平面向量知识点整理1、 概念向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度． 单位向量：长度等于个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量．相反向量：向量表示：几何表示法；字母a表示；坐标表示：a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：. （ 零向量：长度为的向量a＝O｜a｜＝O.【例题】1.下列命题：（1）若，则2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同3）若，则是平行四边形4）若是平行四边形，则5）若，则6）若，则其中正确的是_______ 2.已知均为单位向量，它们的夹角为，那么＝_____2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相接连端点．⑵平行四边形法则的特点：起点相同连对角．⑶三角形不等式：．⑷运算性质：①交换律：；②结合律：； ③．⑸坐标运算：设，，则．3、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设，，则．设、两点的坐标分别为，，则．【例题】（1）①___；②____； ③_____ （2）若正方形的边长为1，，则＝_____ 4、向量数乘运算：⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．①；②当时，的方向与的方向相同； 当时，的方向与的方向相反；当时，．⑵运算律：①；②；③．⑶坐标运算：设，则．【例题】（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且，则点P的坐标为_______5、向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使．设，，（）。
【例题】 (1)若向量，当＝_____时与共线且方向相同（2）已知，，，且，则x＝______6、向量垂直：.【例题】(1)已知，若，则 （2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，，则点B的坐标是______ （3）已知向量，且，则的坐标是________ 7、平面向量的数量积：⑴．零向量与任一向量的数量积为．⑵性质：设和都是非零向量，则①．②当与同向时，；当与反向时，；或．③．⑶运算律：①；②；③．⑷坐标运算：设两个非零向量，，则．若，则，或．设，，则a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y 2＝0. 则a∥ba＝λb(b≠0)x1y2＝ x2y1.设、都是非零向量，，，是与的夹角，则；（注）【例题】（1）△ABC中，，，，则_________（2）已知，与的夹角为，则等于____ （3）已知，则等于____（4）已知是两个非零向量，且，则的夹角为____（5）已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是______ （6）已知向量＝（sinx，cosx）, ＝（sinx，sinx）, ＝（－1，0）。
1）若x＝，求向量、的夹角；8、在上的投影：即，它是一个实数，但不一定大于0例题】已知，，且，则向量在向量上的投影为_____ 9、（必修五的内容）正弦定理（其中R表示三角形的外接圆半径）： （1）（2）a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC（3）余弦定理（1）=（2） （3）；②；附：△ABC的判定：△ABC为直角△∠A + ∠B =＜△ABC为钝角△∠A + ∠B＜＞△ABC为锐角△∠A + ∠B＞附：证明：，在钝角△ABC中，在△ABC中，有下列等式成立.证明：因为所以，所以，结论！三角形的四个“心”；重心：三角形三条中线交点. 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点. 非零向量与有关系是：是方向上的单位向量练习题：一、平面向量的概念及其运算1、若向量满足，则与必须满足的条件为 2、若，则等于（ ） A． B． C． D． 3、正六边形ABCDEF中，（ ）A． B． C． D．4、在边长为1的正方形ABCD中，设，则= 5、在中，已知，则等于（ ）A． B． C． D．6、在中，E、F分别是AB和AC的中点，若，则等于（ ）A． B． C． D．7、已知：向量 同向，且，则 二、平面向量的基本定理及坐标表示8、若，且，则四边形ABCD是（ ） A．是平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．不等腰梯形9、已知且，试求点和的坐标 10、已知向量，则与同向的单位向量是（ ） A． B． C． D．11、已知，则线段AB中点的坐标是 12、若三点共线，求 13、若向量与相等地，已知，则的值为（ ）A．-1 B．-1或-4 C．4 D．1或4三、平面向量的数量积14、已知，，则与的夹角等于 15、已知ABCD为菱形，则的值为 16、已知，且，则向量在方向上的投影为 17、已知向量与的夹角为，且，（1）求在方向上的投影（2）求（3）若向量与垂直，求实数的值18、已知、满足且，则 19、若，且与不共线，则与的夹角为 20、已知，若与的夹角为钝角，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．21、已知，则与的夹角为 22、已知，若点段AB的中垂线上，则= 平面向量高考经典试题一、选择题1、已知向量，，则与 A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向2、已知向量，若与垂直，则（ ） A． B． C． D．43、若向量满足，的夹角为60°，则=______；4、在中，已知是边上一点，若，则（ ）A． B． C． D．5、 若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 （ ） A． B. C. D. 6、已知平面向量，则向量（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．二、填空题1、已知向量．若向量，则实数的值是 ．2、若向量的夹角为，，则 ．3、在平面直角坐标系中，正方形的对角线的两端点分别为，，则 ．三、解答题：1、已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(，0)． (1)若，求的值；(2)若，求sin∠A的值2.已知,,当为何值时，（1）与垂直？（2）与平行？3．已知，，（）．求证： 与互相垂直； 4．已知与，问当实数的值为多少时最小。
5．已知向量，向量，则的最大值是 ．平面向量知识点整理1、概念向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度． 单位向量：长度等于个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量．相反向量：向量表示：几何表示法；字母a表示；坐标表示：a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.向量的模：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：. （ 零向量：长度为的向量a＝O｜a｜＝O.【例题】1.下列命题：（1）若，则2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同3）若，则是平行四边形4）若是平行四边形，则5）若，则6）若，则其中正确的是_______（答：（4）（5））2.已知均为单位向量，它们的夹角为，那么＝_____（答：）； 2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相接连端点．⑵平行四边形法则的特点：起点相同连对角．⑶三角形不等式：．⑷运算性质：①交换律：；②结合律：； ③．⑸坐标运算：设，，则．3、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设，，则．设、两点的坐标分别为，，则．【例题】（1）①___；②____； ③_____ （答：①；②；③）；（2）若正方形的边长为1，，则＝_____（答：）；（3）已知作用在点的三个力，则合力的终点坐标是 （答：（9,1））4、向量数乘运算：⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．①；②当时，的方向与的方向相同； 当时，的方向与的方向相反；当时，．⑵运算律：①；②；③．⑶坐标运算：设，则．【例题】（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且，则点P的坐标为_______（答：）；5、向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使．设，，（）。
【例题】 (1)若向量，当＝_____时与共线且方向相同（答：2）；（2）已知，，，且，则x＝______（答：4）；6、向量垂直：.【例题】(1)已知，若，则 （答：）； （2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，，则点B的坐标是________ （答：(1,3)或（3，－1））； （3）已知向量，且，则的坐标是________ （答：）7、平面向量的数量积：⑴．零向量与任一向量的数量积为．⑵性质：设和都是非零向量，则①．②当与同向时，；当与反向时，；或．③．⑶运算律：①；②；③．⑷坐标运算：设两个非零向量，，则．若，则，或．设，，则a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y 2＝0. 则a∥ba＝λb(b≠0)x1y2＝ x2y1.设、都是非零向量，，，是与的夹角，则；（注）【例题】（1）△ABC中，，，，则_________（答：－9）；（2）已知，与的夹角为，则等于____ （答：1）；（3）已知，则等于____（答：）；（4）已知是两个非零向量，且，则的夹角为____（答：）（5）已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是______ （答：或且）；（6）已知向量＝（sinx，cosx）, ＝（sinx，sinx）, ＝（－1，0）。
1）若x＝，求向量、的夹角；（答：150°）；8、在上的投影：即，它是一个实数，但不一定大于0例题】已知，，且，则向量在向量上的投影为_____ （答：)9、（必修五的内容）正弦定理（其中R表示三角形的外接圆半径）： （1）（2）a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC（3）余弦定理（1）=（2） （3）；②；附：△ABC的判定：△ABC为直角△∠A + ∠B =＜△ABC为钝角△∠A + ∠B＜＞△ABC为锐角△∠A + ∠B＞附：证明：，在钝角△ABC中，在△ABC中，有下列等式成立.证明：因为所以，所以，结论！三角形的四个“心”；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点. 非零向量与有关系是：是方向上的单位向量练习题：一、平面向量的概念及其运算1、若向量满足，则与必须满足的条件为 方向相同 2、若，则等于（ B ） A． B． C． D． 3、正六边形ABCDEF中，（ D ）A． B． C． D．4、在边长为1的正方形ABCD中，设，则= 2 5、在中，已知，则等于（ A ）A． B． C． D．6、在中，E、F分别是AB和AC的中点，若，则等于（ C ）A． B． C． D．7、已知：向量 同向，且，则 1 二、平面向量的基本定理及坐标表示8、若，且，则四边形ABCD是（ C ） A．是平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．不等腰梯形9、已知且，试求点和的坐标 199页（答案：）10、已知向量，则与同向的单位向量是（ A ） A． B． C． D．11、已知，则线段AB中点的坐标是 （1，2） 12、若三点共线，求 （答案：） 13、若向量与相等地，已知，则的值为（ A ）A．-1 B．-1或-4 C．4 D．1或4三、平面向量的数量积14、已知，，则与的夹角等于 15、已知ABCD为菱形，则的值为 0 16、已知，且，则向量在方向上的投影为 17、已知向量与的夹角为，且，（1）求在方向上的投影（2）求（3）若向量与垂直，求实数的值（答案：（1）-2，（2），（3））18、已知、满足且，则 19、若，且与不共线，则与的夹角为20、已知，若与的夹角为钝角，则 的取值范围是（ A ）A． B． C． D．21、已知，则与的夹角为22、已知，若点段AB的中垂线上，则= 平面向量高考经典试题一、选择题1．已知向量，，则与 A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向2、已知向量，若与垂直，则（ ） A． B． C． D．43、若向量满足，的夹角为60°，则=______；4、在中，已知是边上一点，若，则（ ）A． B． C． D．6、 若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 （ ） A． B. C. D. 6、已知平面向量，则向量（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．二、填空题1、已知向量．若向量，则实数的值是 ．2、若向量的夹角为，，则 ．3、在平面直角坐标系中，正方形的对角线的两端点分别为，，则 ．三、解答题：1、已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(，0)． (1)若，求的值；(2)若，求sin∠A的值2.已知,,当为何值时，（1）与垂直？（2）与平行？3．已知，，（）．求证： 与互相垂直； 4．已知与，问当实数的值为多少时最小。
5．已知向量，向量，则的最大值是 ．6、在中，角的对边分别为．（1）求；（2）若，且，求．7、在中，分别是三个内角的对边．若，，求的面积．8、设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，，求b．9、在中，，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若最大边的边长为，求最小边的边长．答案选择题1、A. 已知向量，，，则与垂直 2、C ，由与垂直可得： ， 3、 解析：，4、A 在∆ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则=，∴ l=5、B 由向量的减法知6、D 填空题1、解析：已知向量．量，，则2+λ+4+λ=0，实数=－3．2、【解析】3、解析：解答题1、解: (1) 由 得 (2) 2.已知,,当为何值时，（1）与垂直？（2）与平行？3．已知，，（）．求证： 与互相垂直； 4．已知与，问当实数的值为多少时最小5．已知向量，向量，则的最大值是 ．6、解：（1） 又 解得． ，是锐角． ．（2）， ， ． 又 ． ． ． ．7、解： 由题意，得为锐角，， ， 由正弦定理得 ， ． 8、解：（Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以，由为锐角三角形得．（Ⅱ）根据余弦定理，得．所以，．9、本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分．解：（Ⅰ），． 又，．（Ⅱ），边最大，即．又，角最小，边为最小边．由且，得．由得：．所以，最小边．。