不满足题意．C，如果输出的值为594，则，不满足题意．D，如果输出的值为495，则，，满足题意．故选D．12．如下图，在正方体中，点分别为棱，的中点，点为上底面的中心，过三点的平面把正方体分为两部分，其中含的部分为，不含的部分为，连接和的任一点，设与平面所成角为，则的最大值为（ ）．A． B． C． D．【答案】B【解析】连接EF，因为EF//面ABCD,所以过EFO的平面与平面ABCD的交线一定是过点O且与EF平行的直线，过点O作GH//BC交CD于点G,交AB于H点，则GH//EF,连接EH，FG,则平行四边形EFGH为截面，则五棱柱为，三棱柱EBH-FCG为，设M点为的任一点，过M点作底面的垂线，垂足为N，连接,则即为与平面所成的角，所以=α，因为sinα=,要使α的正弦最大，必须MN最大，最小，当点M与点H重合时符合题意，故sinα的最大值为=,故选B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数，，则________．【答案】【解析】因为，，且，则.故答案为-214．已知随机变量服从正态分布，若，则__________．【答案】1【解析】由正态分布的性质可得正态分布的图像对称轴为，结合题意有：.故答案为1．15．已知双曲线中，是左、右顶点，是右焦点，是虚轴的上端点．若段上（不含端点）存在不同的两点，使得，则双曲线离心率的取值范围是____________.【答案】【解析】设为半焦距，则，又，所以，以为直径的圆的方程为：，因为，，所以与线段有两个交点（不含端点），所以 即，故，解得.故填.16．四面体中，底面，，，则四面体的外接球的表面积为______【答案】【解析】如图，在四面体中，底面，，，可得，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，1，，则长方体的对角线长为，则三棱锥的外接球的半径为1．其表面积为．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知数列的前项和，数列满足.（Ⅰ）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（Ⅱ）设，数列的前项和为，求满足的的最大值.【解析】 (Ⅰ) ，当时，，，化为，，即当时,，令,可得,即.又,数列是首项和公差均为1的等差数列.于是，.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,,可得，，因为是自然数，所以的最大值为4.18．（本小题满分12分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数0123台数5102015以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（1）求X的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？【解析】（Ⅰ）所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，，，，，，，，∴的分布列为 0123456 （Ⅱ）选择延保一，所需费用元的分布列为： 70009000110001300015000 （元）.选择延保二，所需费用元的分布列为： 100001100012000 （元）.∵，∴该医院选择延保方案二较合算.19．（本小题满分12分）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长.【解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，依题意可得，又因为分别为和的中点，得.（Ⅰ）证明：依题意，可得为平面的一个法向量，，由此可得，，又因为直线平面，所以平面（Ⅱ），设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得，设为平面的一个法向量，则，又，得，不妨设，可得，因此有，于是，所以二面角的正弦值为.（Ⅲ）依题意，可设，其中，则，从而，又为平面的一个法向量，由已知得，整理得，又因为，解得，所以线段的长为.20．（本小题满分12分）已知是抛物线上不同两点.（1）设直线与轴交于点，若两点所在的直线方程为，且直线恰好平分，求抛物线的标准方程.（2）若直线与轴交于点，与轴的正半轴交于点，且，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【解析】（1）设，由，消去整理得，则， ∵直线平分， ∴，∴，即：，∴，满足，∴抛物线标准方程为．（2）由题意知，直线的斜率存在，且不为零，设直线的方程为：，由，得， ∴，∴，∵， ∴， ∵， ∴．∴直线的方程为：．假设存在直线，使得，即，作轴，轴，垂足为，∴，∵，，∴，由，得，故存在直线，使得，直线方程为．21．（本小题满分12分）已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）定义：对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点.如果函数存在不动点，求实数的取值范围.【解析】 (1)的定义域为，对于函数，①当时，即时，在恒成立.在恒成立.在为增函数；②当，即或时， 当时，由，得或，，在为增函数，减函数.为增函数，当时，由在恒成立，在为增函数。
综上，当时，在为增函数，减函数，为增函数；当时，在为增函数2），存在不动点，方程有实数根，即有解，令，，令，得，当时，单调递减； 当时，单调递增； ， 当时，有不动点，的范围为.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）分别求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）设直线交曲线于，两点，交曲线于，两点，求的长．【解析】解法一：（Ⅰ）曲线：（为参数）可化为直角坐标方程：，即，可得，所以曲线的极坐标方程为：.曲线：，即，则的直角坐标方程为：.（Ⅱ）直线的直角坐标方程为，所以的极坐标方程为.联立，得，联立，得，.解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）直线的直角坐标方程为，联立，解得，联立，解得，所以.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知，，设函数，（I）若，求不等式的解集；（II）若函数的最小值为，证明：（）【解析】（I），不等式，即当时，当时，当时，解集为（II） 。