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必修四平面向量知识点整理+例题+练习+答案

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必修四平面向量知识点整理+例题+练习+答案_第1页
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平面向量知识点整理1、 概念向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量.有向线段的三要素:起点、方向、长度. 单位向量:长度等于个单位的向量.平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.相等向量:长度相等且方向相同的向量.相反向量:向量表示:几何表示法;字母a表示;坐标表示:a=xi+yj=(x,y).向量的模:设,则有向线段的长度叫做向量的长度或模,记作:. ( 零向量:长度为的向量a=O|a|=O.【例题】1.下列命题:(1)若,则2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同3)若,则是平行四边形4)若是平行四边形,则5)若,则6)若,则其中正确的是_______ 2.已知均为单位向量,它们的夹角为,那么=_____2、向量加法运算:⑴三角形法则的特点:首尾相接连端点.⑵平行四边形法则的特点:起点相同连对角.⑶三角形不等式:.⑷运算性质:①交换律:;②结合律:; ③.⑸坐标运算:设,,则.3、向量减法运算:⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.⑵坐标运算:设,,则.设、两点的坐标分别为,,则.【例题】(1)①___;②____; ③_____ (2)若正方形的边长为1,,则=_____ 4、向量数乘运算:⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作.①;②当时,的方向与的方向相同; 当时,的方向与的方向相反;当时,.⑵运算律:①;②;③.⑶坐标运算:设,则.【例题】(1)若M(-3,-2),N(6,-1),且,则点P的坐标为_______5、向量共线定理:向量与共线,当且仅当有唯一一个实数,使.设,,()。

【例题】 (1)若向量,当=_____时与共线且方向相同(2)已知,,,且,则x=______6、向量垂直:.【例题】(1)已知,若,则 (2)以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,,则点B的坐标是______ (3)已知向量,且,则的坐标是________ 7、平面向量的数量积:⑴.零向量与任一向量的数量积为.⑵性质:设和都是非零向量,则①.②当与同向时,;当与反向时,;或.③.⑶运算律:①;②;③.⑷坐标运算:设两个非零向量,,则.若,则,或.设,,则a⊥ba·b=0x1x2+y1y2=0. 则a∥ba=λb(b≠0)x1y2= x2y1.设、都是非零向量,,,是与的夹角,则;(注)【例题】(1)△ABC中,,,,则_________(2)已知,与的夹角为,则等于____ (3)已知,则等于____(4)已知是两个非零向量,且,则的夹角为____(5)已知,,如果与的夹角为锐角,则的取值范围是______ (6)已知向量=(sinx,cosx), =(sinx,sinx), =(-1,0)。

1)若x=,求向量、的夹角;8、在上的投影:即,它是一个实数,但不一定大于0例题】已知,,且,则向量在向量上的投影为_____ 9、(必修五的内容)正弦定理(其中R表示三角形的外接圆半径): (1)(2)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(3)余弦定理(1)=(2) (3);②;附:△ABC的判定:△ABC为直角△∠A + ∠B =<△ABC为钝角△∠A + ∠B<>△ABC为锐角△∠A + ∠B>附:证明:,在钝角△ABC中,在△ABC中,有下列等式成立.证明:因为所以,所以,结论!三角形的四个“心”;重心:三角形三条中线交点. 外心:三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心:三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心:三角形三边上的高相交于一点. 非零向量与有关系是:是方向上的单位向量练习题:一、平面向量的概念及其运算1、若向量满足,则与必须满足的条件为 2、若,则等于( ) A. B. C. D. 3、正六边形ABCDEF中,( )A. B. C. D.4、在边长为1的正方形ABCD中,设,则= 5、在中,已知,则等于( )A. B. C. D.6、在中,E、F分别是AB和AC的中点,若,则等于( )A. B. C. D.7、已知:向量 同向,且,则 二、平面向量的基本定理及坐标表示8、若,且,则四边形ABCD是( ) A.是平行四边形 B.菱形 C.等腰梯形 D.不等腰梯形9、已知且,试求点和的坐标 10、已知向量,则与同向的单位向量是( ) A. B. C. D.11、已知,则线段AB中点的坐标是 12、若三点共线,求 13、若向量与相等地,已知,则的值为( )A.-1 B.-1或-4 C.4 D.1或4三、平面向量的数量积14、已知,,则与的夹角等于 15、已知ABCD为菱形,则的值为 16、已知,且,则向量在方向上的投影为 17、已知向量与的夹角为,且,(1)求在方向上的投影(2)求(3)若向量与垂直,求实数的值18、已知、满足且,则 19、若,且与不共线,则与的夹角为 20、已知,若与的夹角为钝角,则 的取值范围是( )A. B. C. D.21、已知,则与的夹角为 22、已知,若点段AB的中垂线上,则= 平面向量高考经典试题一、选择题1、已知向量,,则与 A.垂直 B.不垂直也不平行 C.平行且同向 D.平行且反向2、已知向量,若与垂直,则( ) A. B. C. D.43、若向量满足,的夹角为60°,则=______;4、在中,已知是边上一点,若,则( )A. B. C. D.5、 若O、E、F是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是 ( )  A.      B.  C.   D. 6、已知平面向量,则向量(  ) A. B. C. D.二、填空题1、已知向量.若向量,则实数的值是 .2、若向量的夹角为,,则 .3、在平面直角坐标系中,正方形的对角线的两端点分别为,,则 .三、解答题:1、已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(,0). (1)若,求的值;(2)若,求sin∠A的值2.已知,,当为何值时,(1)与垂直?(2)与平行?3.已知,,().求证: 与互相垂直; 4.已知与,问当实数的值为多少时最小。

5.已知向量,向量,则的最大值是 .平面向量知识点整理1、概念向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量.有向线段的三要素:起点、方向、长度. 单位向量:长度等于个单位的向量.平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.相等向量:长度相等且方向相同的向量.相反向量:向量表示:几何表示法;字母a表示;坐标表示:a=xi+yj=(x,y).向量的模:设,则有向线段的长度叫做向量的长度或模,记作:. ( 零向量:长度为的向量a=O|a|=O.【例题】1.下列命题:(1)若,则2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同3)若,则是平行四边形4)若是平行四边形,则5)若,则6)若,则其中正确的是_______(答:(4)(5))2.已知均为单位向量,它们的夹角为,那么=_____(答:); 2、向量加法运算:⑴三角形法则的特点:首尾相接连端点.⑵平行四边形法则的特点:起点相同连对角.⑶三角形不等式:.⑷运算性质:①交换律:;②结合律:; ③.⑸坐标运算:设,,则.3、向量减法运算:⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.⑵坐标运算:设,,则.设、两点的坐标分别为,,则.【例题】(1)①___;②____; ③_____ (答:①;②;③);(2)若正方形的边长为1,,则=_____(答:);(3)已知作用在点的三个力,则合力的终点坐标是 (答:(9,1))4、向量数乘运算:⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作.①;②当时,的方向与的方向相同; 当时,的方向与的方向相反;当时,.⑵运算律:①;②;③.⑶坐标运算:设,则.【例题】(1)若M(-3,-2),N(6,-1),且,则点P的坐标为_______(答:);5、向量共线定理:向量与共线,当且仅当有唯一一个实数,使.设,,()。

【例题】 (1)若向量,当=_____时与共线且方向相同(答:2);(2)已知,,,且,则x=______(答:4);6、向量垂直:.【例题】(1)已知,若,则 (答:); (2)以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,,则点B的坐标是________ (答:(1,3)或(3,-1)); (3)已知向量,且,则的坐标是________ (答:)7、平面向量的数量积:⑴.零向量与任一向量的数量积为.⑵性质:设和都是非零向量,则①.②当与同向时,;当与反向时,;或.③.⑶运算律:①;②;③.⑷坐标运算:设两个非零向量,,则.若,则,或.设,,则a⊥ba·b=0x1x2+y1y2=0. 则a∥ba=λb(b≠0)x1y2= x2y1.设、都是非零向量,,,是与的夹角,则;(注)【例题】(1)△ABC中,,,,则_________(答:-9);(2)已知,与的夹角为,则等于____ (答:1);(3)已知,则等于____(答:);(4)已知是两个非零向量,且,则的夹角为____(答:)(5)已知,,如果与的夹角为锐角,则的取值范围是______ (答:或且);(6)已知向量=(sinx,cosx), =(sinx,sinx), =(-1,0)。

1)若x=,求向量、的夹角;(答:150°);8、在上的投影:即,它是一个实数,但不一定大于0例题】已知,,且,则向量在向量上的投影为_____ (答:)9、(必修五的内容)正弦定理(其中R表示三角形的外接圆半径): (1)(2)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(3)余弦定理(1)=(2) (3);②;附:△ABC的判定:△ABC为直角△∠A + ∠B =<△ABC为钝角△∠A + ∠B<>△ABC为锐角△∠A + ∠B>附:证明:,在钝角△ABC中,在△ABC中,有下列等式成立.证明:因为所以,所以,结论!三角形的四个“心”;重心:三角形三条中线交点.外心:三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心:三角形三内角的平分线相交于一点.垂心:三角形三边上的高相交于一点. 非零向量与有关系是:是方向上的单位向量练习题:一、平面向量的概念及其运算1、若向量满足,则与必须满足的条件为 方向相同 2、若,则等于( B ) A. B. C. D. 3、正六边形ABCDEF中,( D )A. B. C. D.4、在边长为1的正方形ABCD中,设,则= 2 5、在中,已知,则等于( A )A. B. C. D.6、在中,E、F分别是AB和AC的中点,若,则等于( C )A. B. C. D.7、已知:向量 同向,且,则 1 二、平面向量的基本定理及坐标表示8、若,且,则四边形ABCD是( C ) A.是平行四边形 B.菱形 C.等腰梯形 D.不等腰梯形9、已知且,试求点和的坐标 199页(答案:)10、已知向量,则与同向的单位向量是( A ) A. B. C. D.11、已知,则线段AB中点的坐标是 (1,2) 12、若三点共线,求 (答案:) 13、若向量与相等地,已知,则的值为( A )A.-1 B.-1或-4 C.4 D.1或4三、平面向量的数量积14、已知,,则与的夹角等于 15、已知ABCD为菱形,则的值为 0 16、已知,且,则向量在方向上的投影为 17、已知向量与的夹角为,且,(1)求在方向上的投影(2)求(3)若向量与垂直,求实数的值(答案:(1)-2,(2),(3))18、已知、满足且,则 19、若,且与不共线,则与的夹角为20、已知,若与的夹角为钝角,则 的取值范围是( A )A. B. C. D.21、已知,则与的夹角为22、已知,若点段AB的中垂线上,则= 平面向量高考经典试题一、选择题1.已知向量,,则与 A.垂直 B.不垂直也不平行 C.平行且同向 D.平行且反向2、已知向量,若与垂直,则( ) A. B. C. D.43、若向量满足,的夹角为60°,则=______;4、在中,已知是边上一点,若,则( )A. B. C. D.6、 若O、E、F是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是 ( )  A.      B.  C.   D. 6、已知平面向量,则向量(  ) A. B. C. D.二、填空题1、已知向量.若向量,则实数的值是 .2、若向量的夹角为,,则 .3、在平面直角坐标系中,正方形的对角线的两端点分别为,,则 .三、解答题:1、已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(,0). (1)若,求的值;(2)若,求sin∠A的值2.已知,,当为何值时,(1)与垂直?(2)与平行?3.已知,,().求证: 与互相垂直; 4.已知与,问当实数的值为多少时最小。

5.已知向量,向量,则的最大值是 .6、在中,角的对边分别为.(1)求;(2)若,且,求.7、在中,分别是三个内角的对边.若,,求的面积.8、设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,.(Ⅰ)求B的大小;(Ⅱ)若,,求b.9、在中,,.(Ⅰ)求角的大小;(Ⅱ)若最大边的边长为,求最小边的边长.答案选择题1、A. 已知向量,,,则与垂直 2、C ,由与垂直可得: , 3、 解析:,4、A 在∆ABC中,已知D是AB边上一点,若=2,=,则=,∴ l=5、B 由向量的减法知6、D 填空题1、解析:已知向量.量,,则2+λ+4+λ=0,实数=-3.2、【解析】3、解析:解答题1、解: (1) 由 得 (2) 2.已知,,当为何值时,(1)与垂直?(2)与平行?3.已知,,().求证: 与互相垂直; 4.已知与,问当实数的值为多少时最小5.已知向量,向量,则的最大值是 .6、解:(1) 又 解得. ,是锐角. .(2), , . 又 . . . .7、解: 由题意,得为锐角,, , 由正弦定理得 , . 8、解:(Ⅰ)由,根据正弦定理得,所以,由为锐角三角形得.(Ⅱ)根据余弦定理,得.所以,.9、本小题主要考查两角和差公式,用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力,满分12分.解:(Ⅰ),. 又,.(Ⅱ),边最大,即.又,角最小,边为最小边.由且,得.由得:.所以,最小边.。

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