几何图形之半角模型教学目标1. 掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系2. 掌握正方形的性质定理 1和性质定理23. 正确运用正方形的性质解题4. 通过四边形的从属关系渗透集合思想5. 通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点知识结构正方形的性质因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质（由学生 和老师一起总结）正方形性质定理1:正方形的四个角都是直角，四条边相等正方形性质定理2:正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该 定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全小结：（1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图（2 ）正方形的性质：① 正方形对边平行② 正方形四边相等③ 正方形四个角都是直角④ 正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角典型例题精讲例1 •如图，折叠正方形纸片 ABCD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG， 使 AD 2，求 AG •【解析】：作GML BD垂足为 M由题意可知/ ADG=GDM则厶 ADQA MDG••• DM=DA=2 AC=GM又易知：GM=BM而 BM=BD-DM=2 2 -2=2 (-1 ),• AG=BM=( 2 -1 ).例2 •如图，P为正方形ABCD内一点，PA PB 10,并且P点到CD边的距离也等于10，求正 方形ABCD的面积【解析】：过P作EF AB于F交DC于E .1设 PF x，则 EF 10 x, BF 丄(10 x).2由 PB2 PF2 BF2.1可得：102 X2 — (10 X)2 .4故x 6.2SABCD 16 256 .例3.如图，E、F分别为正方形 ABCD的边BC、CD上的一点， AM EF , ?垂足为M ,AM AB，则有EF BE DF，为什么【解析】：要说明EF=BE+DF只需说明BE=EM DF=FM即可，而连结AE、AF.只要能说明△ ABE^A AME △ ADF^A AMF即可.理由：连结AE AF.由 AB=AM AB丄 BC, AML EF, AE公用，• △ ABE^A AME• BE=ME同理可得，△ ADF^A AMF• DF=MF• EF=ME+MF=BE+DF例4•如下图E、F分别在正方形 ABCD的边BC、CD 上,且 EAF 45，试说明EF BE DF。
解析】：将厶ADF旋转到△ ABC则厶ADF^A ABG• AF=AG / ADF玄 BAG DF=BG•••/ EAF=45且四边形是正方形，• / ADF^Z BAE=45•••/ GA&Z BAE=45即/ GAE=45• △ AEF^A AEG( SAS• EF=EG=EB BG=E& DF例5.如图，在正方形ABCD的BC、CD边上取E、F两点，使 EAF 45o, AG EF于G •求 证：AG AB【解析】：欲证AG=AB,就图形直观来看，应证Rt △ ABE与 Rt△ AGE全等，但条件不够./ EAF=45°怎么用呢显然/ 1 + Z 2=45 °，若把它们拼在一起，问题就解决了 .【证明】：把 △ AFD绕A点旋转90°至厶AHB.•••/ EAF=45，•/ 1+Z 2=45° .•••/ 2=7 3,「./ 1 + Z 3=45° .又由旋转所得AH=AF, AE=AE.• △ AEF^A AEH.例6.⑴ 如图1,在正方形ABCD中，点E, F分别在边BC,CD 上, AE , BF 交于点 O, AOF 90 .求证：BE CF .(2)如图2,在正方形ABCD中，点E, H , F , G分别在边AB ,BC , CD , DA上, EF , GH 交于点 O, FOH 90 , EF 4.求GH的长•图21.已知点E, H , F , G分别在矩形 ABCD的边AB , BC , CD, DA上，EF , GH交于点O, FOH 90 , EF 4.直接写出下列两题的答案：① 如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成，求GH的长；② 如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成，求GH的长(用n的代数式表示)•【解析】⑴ 证明：如图1 ,•••四边形ABC助正方形,••• AB=BC / ABC/ BCD90°,/ EAB/ AEB=90° ./ EOB/A0& 90° ,/ FBG/ AEB=90°,「. / EAB：/ FBC△ ABE^A BCF, • BE=CF⑵ 解：如图2,过点A作AM如图6，点A段BG上，四边形 N图2?那么正方形⑤的面积为ABCD与DEFG都是正方形，？其边长分别为 3cm和5cm，则CDE的面积为 cm2 •⑹⑺2 •你可以依次剪 6张正方形纸片，拼成如图 7所示图形.？如果你 所拼得的图形中正方形①的面积为 1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，3. 如图9,已知正方形 ABCD的面积为35平方厘米，E、F分别为边 AB、BC上的点.AF、CE相交于G，并且 ABF的面积为14平方厘米， BCE的面积为5平方厘米，？那么四边形BEGF的面积是 •4. 如图，A、B、C三点在同一条直线上， AB 2BC。
分别以AB、BC为边作正方形 ABEF和正方形BCMN，连接FN ,EC求证：FN ECAG 于 E , BF AG 于 F .E5.如图，ABCD是正方形.G是BC上的一点，DE(1) 求证：△ ABF DAE ;(2) 求证：DE EF FB .【纵向应用】6.在正方形 ABCD中， 1 2 •1求证：OF 1 BE27.在正方形ABCD中，1 2 • AE DF ,1 求证：OG CE28.如图13, 求证：AE占八、、E为正方形FGABCD 对角线 BD 上一点,EF BC , EG CDDGC139.已知：点E、F分别正方形 ABCD中AB和BC的中点，连接 AF和DE相交于点G , GH AD于点H.一、 求证：AF DE ；二、 如果AB 2,求GH的长；三、 求证：CG CD【练习题答案】1 • 6cm •2 • 36 •3 • 4cm （面积法）4.证明：FN=EC证明：在正方形 ABEF和正方形 BCMN中,AB=BE=EF BC=BN / FEN=/ EBC=90•/ AB=2BC••• EN=BC•••△ FEN^A EBC• FN=EC5. 略6. 提示：注意到基本图形中的 AE=AF.一. 两次应用内角平分线定理和 CE=CF可证二. 过点 0作 OGII DE和 CO=CG,CF=C可证.13, 过点 0作 OHI BE, 0F= 0H= BE27. 提示：一条线段的一半或 2倍这两者的位置关系有哪两种8. 提示：延长 AE交GF于点DC,使 CH=DG连接HF,证四边形对角互补，法2 :延长FE, AE证全等三角形49. (1)略(2) — (3)作 CML DG,证 DM=AG=5专题(1) 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2) 特征：边：两组对边分别平行；四条边都相等；内角：四个角都是 90°;对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角3 )主要识别方法：1：对角线相等的菱形是正方形2:对角线互相垂直的矩形是正方形3:四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形4： 一组邻边相等的平行四边形是正方形5: 一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形依次连接四边形各边中点所得的四边形称为 中点四边形不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形正方形的中点四 边形是正方形典例精讲例1.已知：如图，P是正方形ABCD内点， PAD PDA 15 .求证：PBC是正三角形.【证明】：如下图做厶DGC使与厶ADP全等， 可得△ PDG为等边△，从而可得△ DGC^A APD^A CGP, 得出 PC=AD=DC和 / DCGM PCG= 15°所以/ DCP=30，从而得出△ PBC是正三角形ABC的外侧作正方形例2.如图，分别以 ABC的AC和BC为一边，在ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点.求证：点P到边AB的距离等于 AB的一半.【证明】：过E,C,F点分别作AB所在直线的高EGEG+ FH可得PQ=— 。
2由厶 EGA^A AIC,可得 EG=AI,由厶 BFIH^A CBI，可得 FH=BIAI + BI AB从而可得PQ= =-2 2从而得证例4.如图，四边形 ABCD为正方形，DE// AC , AE AC , AE与CD相交于F . 求证：CE CF .【证明】：顺时针旋转△ ADE到厶ABG连接CG.由于/ ABGM ADE=90+450=1350从而可得B, G, D在一条直线上，可得△ AGB^A CGB 推出AE=AG=AC=GC可得厶AGC为等边三角形/ AGB=30,既得/ EAC=30,从而可得/ A EC=75° 又/ EFC=/ DFA=45+3O0 = 750.可证：CE=CF例6.设P是正方形ABCD 一边BC上的任一点，PF AP , CF平分 DCE . 求证：PA PF .【证明】：作 FG丄CD FE丄BE,可以得出 GFEC为正方形令 AB=Y , BP=X ,CE=Z ,可得 PC=Y-X tan/ BAP=tan/ EPF=X =，可得 YZ=XY-X+XZ,Y Y- X + Z即 Z(Y-X)=X(Y-X)，既得 X=Z，得出△ PEF ,得到PA= PF，得证。
厂 J 匚B C例7.已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求 PA PB 最小值.【证明】：顺时针旋转△ BPC 60°，可得△ PBE为等边三角形既得PA+PB+PC=AP+PE+E要使最小只要 AP, PE, EF在一条直线上， 即如下图：可得最小 PA+PB+PC=AF既得 AF=g+(¥+ 1)2 =)2+ 念=)4 +严\6+巨2例8. P为正方形ABCD内的一点，并且 PAa, PB 2a , PC3a,求正方形的边长.【证明】顺时针旋转△ ABP 90°，可得如下图:既得正方形边长L =(2+『(J2ga =ga 双基训练】1. 如图，四边形 ABCD是正方形，对角线 AC、BD相交于0，四边形BEFD是菱形，若正方形的边 长为6,则菱形的面积为 .2. 如图，ABCD是正方形，E为BF上一点，四边形 AFEC?恰是一个菱形，？则 EAB = 【纵向应用】3.如图，四边形 ABCD是边长为a的正方形，点 G , E分别是边AB , BC的中点， AEF 90 , 且EF交正方形外角的平分线 CF于点F .(1) 证明： BAE FEC ;(2) 证明： AGE ECF ;(3) 求 AEF的面积.【横向拓展】4.如图，四边形 ABCD是正方形， ABE是等边三角形， M为对角线BD （不含B点）上任意一点, 将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM .⑴求证：AMB ENB ；⑵①当M点在何处时， AM CM的值最小；②当M点在何处时， AM BM CM的值最小，并说明理由； ⑶当AM BM CM的最小值为「3 1时，求正方形的边长.ADCB【练习题答案】1 . 362 •【解析】连结 BD交AC于点0,作EML AC于点M设正方形边长为 a,贝U AC=BD=AE= 2 a又••• AC// BF, BOL AC, EMLAC,1••• BO=EM= BD=a在 Rt△ AEM中，AE=”2a, EM=a• / CAE=30 .则/ EAB=15 .3. (1)证明:J/ AE=90°,• / FEC■/ AEE=90°.在 Rt△ ABE中，/ AEE+/ BAE=90°,• / BAE：/ FEC(2)证明：J G, E分别是正方形 ABC啲边AB BC的中点,• AG=GB=BE=E且/ AGE1800 - 45°=135°.又J CF是/ DCH勺平分线，/ ECF90o+45o=135o.在厶 AGENDA ECF■中,AG EC,AGE ECF 135o,GAE FEC• △ AG^A ECF(3)解：由△ AGB^ ECF 得 AE=EF 又•••/ AEF=90°,• △ AEF是等腰直角三角形.1 - 5由 AB=a BE= a,知 AE=——a,2 2• S =5a2--Sa AEF a .84.【解析】：⑴•/△ ABE是等边三角形,••• BA= BE,/ ABE= 60° .MBN 60 ° ,MBNbZ ABNkZ ABE- / ABN.即/BMA=/ NBE.又•••MB= NB• △ AMB^A ENB( SAS .⑵①当M点落在BD的中点时，A腑CM的值最小.②如图，连接CE,当M点位于BD与CE的交点处时,AW BW CM的值最小.理由如下：连接 MN由⑴知，△AMB^A ENB• AM= EN.•••/ MBN= 60 ° , MB= NB• △ BMN是等边三角形•• BM= MN.• AM+ BW CM= EN+ MW CM.根据“两点之间线段最短”，得EN+ MNF CM= EC最短EC的长.•••当M点位于BD与CE的交点处时，A腑BW CM的值最小，即等于⑶过E点作EF丄BC交CB的延长线于 F,•••/ EBF= 90 ° - 60°= 30° .设正方形的边长为 x，贝U BF=^2x, EF= X.2 2在 Rt △ EFC中，ef2+ fC= eC,•••( X) 2+( 3 X+ X)2= ,3 /.2 2解得，X= .2 (舍去负值).•••正方形的边长为.2 .。