2019-2020年高中数学 2-2-2双曲线的几何性质同步练习 新人教B版选修1-1一、选择题1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( )A.－＝1 B.－＝1C.－＝1 D.－＝1[答案] A[解析] ∵e＝＝2，由c＝4得a＝2.所以b2＝c2－a2＝12.因为焦点在x轴上，所以双曲线方程为－＝1.2．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为( )A．－ B．－4C．4 D.[答案] A[解析] 由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<0，则双曲线方程可化为y2－＝1，则a2＝1，a＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b＝2，∴－＝b2＝4，∴m＝－.故选A.3．如果双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( )A. B．2C. D．2[答案] A[解析] ∵双曲线－＝1的渐近线方程为y＝x，又两渐近线互相垂直，∴a＝b，c＝＝a，∴e＝＝.4．双曲线x2－y2＝－3的( )A．顶点坐标是(，0)，虚轴端点坐标是(0，)B．顶点坐标是(0，)，虚轴端点坐标是(，0)C．顶点坐标是(，0)，渐近线方程是y＝xD．虚轴端点坐标是(0，)，渐近线方程是x＝y[答案] B[解析] 双曲线x2－y2＝－3可化为－＝1，∴a＝，b＝，顶点坐标为(0，)，虚轴端点坐标是(，0)，∴它的渐近线方程为y＝x＝x.5．中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为( )A．y＝x B．y＝xC．y＝x D．y＝x[答案] D[解析] ∵＝，∴＝＝，∴＝，∴＝，∴＝，∴它的渐近线方程为y＝x＝x.6．双曲线4x2＋my2＝4m的虚轴长是( )A．2m B．－2mC．2 D．2[答案] D[解析] 双曲线4x2＋my2＝4m可化为：＋＝1，∴m<0，∴a2＝4，b2＝－m，b＝，2b＝2.7．双曲线－＝1与－＝1具有( )A．相同的焦点 B．相同的虚轴长C．相同的渐近线 D．相同的实轴长[答案] A[解析] ∵c2＝a2＋b2，∴c＝，∴双曲线－＝1与－＝1有相同的焦点．8．方程x2＋(k－1)y2＝k＋1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是( )A．k<－1 B．k>1C．－11[答案] C[解析] 方程x2＋(k－1)y2＝k＋1，可化为＋＝1，∵双曲线的焦点在x轴上，∴k＋1>0且<0，∴－10)的左右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在该双曲线上，则＝( )A．－12 B．－2C．0 D．4[答案] C[解析] 本小题主要考查双曲线的方程及双曲线的性质．由题意得b2＝2，∴F1(－2,0)，F2(2,0)，又点P(，y0)在双曲线上，∴y＝1，∴＝(－2－，－y0)(2－，－y0)＝－1＋y＝0，故选C.10．双曲线－＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于( )A. B．3C．4 D．2[答案] C[解析] ∵焦点坐标为(5,0)，渐近线方程为y＝x，∴一个焦点(5,0)到渐近线y＝x的距离为4.二、填空题11．双曲线－＝1的渐近线方程是________．[答案] y＝x[解析] 由题意知a＝2，b＝2，∴双曲线－＝1的渐近线为y＝x.12．椭圆＋＝1与双曲线－y2＝1焦点相同，则a＝________.[答案] [解析] 由题意得4－a2＝a2＋1，∴2a2＝3，a＝.13．双曲线的中心在原点，离心率e＝3，焦距为6，则双曲线方程为__________．[答案] x2－＝1或y2－＝1[解析] ∵焦距为6，∴c＝3，由e＝3得a＝1，所以b2＝c2－a2＝8.由于焦点不确定在x轴或y轴，所以双曲线方程为x2－＝1或y2－＝1.14．(xx安徽)已知双曲线－＝1的离心率为，则n＝________.[答案] 4[解析] ①当时，则有＝()2，∴n＝4.经验证，符合题意．②当时无解．三、解答题15．求一条渐近线方程是3x＋4y＝0，一个焦点是(4,0)的双曲线标准方程．[解析] ∵双曲线的一条渐近线方程为3x＋4y＝0，∴设双曲线的方程为－＝λ，由题意知λ>0，∴16λ＋9λ＝16，∴λ＝.∴所求的双曲线方程为－＝1.16．求双曲线25y2－4x2＋100＝0的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率及渐近线方程．[解析] 双曲线方程25y2－4x2＋100＝0可化为－＝1.∴实半轴长a＝5，虚半轴长b＝2，焦点坐标为(，0)．(－，0)，顶点坐标为(0，－5)，(0,5)，离心率为e＝＝，渐近线方程为y＝x.17．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．(1)求此双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证MF1⊥MF2；(3)求△F1MF2的面积．[解析] (1)因为e＝，所以双曲线为等轴双曲线，所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为过点(4，－)，所以16－10＝λ，即λ＝6，所以双曲线方程为x2－y2＝6.(2)易知F1(－2，0)，F2(2，0)，所以kMF1＝，kMF2＝，所以kMF1kMF2＝＝－，因为点(3，m)在双曲线上，所以9－m2＝6，所以，m2＝3，故kMF1kMF2＝－1，所以MF1⊥MF2.(3)在△F1MF2中，底|F1F2|＝4，F1F2上的高h＝|m|＝，所以S△F1MF2＝|F1F2||m|＝6.18．已知动圆与⊙C1：(x＋3)2＋y2＝9外切，且与⊙C2：(x－3)2＋y2＝1内切，求动圆圆心M的轨迹方程．[解析] 设动圆圆心M的坐标为(x，y)，半径为r，则|MC1|＝r＋3，|MC2|＝r－1，∴|MC1|－|MC2|＝r＋3－r＋1＝4<|C1C2|＝6，由双曲线的定义知，点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支，且2a＝4，a＝2，双曲线的方程为：－＝1(x≥2)．。
