2014年高2011级第三次诊断考试数学试题（理工类）注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟2．本试卷分为试题卷（1—4页）和答题卡两部分试题卷上不答题，请将第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题的答案答在答题卡上的相应位置考试结束，只交答题卡3．可能用到的公式：球的表面积S=4πR2,体积V=πR3,其中R为球的半径. 柱体的体积V=Sh,锥体的体积V=Sh,其中S为底面积,h为高. 数据x1,x2,…,xn的平均数,方差.第Ⅰ卷 (选择题 共50分)注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑．一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．设复数z满足z(i-1)=2i(其中i为虚数单位),则z等于(A)1-i (B)1+i (C)-1+i (D)-1-i2．设集合,,则等于(A) (B) (C) (D)3．设为平面,a、b为两条不同的直线,则下列叙述正确的是(A)若a∥,b∥,则a∥b (B)若a⊥,a∥b,则b⊥；(C)若a⊥,a⊥b,则b∥ (D)若a∥,a⊥b,则b⊥.4．抛物线y=ax2的准线方程为y=1,则实数a之值为(A)4 (B) (C) (D)-45．已知向量a=(1,-1),b=(2,x),若(a + b)∥(a - 2b),则实数x的值为(A)-2 (B)0 (C)1 (D)26．设等比数列{an}的前n项积,若P12=32P7,则a10等于(A)16 (B)8 (C)4 (D)27．已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=3x,则f(log94)的值为(A)-2 (B) (C) (D)28．关于函数f(x)=sinx(sinx-cosx)的叙述正确的是(A)f(x)的最小正周期为2π 第9小题图(B)f(x)在内单调递增(C)f(x)的图像关于对称 (D)f(x)的图像关于对称9．如图,一个几何体的三视图(正视图、侧视图和俯视图)为两个等腰直角三角形和一个边长为1的正方形,则其外接球的表面积为(A)π (B)2π (C)3π (D)4π10．已知实数a,b满足,则不等式成立的概率为(A) (B) (C) (D)第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。
作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚答在试题卷上无效二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡相应位置上)INPUT a,bDOc＝a-ba＝bb＝cLOOP UNTIL b<0PRINT aEND11．执行右图程序,当输入42,27时,输出的结果是________.12．若实数x,y满足,则的取值范围是________.13．从总体中随机抽出一个容量为20的样本,其数据的分组及各组的 频数如下表,试估计总体的中位数为________.分 组[12,16)[16,20)[20,24)[24,28)频 数485314．设a为非零常数,已知的展开式中各项系数和为2,则展开式中常数项等于________.15．已知函数,下列关于函数(其中a为常数)的叙述中:①对a∈R,函数g(x)至少有一个零点;②当a=0时,函数g(x)有两个不同零点;③a∈R,使得函数g(x)有三个不同零点;④函数g(x)有四个不同零点的充要条件是a<0.其中真命题有________.(把你认为的真命题的序号都填上)三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题12分)在四边形ABCD中,AD⊥CD,AD=5,AB=7,∠BDA=60,∠CBD=15,求BC长.17．(本小题12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠ABC=60,又PA⊥底面ABCD,AB=2PA,E为BC的中点.(1)求证:AD⊥PE;(2)求平面APE与平面PCD所成锐二面角的余弦值.18．(本小题12分)盒子装中有形状、大小完全相同的五张卡片,分别标有数字1,2,3,4,5.现每次从中任意抽取一张,取出后不再放回.(1)若抽取三次,求前两张卡片所标数字之和为偶数的条件下,第三张为奇数的概率;(2)若不断抽取,直至取出标有偶数的卡片为止,设抽取次数为ξ,求随机变量ξ的分布列及数学期望.19．(本小题12分)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn=nan-n(n-1),其中n∈N*.(1)求证:{an}是等差数列;(2)求证:an• an+1<4Sn;(3)求证:.20．(本小题13分)已知A、B是椭圆上的两点,且,其中F为椭圆的右焦点.(1)求实数的取值范围;(2)在x轴上是否存在一个定点M,使得为定值?若存在,求出定值和定点坐标；若不存在,说明理由.21．(本小题14分)已知函数f(x)=x(x+a)-lnx,其中a为常数.(1)求f(x)的单调区间;(2)问过坐标原点可以作几条直线与曲线y=f(x)相切？并说明理由;(3)若在区间(0,1)内是单调函数,求a的取值范围.2014年高2011级第三次诊断考试数学试题（理工类）参考答案及评分意见一、选择题（每小题5分，共50分）12345678910ADBCADBDCC10．提示：设,则且.由直线与圆(四分之一)的位置关系知,解得a∈[-4,-1]∪[5,8].由不等式得|1-a|<2或|1-a|>4,解得a∈(-∞,-3)∪(-1,3)∪(5,+∞).所以当a∈[-4,-3)∪(5,8]时不等式成立.由几何概型的概率公式可得。
11．9 12． 13．19 14．240 15．②④.14．提示：令x=1得a=2.又的展开式通项.因6-2r为偶数,故6-2r=-2即r=4.所以的展开式的常数项为.15．提示：数形结合可得:当a>0时无零点;当a=0时有2个零点;当a<0时有4个零点.16．解：在ΔABCD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD•BDcos60, 即BD2-5BD-24=0,解得BD=8.（6分） 在ΔBCD中,由正弦定理得:.（12分）17．（1）证明：因为底面ABCD为菱形,∠ABC=60,且E为BC的中点,所以AE⊥BC.又BC∥AD,所以AE⊥AD.又PA⊥底面ABCD,所以PA⊥AD.于是AD⊥平面PAE,进而可得AD⊥PE.（6分）（2）解：分别以AE、AD、AP为x、y、z轴,设AP=1,则,,,.显然,平面APE的法向量为,设平面PCD的法向量为,则由解得.所以.故平面APE与平面PCD所成锐二面角的余弦值为.（12分）18．解：（1）设“前两张卡片所标数字之和为偶数”为事件A,“第三张为奇数”为事件B,则所求概率为.（6分）（2）ξ=1,2,3,4. ; ; ; . 所以. （12分）19．证明：（1）当n≥2,n∈N*时,由已知Sn=nan-n(n-1)得Sn-1=(n-1)an-1-(n-1)(n-2).两式相减得Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-2(n-1).又Sn-Sn-1=an,所以(n-1)an-(n-1)an-1=2(n-1).即an-an-1=2(n≥2,n∈N*).所以{an}是以1为首项、2为公差的等差数列. （4分）（2）由(1)得an=2n-1,Sn=n2,n∈N*.所以an•an+1=(2n-1)•(2n+1)=4n2-1<4Sn; （8分）（3）由(2)得,所以 . （12分）20．解：（1）由已知条件知:直线过椭圆右焦点. 当直线与轴重合时,. 当直线不与轴重合时,可设,代入椭圆方程,并整理得. 设,由根与系数的关系得,.所以.又由得,所以,解之得.综上,实数的取值范围是. （7分） （2）设，则为定值,所以,解得.故存在定点,使得为定值.（经检验，当与轴重合时也成立） （13分）21．解：（1）由得,(舍去).所以f(x)在区间内单调递减,在内单调递增.（3分）（2）设切点,则切线方程为.因为过原点,所以,化简得（※）.设,则,所以在区间内单调递增.又,故方程(※)有唯一实根,从而满足条件的切线只有一条.（8分）（3）. 设,则,显然在区间(0,1)内单调递减.①当时,,从而在(0,1)内恒成立,即在(0,1)内单调递增.注意到,所以即在(0,1)内恒成立.于是在区间(0,1)内单调递减,符合题意.②当时,,,从而,使得在 内恒成立,在内恒成立.即在内单调递增,在内单调递减.又,所以,又,所以存在,使得即在内恒成立,即在内恒成立.因此在区间(0,1)内既有递减区间,也有递增区间,不符合题意.综上可知,实数的取值范围是.（14分）。