西安理工大学 本科生毕业设计（论文）文献综述 题 目： 基于蚁群算法的旅行商问题求解 姓 名： 学 号： 学 院： 理学院 专 业： 信息与计算科学 年 级： 2012级 指导教师： 2016 年 4 月 28 日基于蚁群算法的旅行商问题求解毕业设计文献综述 摘要本文综述了有关蚁群算法和旅行商问题的相关理论首先阐述了该算法的基本原理和算法模型，然后给出了在旅行商问题中的理论和应用的具体过程，最后对问题进行总结关键词：蚁群算法；旅行商问题；算法模型；综述；Abstract: This paper reviews the theories about the ant colony algorithm and the Traveling Salesman Problem. Firstly describes the basic principle and algorithm model of the algorithm, and then gives a specific process in the traveling salesman problem in theory and application, and finally to summarize the problem. Key words: ant colony algorithm; algorithm model; traveling salesman problem一、课题的背景及意义1. 旅行商问题旅行商问题( Traveling Salesman Problem, 简称TSP)是一个经典的NP难题，也是组合优化中研究最多的问题之一，它解决如何找到一条从一个城市出发经过若干个城市后又返回原城市的最短路径。
城市管道铺设优化、物流业的车辆调度、制造业中的切割路径优化等，现实生活中的优化问题都可以归结为TSP问题进行求解寻找一种有效的解决该问题的算法，具有重要的现实意义TSP的历史很久，最早的描述是1759年欧拉研究的骑士周游问题，即对于国际象棋棋盘中的64个方格，走访64个方格一次且仅一次，并且最终返回到起始点TSP由美国RAND公司于1948年引入，该公司的声誉以及线性规划这一新方法的出现使得TSP成为一个知名且流行的问题2. 蚁群算法 蚁群算法(Ant Colony Algorithm,简称 ACA)是由意大利学者Dorigo. M等人首先提出来的一种新型的模拟进化算法其主要特点就是：通过正反馈、分布式协作来寻找最优路径这是一种基于种群寻优的启发式搜索算法它充分利用了生物蚁群能通过个体间简单的信息传递，搜索从蚁穴至食物间最短路径的集体寻优特征，以及该过程与旅行商问题求解之间的相似性，得到了具有 NP难度的旅行商问题的最优解答同时，该算法还被用于求解 Job-Shop调度问题、二次指派问题以及背包问题等，显示了其适用于组合优化类问题求解的优越特征该算法采用了分布式并行计算机制，易于与其他方法结合，而且具有强的鲁棒性，是求解TSP问题的一种理想方法。
算法的主要思想为：模拟蚂蚁觅食行为蚂蚁在运行过程中会释放一种特殊的分泌物--信息素来寻找路径信息素会随着时间消减，后面的蚂蚁选择信息素多的路径，这样便形成了一个正反馈机制在整个寻径过程中,虽然单只蚂蚁的选择能力有限，但它们的行为具有非常高的自组织性，相互之间交换路径，最终寻找到最优路径二、国内外研究的发展历程及现状1.旅行商问题1.1 TSP 问题数学模型TSP 在图论意义下常常被称为最小 Hamilton 回路Hamilton 回路最早由天文学家哈密顿(William Rowan Hamilton)提出，指的是在一个有多个城市的地图网络中，寻找一条从给定的起点到给定的终点沿途恰好经过所有其他城市一次的路径Euler等人最早研究了该问题的这个问题从字面意义上很好理解，但却是延续至今的一个世界难题 这里用数学语言描述 TSP此处首先引入赋权图，赋权图是指每条边都有一个非负实数对应的图这个实数称为这条边的权赋权图在实际问题中非常有用根据不同的实际情况，权数的含义可以各不相同例如，可用权数代表两地之间的实际距离或行车时间，也可用权数代表某工序所需的加工时间等记为赋权图，为顶点集，为边集，各顶点间的距离已知。
设 则经典的 TSP 问题可写为如下的数学规划模型 上式中， 为集合S中所含图的顶点集约束（a）和约束（b）意味着对每个点来说，仅有一条边进和一条边出；约束（c）则说明了没有任何子回路于是，满足上面三个约束条件的解就构成了一条 Hamilton 回路1.2 TSP 问题分类 经过多年的研究与发展，TSP 问题已经从单一的简单 TSP 问题扩展到现在的多种形式如接上一节的描述，当 时，这时的 TSP 称为对称型 TSP从对问题的限制条件上看，TSP主要有下面几种类型：第一种，就是没有任何限制条件的，就是给出距离矩阵，求出最短路径第二种，要求满足三角形不等式的，即满足对所有的，有不等式成立，称为三角形 TSP一般情况下，现实问题大部分都是满足三角不等式的，可以说三角形不等式 TSP 是 TSP 问题的主要形式 第三种，就是在欧式平面上的 TSP它是以欧式平面上的坐标和欧式距离来定义的城市之间的距离TSP 问题还能扩展为很多别的问题，如多旅行商问题，即由多人完成巡回的 TSP还有就是多目标旅行商问题，该问题在每条边上都有权值，权值有 n 个，要使得这 n 个目标值都尽可能小的解就是多目标旅行商问题。
这在现实情况中很常见，如要求考虑路程最短、时间最少，风险最低等因素1.3 求解 TSP 问题方法前面章节已经提到，求解 TSP 问题方法很多，主要分为经典方法和仿生优化算法其中经典方法有精确型算法和启发式算法仿生优化算法最著名的有遗传算法、模拟退火算法和蚁群算法等求解 TSP 问题的精确型算法从其本质上说就是一种指数级算法，在实际情况中应用较少，但精确型算法有其理论上的意义精确型算法分为线性规划算法、动态规划算法、分支界定算法早在上世纪五十年代，线性规划算法就用于求解 TSP 问题，所以说线性规划算法应该是最早求解 TSP 问题的算法线性规划法主要是割平面算法，首先不考虑整数约束，寻求问题最佳的解决方案，若得到整数的最佳解决方案则停止求解若得到的最优解不符合整数约束，需要基于非整数解添加新的约束并重新求解这样就能逐步收敛到最优解 启发式算法是一类特殊的算法，这种算法是在多项式时间内能够找到满足需要的解的算法启发式算法有最近邻算法、插入式算法、最小树算法、r-opt 算法和混合改进型算法等 （1）用遗传算法求解 TSP 用遗传算法（GA）求解 TSP 问题时，需要完成四个主要步骤：首先确定表示的方法；接着确定适值度量；再次确定控制算法的参数和变量；最后确定指定结果的方法和停止运行的指令。
Rudolph 证明了若 GA 用杰出个体保护策略，则算法能够逐渐收敛到全局最优解一般为了改进求解效果，会考虑使用遗传算法和别的算法相结合，比如讲遗传算法和模拟退火算法相结合 （2）用模拟退火算法求解 TSP 模拟退火算法（SA）从一定意义上说是局部搜索策略，对 TSP 来说，一个解的状态就是顶点集V 的排列，其邻域状态的生成方法有很多种，如任意取其中的两点，然后将其交换位置以得出新的排列，这种交换的方法在随机选取交换位置的情况下具有遍历性常见的几种基本形式有：相邻两城市互换（H1—1 2 3 4 5 6 7 8 9 10，H2—1 2 3 4 6 5 7 8 9 10），两城市互换（H1—1 2 3 4 5 6 7 8 9 10，H2—1 2 7 4 5 6 3 8 9 10），单城市互换（H1—1 2 3 4 5 6 7 8 9 10，H2—1 2 6 3 4 5 7 8 9 10），城市子排序移位（H1—1 2 3 4 5 6 7 8 9 10，H2—1 2 7 8 3 4 5 6 9 10），城市子排序反序（H1—1 2 3 4 5 6 7 8 9 10，H2—1 2 6 5 4 3 7 8 9 10）等。
3）用蚁群算法求解 TSP 用蚁群算法求解 TSP 的运行效果受算法的参数影响在基本的蚁群算法的基础上，可以结合其他启发式算法，从而形成各种不同的混合搜索算法，最经典的就是嵌入局部搜索法，其主要思想是在各个蚂蚁形成自己的路线之后，用局部调整方法（2-opt 法、3-opt法等）来加以优化改进，这样就能结合各个方法的优点，在较少的迭代次数内得到更好的结果2. 蚁群算法2.1 几个典型的蚁群算法 这里，我们仅讨论与TSP问题相关的蚁群算法在蚁群算法研究及实现中，并不是直接模拟现实蚁群，而是采用人工蚂蚁(artificial ant)人工蚁群与现实蚁群的区别主要包括: (1)人工蚂蚁是有一定的记忆能力的，它可以记住已经走过的路径，以保 证不会重复走相同的城市现实的蚁群是没有记忆的，蚂蚁问的信息交换主要依靠留在所经过路径上的信息素 (2)人工蚂蚁不仅仅是依据信息素来确定要走的路径的，还依据一定的启发信息，比如相邻边的长度，这意味着人工蚂蚁具有一定的视觉能力，而真实蚂蚁几乎没有视觉 (3)人工蚂蚁是生活在一个离散的时间环境下的 我们仅考虑人工蚂蚁位于某个城市，而不考虑蚂蚁在城市间的移动过程，即只考虑在某些离散时间点上的蚂蚁。
而现实世界中的蚂蚁处于一个连续的时间维中2.1 蚂蚁系统 (Ant System)蚂蚁系统是第一个蚁群算法，它是M. Dodge等人于1991年首先提出来的蚂蚁系统有三种基本模型，分别是蚁周模型、蚁密模型、蚁量模型 三种模型的实现大致相同，主要区别是在信息素的更新方式上在用蚂蚁系统解决TSP问题时，蚁量模型和蚁密模型是蚂蚁在构建一条合法路径的过程中进行信息素的更新的，当蚂蚁走过一条边之后，就对该边进行信息素的更新，后文将这种更新称为局部更新而蚁周模型是在所有蚂蚁都构建了一条合法路径之后才对各边进行信息素更新的，后文将这种更新称为全局更新，并且三者在蚂蚁释放信息素的量上面也不同蚁密模型中，蚂蚁在自己所走过的边上所释放的信息素是一个常量，而蚁量模型中，蚂蚁在自己所走过的边上释放的信息素，其中是一个常量，而是蚂蚁走过边的长度蚁周模型中蚂蚁释放信息素的量在后文说明 由于蚁周模型是三种模型中性能最好的，下面主要从蚁周模型的角度来讨论 蚂蚁系统 蚂蚁系统的基本思想是 ：(1)预先初始化各边信息素强度以及各蚂蚁的禁忌表 各蚂蚁按照一定的概率规则，在禁忌表的制约下选择下一个要到达的结点，直到最终形成一条合法路径。
2)计算各蚂蚁所产生的路径长度，路径长度是路径中各边长度之和3)更新各边的信息素各边先进行信息素挥发操作，然后根据各蚂蚁产生的路径长度获取蚂蚁所释放的信息素4)当所有蚂蚁均完成了信息素的更新操作之后，记录当前的最短路径，并且对禁忌表以及信息素的增加值进行初始化，并转到步骤2依此循环下去，直到满足算法的终了条件为止，比如解无法得到进一步的改进或者达到了事先规定的循环次数 蚂蚁系统具体包括了以下三个方面的内容 第一 、初始化对于每条边上的信息素初始化为一个较小的数值；对每只蚂蚁，需要一个禁忌表记录自己已经走过的结点，初始化其禁忌表为该蚂蚁所在的结点，禁忌表长度为1蚂蚁在各边上释放信息素的量被初始化为0 第二、蚂蚁构造路径蚂蚁按照一定的概率确定下一步要到达的城市概率的计算如式 式表示蚂蚁在 时刻由城市选择城市的概率是信息素在概率计算中的权重，它的值越大，信息素在蚂蚁选择下一个要到的城市中起到的作用越大 是启发因子(在TSP 问题中常以的倒数来表示) 在概率计算中所占的权重，它的值越大，启发因子在蚂蚁选择城市的过程中所起的作用越大Allowed是不在蚂蚁禁忌表中的城市集合式说明，蚂蚁不会选择禁忌表中的城市，这样就保证了解的合法性。
第三、对信息素的操作在蚁周模型中，当所有的蚂蚁都找到了一条合法路径之后，就进行信息素的更新，如式 其中，表示在时刻边上的信息素是信息素维持因子，是信息素的挥发因子是所有蚂蚁在边上所释放的信息素的总和，如式 其中是蚂蚁的数量，是蚂蚁在到时间内在边上所释放的信息素， 大部分的蚁群算法都是在蚂蚁系统的基础上发展而来的它们都是将蚂蚁系统与具体问题相结合，并且在蚂蚁系统的基础之上引入一些新的控制机制故通常都是把蚂蚁系统认为是蚁群算法的先驱与研究的基础2．2 蚁群系统 蚂蚁系统(Ant Colony System ，ACS)是第一个蚁群算法，在解决规模较小的 TSP问题的时候效果很好，但是随着问题的规模扩大，蚂蚁系统就会出现收敛速度过慢的问题在1996年，M. Dorigo在蚂蚁系统的基础之上又提出了蚁群系统蚁群系统的基本思想是：将只蚂蚁按照一定的规则(随机)放于个结点每一只蚂蚁通过伪随机规则，也称状态转移规则创建一条合法路径在创建路径的过程中，每一只蚂蚁通过局部更新规则对自己所走过的边进行信息素的更新操作当所有的蚂蚁都完成了路径的构造之后，再对最佳路径上的边进行信息素的全局更新 蚁群系统较蚂蚁系统改进的地方主要体现在三个方面。
第一 、蚁群系统全局更新时仅针对当前最好路径上的边进行，更新规则如 式所示 其中，是信息素衰退因子，是当前最好路径长度的倒数 第二 、蚁群系统在蚂蚁创建路径的过程中所使用的状态转移规则不同于蚂 蚁系统，如式所示 其中，是一个随机数，是一个常量，它在算法的求解效率与算法的运行效率之间起平衡作用 一般地，想使算法收敛于全局最优解，获得较高 的求解效率就务必要求搜索范围尽可能地大，不能局限在已有路径这个空间周围 ，而这不可避免就使得算法的运行效率降低反之，假如 要想算法的运行速度加快，获得满意的运行效率，那么算法的搜索空间就不能太大，这样使得算法有收敛于局部最优解的风险蚁群系统的做法是：当时，则增强已有的较好的路径上的信息素 ，即选择当前转移概率最大的那个城市 而当时，就按照蚂蚁系统中的选路方式来选择下一个要到的城市，以扩大搜索空间这样做的优点是在保障算法求解效率的基础上同时又提高了算法的运行效率 第三、蚁群系统在对信息素更新时，除了进行全局更新，还要进行信息素的局部更新局部更新如式所示 其中，M．Dorige在文中给出了三种可能的取值：一是依据学习()方法取值为，其中，，依据这种方法而得出的蚁群系统称之为Ant-Q算法。
另外两种可能的取值是让取值为0或者为实验表明， 按学习方法取值和让为在性能上差异不大，并且较为0时优越又由于取值为时计算量小，所以常被设置为 在关于蚁群系统的后续研究中，ACS 引入了局部搜索(Local Search)策略 ，它使用restrict 3-opt，这个搜索策略可以同时满足ATSP 和 STSP 两类问题，并且可以明显提高算法的性能 实验研究表明，ACS 在解决规模较大的TSP问题时，可以取得比较令人满意的结果2．3 最大-最小蚂蚁系统 在1997年，T．Stutzle 等人在对蚂蚁系统的实验分析以及应用研究中，提出了最大-最小蚂蚁系统(Max-Min Ant System，MMAS) 最大-最小蚂蚁系统的基本思路是：在算法中，将各边上的信息素的浓度控制在范围之内，和是算法中信息素所能够取值的下限值和上限值在算法的初始化的时候，将各边的信息素的数值初始化为信息素 的上限数值最大-最小蚂蚁系统会增强当前循环中最优路径上的信息素强度而另外边上的信息素由于挥发作用而进一步地减少，这样就加剧了各边信息素的差异，提高了算法的运行效率但是这样可能会导致解过快收敛于一个局部最优解。
为了避免出现这种情况，算法中引入了平滑机制 MMAS在蚂蚁系统的基础之上最主要的改进包括以下四个方面 第一 、算法只对当前循环中所产生的最短路径进行信息素的更新操作，这样做的目的是使得算法在最短路径附近搜索，从而逐步找出全局最解这与ACS中选择更新路径有区别，MMAS 是选择当前循环的最佳路径进行更新，它仅仅考虑当前循环中所产生的所有路径而ACS是考虑算法运行至今所产生的所有的路径前者称为 (solution of iteration best)，后者常(solutionof global best)来表示 第二、为了避免算法过快地收敛于局部最优解，MMAS将各边上信息素的量控制在一个比较固定的范围之内，分别用,来表示，这也是算法的主要特点，算法的名称也由此而来具体的控制方法是：当目前边上的信息素的值已经超过时，就把该边上信息素的数值定为，如果某边上的信息素的数值比都还小时，就把该边上的信息素的数值定为 文中给出了的数值是变动的，在算法第t次循环时，，是算法运行过程中当前所找出的最短路径而，这里是TSP 问题中各边的平均长度，是TSP问题中的结点数在文中，按式计算： 其中，是信息素的挥发因子，是问题的最优解。
按式计算， 第三 、MMAS并没有像AS那样将各边上的信息素初始化为一个比较小的数 值 ，而是设为信息素的上限数值之所以这样设定，主要是由实验分析而得出的，经实验表明，将各边的信息素的数值初始化为可以提高算法的效率 第四 、为了扩展蚁群的搜索空间，从而使得最终找出全局最优解在MMAS中还引入了平滑机制(Smoothing)平滑机制就是尽可能缩小各边上的信息素的差异平滑机制如式所示： 这里，代表平滑的强度如果取值为0，平滑机制将不发生作用 当取值为1，平滑机制使得各边上的信息素的数值设定成了，这就意味着平滑机制使得各边上的信息素均返回到了初始数值，消去了当前搜索所导致的各边上的信息素的差异和 分别代表了平滑之后与平滑之前边上的信息素的值平滑机制的引入可以显著地提升算法的求解效率 在MMAS中，同样引入了局部搜索策略引入局部搜索策略的好处是一方面可以加快算法收敛，提高算法性能；另一种使得蚁群在尽可能大的搜索空间中搜索，产生全局最优解MMAS，对于STSP问题采用的启发式搜索策略是2-opt，对于ATSP问题则采用的是 reduced 3-opt实验表明，最大-最小蚂蚁系统是解决TSP问题最好的启发式算法之一。
2．4 蚁群优化算法 随着对蚁群算法研究的深入，蚁群算法的应用领域也随之不断扩充继TSP 问题之后，蚁群算法又相继应用于QAP，VRP等组合优化问题，网络路由问题，图的着色问题以及机器人路径规划等问题蚁群算法与不同具体问题相结合而产生了不同的蚁群算法这些不同的蚁群算法在外在形式和内在运行机制方面都有相似之处M. Dorigo等人于1999 年提出了蚁群优化算法(Ant Colony optimization AC0) ，该算法给出了蚁群算法的一个一般化的框架蚁群优化算法的提出在蚁群算法发展历程中具有重要的意义 ACO的主要思想是：如果求解的问题能够转换为在一个图中寻找最优路径，那么ACO就能够用于寻找满足给定限定条件的最优路径，进而完成对问题的求解ACO对蚁群算法的实现进进行了高度的概括，将蚁群算法主要概括为蚂蚁的行为，信息素的挥发操作和一些守护操作(daemon_actions)其中守护操作是可选的 ACO适用于离散优化问题的求解，相应问题的特征在文中有详细的说明 如果说，前期的蚁群算法基本都是围绕蚂蚁系统而展开的，那么在蚁群优化算法提出之后，有关蚁群算法的研究和相关应用就基本上是围绕蚁群优化算法而进行的。
三、总结蚁群优化算法（ACO）是由意大利学者Dorigo M等人于20世纪90年代初期通过模拟自然界中蚂蚁集体寻径的行为而提出的一种基于种群的启发式仿生进化算法最早成功地应用于解决著名的旅行商问题（TSP）它采用分布式并行计算机制，易与其他方法结合，具有较强的鲁棒性，但搜索时间长且易限入局部最优解是其突出的缺点目前,蚁群算法已成为国际智能计算领域关注的热点和前沿课题年在布鲁塞尔专门召开了第一届蚂蚁优化国际研讨会，以后每两年召开一次尽管蚁群算法的严格理论基础尚未奠定，但这种新兴的智能进化仿生算法已展现出勃勃生机针对蚁群优化算法的缺点，本文对其进行了研究,并做了改进，然后将改进的算法应用于困难的组合优化问题，现对本文的工作做如下总结：首先将蚁群算法应用于旅行商问题针对基本蚁群算法容易出现早熟和停滞现象的缺点，本文提出了一种动态自适应蚁群算法,通过引入信息素的自适应调整策略、限制信息素的范围，和动态增加了信息素的局部更新方式，有效的抑制了收敛过程中的停滞现象，提高了算法的搜索能力该算法的性能在14点旅行商问题、中国旅行商问题和问题上得到了验证目前物流配送中心选址问题是物流系统中的一个热点问题，它也是一个困难的组合优化问题。
目前国内用蚁群算法来解决该问题的论文还不多针对此问题，本文提出了一种改进的蚁群算法，通过在迭代后期引入动态局部更新准则，减少那些没有被选择的路径上的信息素数量，加大了较优路径和较差路径上的信息素强度的差距，加快了算法的收敛速度，之所以在后期加入此方法，是为了保证算法迭代初期的搜索能力通过在实际例子上的计算，证明了改进算法的有效性车辆路径问题是物流问题中的一个热点问题,也是一个难点问题,它是旅行商问题的一般化,具有比旅行商问题更复杂的内容针对该问题的特点,本文引入了MMSA中的信息素限制策略,同时增加了动态平滑信息素轨迹策略：当迭代进行到一半时,此时算法已经收敛或者接近于收敛,这时对信息素轨迹进行平滑处理，能有效增加那些较低信息素轨迹解元素被选择的概率，从而提高算法的搜索能力实验结果表明了改进算法的效果由于时间所限,本文仅取得了初步的成果今后的研究方向可以集中在以下几个方面：1.进一步完善蚁群优化算法在组合优化问题上的应用研究TSP问题、VRP问题是著名的组合优化问题,都己被证明为NP难题，目前启发式算法在这方面的研究已很多本文在采用蚁群优化算法应用于TSP问题、VRP问题上进行了一些研究，但是也发现在小规模问题上的性能比较好，在短时间内就可以获得较优解，获得最优解的概率也很大但随着问题规模的增大，本文的改进算法在求解时效果比较差。
而蚁群优化算法在大规模问题上的性能是非常好的，远非其他算法能比,因此本文的算法还不是很成功，还有待于提高性能同样，物流配送中心选址问题也具有这样的问题如何对ACO算法作进一步改进，如何设置参数，如何调整策略，以较好地解决中大规模的组合优化问题，还待进一步研究 2.蚁群优化算法与其他仿生优化算法的融合 蚁群算法本身存在着一定的缺点，针对它的缺点，将其与其他算法相融合，取长补短，弥补自身的不足，可以取得比较好的效果目前已经有了蚁群算法和遗传算法、免疫算法、神经网络以及等算法的融合但也只是初步尝试,很多都是针对具体问题来进行的所解决的问题不同，其融合策略也就存在着很多差异，因此应该在现有成果的基础上继续进行深入研究，努力探索蚁群算法与一种或几种仿生优化算法相融合的统一机制 3.蚁群优化算法基础数学理论的研究蚁群优化算法的发展,需要坚实的理论基础，这方面的工作还极其缺乏1998年，Gutjahr首先在他的论文中借助图论工具证明了ACO算法的收敛性但这只是一个初步的工作ACO算法的收敛性严格的数学证明，在更强的概率意义下的收敛性条件,算法中信息素挥发度对算法的收敛性的影响，ACO算法的动力学模型以及根据其动力学模型对算法的性能分析以及ACO算法最终收敛至全局最优解的时间复杂度等工作应是进一步研究的方向。
4.蚁群优化算法应用领域的拓展及与其它相关学科的交叉研究蚁群优化算法目前最为成功的应用是在大规模的组合优化问题中,下一步应将蚁群优化算法引入更多的应用领域，如自动控制和机器学习等，并与这些相关学科进行深层次的交叉研究，更进一步地促进算法的研究和发展参考文献[1]旅行商问题[DB/OL]. [2] Dorigo M C, Man I V. Distributed optimization by ant Colonies[ C ]. Proc. 1st European Coof. A rtificial, Pans, France: Elsevier, 1991: 134 - 142[3] Colom I A. Dor I M, Man I V. An investigation of some properties of an ant algorithm [ C ]. Proceeding of parallel Problem Solving from Nature ( PPSN )， France: Elsevier, 1992: 509 - 520[4] Colomia. Dor I M, Man I V, et al. Ant system for job - shop scheduling [ J ]. Belgian Journal of Operations Statistics and Computer Science, 1994, 34 (1):39 - 53[5] 定建立，陈增强，袁著祉．遗传算法与蚂蚁算法的融合[J]．计算机研究与发展，2003，40(9):1531-1536 [6] 唐立三 等．非数值并行算法(第一册)——模拟退火算法[M]．北京: 科学出版社，2000[7] Dorigo M， Gambardella L M． Ant colony system：A CooperativeLearning Approach to the T raveling Salesman Problem[J]． IEEE Trans．On Evolutionary Computation，1997，1(1)：53～66[8] Colorni A，Dorigo M，Maniezzo V．Distributed optimization by ant colonies [C]．In：Proceedings of ECAL91-European Conference on Artificial Life. Paris，France：Elsevier Publishing，1991:134～142[9] Watkins C J C H．Learning with delayed rewards [D].University of Cambridge，1989[10] Dorigo M，Gambardella L M．A study of some properties of Ant-Q[C]. In： Proc；PPSN IV-4th Int．Conf．Parallel Problem Solving from Nature. Berlin ， Germany：Springer-Verlag，1996:656～665[11] Johnson D S，McGeoch L A. The travelling salesman problem：a case study in local optimization[C]．In：Local Search in Combinatorial Optimization．E H ．L A arts，et a1．e d s．New York ：Wiley and Sons, 1997.[12] Stutzle T，Hoos H．Improvements on the Ant System：Introducing MAX_MIN Ant System [C]．In：Proceedings of the International CoMerence on Artificial Neural Networks and Genetic Algorithms，Springer Verlag， wien，1997:245～249[13] Stutzle T，Hoos H．Max-Min ant system [J]．Future Generation Computer System，2000，16 ：889～9l4[14] Lin S, Kernighan B W ． An effective heuristic algorithm for thetraveling Salesman Problems [J]．Operations Research，1973，21：498～516[15] Maniezzo V. Exact and approximate nondeterministic tree-search procedures for the quadratic assignment problem．INFORMS J．Comput，1999，11(4)：358～369[16] Reimann M，Doerner K，Hartl R F．D-ants：savings based ants divide and conquer the vehicle routing problems．Comput．oper．Res，2004，3 1(4)： 563～591[17] Sorges U，Gunes M，Bouazizi I. ara-the ant colony based routing algorithm for manets．In：Proc．of the 2002 ICPP Workshop on Ad H o e N etworks(IWAHN 2002).2000:79～85[18] Casta D，Hertz A. Ant Can Colour Graphs [J]．Journal of the operational Research Society，1997，48：295～305[19] Fan X P，Luo X ，Yi S，et a1． Path planning for robots based on ant colony optimization algorithm under complex environment [J]．Control and Decision，2004，19(2)：166～17O[20] Dorigo M，Di Caro G. The Ant Colony Optimization meta-heuristic．In： New Ideas Optimization．D. Corne, et a1.,eds．McGraw Hill，London，UK，1999:11～32[21] Dorige M，Caro G D，Gambardella L M，Ant Algorithms for Discrete Optimization [J]．Artificial Life，1999，5(3)：137～17216。