2019-2020年高中第二册(下A)数学两个平面垂直的判定和性质(II)教学目标：1．巩固复习二面角的有关概念，进一步培养求二面角的平面角的能力．2．巩固复习面面垂直的定义，熟练掌握面面垂直的判定与性质定理．教具准备：三角板．教学过程：［复习回忆］1．二面角的有关概念．2．作二面角的平面角的一般方法．3．两个平面垂直的判定定理．4．两个平面垂直的性质定理（两个）．［探索研究］例1 在平面四边形中，已知，，，沿将四边形折成直二面角．（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成的角． 图1解：如图1，其中（1）是平面四边形，（2）是折后的立体图．（1）证明：∵平面平面，交线为，又∵，，∴，．∴平面平面．（2）过点作，为垂足，则平面．又过点在平面内作，为垂足，连结．由三垂线定理可知．∴是二面角的平面角．∵点为中点，∴．又，∴．． ∴．即平面与平面所成的二面角为．点评：折叠问题要特别重视线与线的位置关系，有的在折叠前后保持不变，关于它们的计算，可以在平面图形中求得，如本题中在折叠前后不变，四边形的四条边的长也不变．所以，、均可在平面四边形中求得，但有些量折叠前后会发生变化，如折叠后不再是，点和点间的距离折叠后也变短了，已经变化了的量切不可用折叠前的数据进行计算．例2 如图2，在立体图中，底面，，垂直平分且分别交、于、，又，，求以为棱，以与为面的二面角的平面角的度数．图2分析：由已给出的线面垂直关系及线线垂直关系，很容易发现平面，∴就是所求二面角的平面角．解：由于，且是的中点，因此是等腰△的底边的中线，所以．又已知，，∴面，∴．又∵底面，底面，∴，而．∴平面．∵平面平面，∴，．∴是所求二面角的平面角．∵底面，∴，．设，则，．又因为，所以．在△中，，∴，∴，即二面角的平面角的度数为．例3 如图3，在底面是直角梯形的立体图中，，面，，，求面与面所成的二面角的平面角的正切值．图3分析：这是一道求“二面角”的问题，常将两个平面的交线找出，再设法画出所求二面角的平面角．解：延长、相交于点，连结，则是所求二面角的棱∵，，∴，∴．∵面，得面面，是交线．又，∴面，故是在面上的射影，∴，∴是所求的二面角的平面角．∵，，，∴．即所求二面角的平面角的正切值为．［演练反馈］1．如图4，△的边在平面内，顶点，设△的面积为，它在平面内射影的面积为，且平面与△所在平面所成的二面角的平面角为（）．求证：．图42．如图5，矩形中，，沿将△折起后，使点在平面上的射影恰好是的中点，求二面角的大小． 图53．已知正方体中，是的中点，求平面与底面所成二面角的平面角的正弦值（图3）．图6［参考答案］1．提示：作于点，则就是△的面积，作于点，连结，证，，．2．提示：作于点，连结，证明，为所求．，．3．分析：延长交的延长线于，连结，∵，∴解法一：∵，，由三垂线定理，得．为二面角的平面角．解得．另介绍用射影面积公式解．如果△所在平面与平面所成的二面角的平面角为，且△在平面内的射影为△，则有．解法二：△在底面上的射影是△，设正方体的棱长为2，则，，设所求的平面角为，则，∴．［总结提炼］处理折叠问题，关键是认清折叠前后的不变量，当一个二面角的棱在图形中未显示时，那么求这个二面角的首要任务便是找到棱，这往往要用到公理1或公理2，利用来求二面角的平面角的方法很特殊，对于有些问题相当方便，请大家注意记忆．布置作业：1．课本P39习题9.6 11，12，13，14．2．一条长为的线段夹在互相垂直的两个平面、之间，与所成的角为，与所成角为，且，，，、是垂足．求平面与平面所成的角．［参考答案］1．略．2．解：如图7．图7连结、，可证，，∴，．在△中，，在△中，．在△中，可求出．又作于，作，交于，则就是二面角的平面角，由平面，得．又，∴平面．∴．∴即为所求二面角的平面角．在△中，，在△中，，在△中，，∴，即平面与平面所成的角为或．板书设计：1．例1 3．例32．例2 4．练习。
