专题：球的切接问题1. 一•知识点正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心设正方体的棱长为a，球半径为Ra如图1,截面图为正方形EFGH的内切圆，得R=2；2与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图2作截面图，圆O为正方形EFGH的外接圆，易得R二丰a3正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上,如图3,以对角面AAi作截面图得，圆0为矩形aaicic的外接圆，易得R二AO=iC14.正四面体的外接球和内切球如图4所示，设点0是内切球的球心，正四面体棱长为a.由图形的对称性知，点0也是外接球的球心•设内切球半径为r，外接球半径为R.正四面体的表面积S表=、：3a2.正四面体的体积-pc1<3——xa2xAE—34.■'3旨a52-BE212、辽121S-r=V3表A-BCD3V...r=——ABCDS表3迈3xa3126=a<3a212在RtABEO中，BO2=BE2+EO2,（羽｝——a〔3丿得R=3r小结:正四面体内切球半径是高的4,外接球半径是高的I5.长方体的外接球：即正方体的各顶点都在球面上设长方体的棱长分别为a,b,c。
怎么作平面截图来反映半径和边长的关系?联想正方体的外接球，过长方体的对角面的作截截面图a2+b2+c2结论：由图形⑷我们可以发现外接球的半径R=—厂二、题型与方法归类例1、(1)若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．本题主要考查简单的组合体和球的表面积．画出球的轴截面可得，球的直径是正方体的对角线，所以有球的半径R=323,则该球的表面积为S=4nR2=27n•故填27n(2)求棱长为1的正四面体外接球的体积．设SO1是正四面体S-ABC的高，夕卜接球的球心O在SO】上，设外接球半径为RrAO1=rr则在％BC中，用解直角三角形知识得心亨，从而so】=寸SA2-AO=在RfAOO］中，由勾股定理得R2=(解得R=普，3=爭.•••V球=3nR3=33变式练习:1已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积(C)A.16nB.20nC.24nD.32n2已知正方体外接球的体积是営n,那么正方体的棱长等于（D）A価B也C區D也A•2j2B.3C.3D.3解析由题意知V=|nR3=¥，二R=2，夕卜接球直径为4，即正方体的体对角线，设棱长为a,则体对角线l=\i'3a=4,a=433.3. 半径为R的球的外切圆柱（球与圆柱的侧面、两底面都相切）的表面积为,体积为【解析】夕沏圆柱的底面半径为R,高为2R,「.S表=S侧+2S底=2nR・2R+2nR2=6nR2,V圆柱=nR2・2R=2nR3.【答案】6nR2；2nR3例2、已知A、B、C、D是球0面上的四个点，OA、OB、0C两两垂直，且0A=l,0B=2,0C=3，求球的体积与表面积。
分析：通过将三棱锥补成长方体这种方法叫作补形法14解：将三棱锥补成长方体，设外接球的半径为r,则（2r）2二1+22+32,解得r2=，所4以球的表面积S=4兀r2二14兀变式训练：如图所示，三棱锥P-ABC中，PA丄平面ABC,AB丄BC,PA=AC=£，则三棱锥P-ABC的外接球的体积为例3：把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．A.B.C.v2兀"VD.2兀答案：A.提示：补成长方体得解.分析：关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2．解：四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，则正四面体的高“6(2<3)22代h=.22-(2-)2=33而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都定球心——先确定底面的圆心(球的小圆圆心)°],球心必然在过°]且垂直于平面ABC的垂线上，如图，0°1=2PA=1，圆0]的半径可以通过正弦定理得到0]A=2,于是球半径为J5.、20后故球体积为3.高考题演练1. 一个四面体各棱长都为〔迈，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A.3nB.4nc.»兀D6n正六棱柱ABCDEF-A耳CRE].的侧面是正方形，若底面的边长为a,则该正六棱柱的外接球的表面积是（）A.4na2B.5na2C.8na2D.lOna?4. 3•长方体三条棱长分别是AA'=1,AB=2,AD=4,则从A点出发，沿长方体的表面到C'的最短矩离是（）A.5B.7C.'■'29D.価已知底面边长为1,侧棱长为血的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）3BAxCJ2jt43如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,ZDAB=60°,E为AB的中点，将△ADE与厶BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P,则P-DCE三棱锥的外接球的体积为（）]'、、、」4^3兀兀兀V~6兀a一八二A.B.C.D.4已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球0的球面上，且AB=6,BC=2*5,则棱锥0-ABCD的体积为.—个正方体的顶点都在一个球面上，已知这个球的表面积为3n,则正方体的棱长.&一个正方体的全面积为a2，它的顶点全都在一个球面上，则这个球的表面积为长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm,将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度，则球的体积为.答案:1•解答：由于正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，所以正方体的棱长为：1,所以正方体的对角线的长度就是外接球的直径，所以球的半径为：2所以球的表面积为：4nR2二=3n.解答：正六棱柱ABCDEF-的侧面是正方形，若底面的边长为a,底面对角线的长度为：2a；所以该正六棱柱的外接球的表面积是：4nr2二=5na2.3•解答：从A点出发，沿长方体的表面到C'有3条不同的途径，分别从与顶点A相邻的三个面出发，根据勾股定理得到长度分别是】卫9,T畀，5,比较三条路径的长度，得到最短的距离是54.D5•解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1,故外接球半径为°,外接球的体积为6•解答：矩形的对角线的长为：〔2+⑺!>)乙4所以球心到矩形的距离为：；护-Z引I,■|x6X2VsX2R所以棱锥0-ABCD的体积为：=8「3.故答案为：8主7.解答：•・•球的表面积为3n,.・.球的半径为戈•・•正方体的顶点都在一个球面上，・•・正方体的对角线为球的直径设正方体的棱长为a,则立疔丹・・・a=l&解答：设球的半径为R,则正方体的对角线长为2R,［来源:学+科+网］J1丄依题意知西2二，即R2=%2,1兀/兀/.•・S=4nR2=4n•笏2=%.故答案为：2.球解答：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：-/+淀+5亠5迈，竽4兀普r所以球的半径为：戏；则这个球的表面积是：=50n.解答：根据几何意义得出：边长为8的正方形，球的截面圆为正方形的内切圆，•:圆的半径为：4,••球面恰好接触水面时测得水深为6cm,.•・d=8-6=2,・・・球的半径为：R"2)2+42,r=545Q0兀5兀・球的体积为nX(5)3=3ncm3故答案为3。