道路卵形回旋曲线任意点坐标及方位角计算方法本文提出了卵形曲线中缓和曲线段上点位坐标计算方案，推导了其计算过程及公式，并附实例对始于高等级道路的平面卵形 曲线的测设有重要的指导作用 高等级公路，特别是高速公路的平面线形设计形式很多，但归根结底，它们都由直线、圆和缓和曲线 ( 我国《公路路线设计规范》中规定回旋线或称菲涅尔螺旋线为缓和曲线线形 ) 等公路平面线形要素组合而成各种平面线形设计形式，如基本形、卵形、 S 形、 C 形等等，对 高速公路更加适应汽车转弯时的行车轨迹，消除曲率突变，增进线形美观及行车舒适感、安 全感都有极其重要的意义，但同时，也使曲线计算及野外测设更为复杂本文针对在高速公路设计实际中出现的卵形曲线，推导了缓和曲线段点位坐标计算方法及公式，为现场测设人员提供了有效的计算方案和测设指导 一、回旋线的基本特征及坐标计算 回旋线上，任意一点的曲率半径 ρ 与该点至曲线起点的曲线长 l 之积为一常数 ( 图 1) 即 ρl =A2(1) 或 式中， A 2 为回旋曲线常数，表征回旋曲线曲率变化缓急程度的量，称 A 为回旋曲线参数 图 1 1. 回旋曲线上任意一点坐标计算 由图 1( 曲线右旋 ) ，取回旋线的起始点 ZH 处的切线方向为 x 轴，法线方向为 y 轴，任意一点的 切线方向方位角为缓和曲线角 β 。
在缓和曲线上对任意一点 P 取微分 dl=ρdβ dx=dlcosβ dy=dlsinβ 考虑式 (1) 对 β 或 l 在区间 [0 ， β ］或 [0 ， l ］上积分后有下列关系式成立 l 2 ＝ 2A 2 β (2) (3) (4) 或者 (5) (6) 对于公路平面线形的基本形，其缓和曲线始于直线终于圆曲线，故缓和曲线的曲率半径 ρ 变化于 ∞ ～ R ( 圆曲半径 ) 设缓和曲线段长度为 ls, 则 (7) (8) 2. 回旋线的几何要素 见图 1 ，回旋线的几何要素计算公式如下：任意点 P 处的曲率半径 ( 由式 (1) 和式 (2)) (9) P 点的回旋曲线长 (10) P 点的缓和曲线角 ( 切线方位角，由 (9) 式 ) (11) 上面导出了当参数分别为 β 和 l 时的右旋缓和曲线上任一点的坐标和几何要素公式显然，缓和曲线左旋时 ( 图 2) ，与右旋相比， x 坐标公式一致，而 y 、 β 反号若令 sign=1 ，缓和曲线右旋时取 sign=1 ，左旋时取 sign=-1 ，则坐标和方位角等符号量可统一 表示为： (12) 图 2 3. 回旋曲线的基本特征 1. 几何特性。
回旋曲线随着曲线长度的增加，曲率按线性函数增加起点处 l =0 ，曲率 l /ρ ＝ 0 ，终点处 l =ls ，曲率 l /p ＝常数2. 相似性回旋曲线的形状只有一种，回旋曲线参数 A 即为放大系数 二、卵形曲线形式及其缓和曲线段坐标计算 按直线 - 缓和曲线 (A1)- 圆曲线 (R1)- 缓和曲线 - 圆曲线 (R2)- 缓和曲线 (A2)- 直线的顺序组合构成的平面线形形式 (R1≠R2) ，称为卵形曲线 ( 图 3) 卵形曲线中，显然圆曲线 - 缓和曲线 - 圆曲线段的缓和曲线坐标计算是新的课 题，它成为整个卵形曲线计算的瓶颈解决了这个问题，其他平面线形形式的曲线坐标计算 也就迎刃而解了 图 3 解决问题的关键在于对两圆曲线之间的缓和曲线的正确认识： (1) 两不等圆曲线之间的缓和 曲线仍是回旋线； (2) 该回旋线是没有起点 (ρ ＝ 0) 的回旋线段 于是，解决问题的方案是：第一，仍须确定哪端为回旋曲线的起点 (ρ ＝ 0) 端；第二，假定缓和曲线起点而套用平面曲线基本形计算回旋曲线任意一点坐标及其方位角；第三，坐标变换为大地 ( 或施工区 ) 坐标形式，而这正是高效测设曲线的现代发展所需要的坐标形式。
我们知道，回旋曲线起点处曲率半径 ρ =∞ ，随着离曲线起点的曲线长度增加，曲率半径由大变小因此，卵形曲线两圆之间回旋线的起点必在相接圆半径较大的圆曲线那一端由此再确定回旋线的右或左旋形式以确定独立坐标公式 (sign 的值 ) 的使用根据回旋线上特征点的已知大地坐标和独立坐标，可计算出坐标变换参数，从而得到回旋线上任意一点的大地坐标及其切向、法向方位角 以图 3 为例，因为 R 1 >R2，可见回旋线的起点在 R 1 圆曲线的那一端，显然，该回旋线右旋设回旋曲线起点为 O ，起点处切线方向为 x 轴，法线方向为 y 轴，建立独立坐标系 O-YH 弧长： l 1 ＝ A 2 /R1 O-HY 弧长： ls=l1+l0 ＝ A 2 /R2这里， l 0 =lYH-HY 为缓和曲线段长度 缓和曲线上任意点 P 至起点 O 的弧长为 l′ ＝ l 1 +l 这里， l 为 P 至圆缓点 YH 的弧长 将 l 1 ,ls,l′ 分别替代 l 代入式 (7) 、式 (8) 得到圆缓点 YH 、缓圆点 HY 、任意点 P 独立坐 标系坐标 xYH,yYH,xHY,yHY,xP,yP( 注意，计算时式中 R ＝ R 2 ) 。
设独立坐标系 xOy 原点 O 的大地坐标为 (X0,Y0) ， x 轴的大地方位角为 α 0 ，由 YH 、 HY 点的大地坐标和独立坐标可分别反算直线 YH-HY 的坐标方位角 α 1 ,α2，则 α 0 =α1-α2(13) 于是，独立坐标系中任意一点 P (x,y) 的大地坐标 X ， Y 为 X ＝ X 0 +xcosα0-ysinα0(14) Y ＝ Y 0 +xsinα0+ycosα0(15) 这里， X 0 ,Y0可由点 YH 或 HY 已知坐标数据 ( 大地、独立 ) 用上两式求得 P 点切线大地方位角 α =α0+signβ (16) 法线大地方位角 τ ＝ (α-sign90)180 (17) 三、算 例 广东某高速公路一段卵形曲线设计数据的特征点大地坐标见表 1 ，缓和曲线参数 A ＝ 30 0 ，缓和曲线长度 l 0 =157.50 m ，两相接圆曲半径见图 4 求缓和曲线内两里程桩号点的大地坐标及法向方位角 图 4 表 1 部分设计数据 点 号 )/( 里程桩号 )/(X/m)/(Y ／ m)/( 其他数据 圆缓点 (YH))/(K0+327.43)/(3 961.506)/(4 033.679)/(T1=59.95 交 点 (JD))/(K0+387.38)/(3 998.132)/(3 986.223)/(T2=97.98 缓圆点 (HY))/(K0+484.93)/(4 071.589)/(3 921.382)/(θ ＝ 1054′13″ 简要计算如下： 因 R 2 >R1，可见回旋线起点在 R 2 端且左旋 (sign=-1) ，建立独立坐标系如图 4 。
则 l 1 =A2/R2=30 mls=l1+l0=A2/R1＝ 187.50 m 由此代入式 (7) 、式 (8) 并注意到 R ＝ R 1 =480 得 HY ， YH 点独立坐标为 由直线 HY-YH 的大地方位角 α 1 和独立方位角 α 2 得独立坐标轴 x 的大地方位角 α =α1-α2＝ 13851′05″ 则 X 0 ＝ 4 094.145 Y 0 ＝ 3 901.605 于是缓和曲线上点 K 0 +420 处、 K 0 +380 处坐标与方位角数据可得 K 0 +420 ： (l′=l1+484.93-420=94.93) x =94.906 y =-1.584 β ＝ 252′06″ X =4 023.723 Y =3 965.247 τ ＝ 4558′59″ K 0 +380 ： (l′=l1+484.93-380=134.93) x =134.792 y =-4.546 β ＝ 547′43″ X =3 995.637 Y =3 993.723 τ ＝ 4303′22″ 四、结束语 卵形曲线中两圆曲之间的缓和曲线段是螺旋回旋线不含起点的一部分。
其上任意点的坐标计 算仍可套用平面线形基本形中的缓和曲线点的坐标公式本文给出的卵形曲线中缓和曲线段 任一点的坐标特别是大地坐标及其法向方位角的解算方案及公式，既解决了测设数据的数值 计算问题，又适应了野外测设使用大地坐标设站灵活性强、公路卵形曲线计算【摘 要】 在高速公路立交平面线型中，现越来越多采用卵形曲线这一线型形式，而卵形曲线坐标的计算在现有相关书籍中却又很少提到，这就为施工中的坐标计算及放样增加了较大难度，为解决此难道，我在实践中通过对缓和曲线坐标的计算加以分析并结合理论知识，总结出了卵形曲线坐标的计算方法和技巧关键词】卵形曲线 坐标 计算一、概念卵形曲线：是指在两半径不等的同向圆曲线间插入一段缓和曲线也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线二、卵形曲线坐标计算原理根据已知的设计参数，求出包括卵形曲线的完整缓和曲线的相关参数和曲线要素，再按缓和曲线坐标计算的方法来计算卵形曲线上任意点上的坐标三、坐标计算以雅（安）至攀（枝花）高速公路A合同段（西昌西宁）立交区A匝道一卵形曲线为例，见图一：（图一）已知相关设计数据见下表：主点桩号坐 标（m）切线方位角（θ）XY ’ ”ZHAK0+0909987.40310059.37892 17 26.2HY1AK0+1609968.98110125.341132 23 51.6YH1AK0+223.7159910.60310136.791205 24 33.6HY2AK0+271.8819880.43810100.904251 24 18.5YH2AK0+384.0329922.31610007.909337 04 54.2HZAK0+444.0329981.36310000.0000 00 001、缓和曲线（卵形曲线）参数计算A1==59.161卵形曲线参数：A2=（HY2-YH1）R1（小半径）R2（大半径）（R2-R1）=（271.881-223.715）5075（75-50）= 7224.900A2==84.999A3==67.0822．卵形曲线所在缓和曲线要素计算卵形曲线长度LF由已知条件知：LF=HY2-YH1=271.881-223.715=48.166卵形曲线作为缓和曲线的一段，因此先求出整条缓和曲线的长度LS，由此找出HZ点的桩号及坐标（实际上不存在，只是作为卵形曲线辅助计算用）LM=LS（YH1至HZ的弧长）=A2R1=7224.90050=144.498∴HZ桩号=YH1+LM=223.715+144.498=368.213LE=HY2至HZ的弧长=A2R2=7224.90075=96.332或LE= LM-LF=144.498-48.166=96.332卵形曲线长度LF=LM-LE=144.498-96.332=48.166（校核）HY2=HZ-LE=368.213-96.332=271.881（校核）由上说明计算正确3．HZ点坐标计算（见图二）（图二）①用缓和曲线切线支距公式计算，缓和曲线切线支距公式通式：Xn=[(-1)n+1L4n–3][(2n-2)!22n–2(4n-3)(RLs)2n–2]Yn=[(-1)n+1L4n–1][(2n-1)!22n–1(4n-1)(RLs)2n–1]公式中符号含义：n — 项数序号(1、2、3、……n)！— 阶乘R — 圆曲线半径Ls — 缓和曲线长②现取公式前6项计算（有关书籍中一般为2-3项，不能满足小半径的缓和曲线计算精度要求，如本例中AK0+090~AK0+160段缓和曲线，如AK0+160中桩坐标带2项算误差达8cm），公式如下：X=L-L5[40（RLS）2]+L9[3456（RLS）4]–L13[599040（RLS）6]+L17[175472640（RLS）8]- L21[7.803371521010（RLS）10] （公式1）Y=L3[6（RLS）] - L7[336（RLS）3]+L11[42240（RLS）5] - L15[9676800（RLS）7]+L19[3530096640（RLS）9] - L23[1.88024094721012（RLS）11] （公式2）公式中L为计算点至ZH或HZ的弧长HZ：AK0+368.213的坐标从YH1：AK0+223.715推算，L=LS=HZ-YH1=368.213-223.715=144.498将L=LS代入公式（1）、（2）得：X=117.1072 Y=59.8839 L对应弦长C=√（X2+Y2）=131.5301偏角a1=arctg（YX）=2705’00.2”* 偏角计算用反正切公式，不要用其它公式。
缓和曲线切线角：a2=90L2（πK）=90144.4982(π7224.900)=8247’28.5”* K为卵型曲线参数，本例中K= A2=7224.900Q3=180-a1-（180-a2）=180-2705’00.2”-（180-8247’28.5”）=5542’28.3”∴YH1"HZ’切线方位角（M"B）=20524’33.6” +Q3=20524’33.6”+5542’28.3”=26107’01.9”∴HZ’：AK0+368.213坐标：X=XYH1+Ccos26107’01.9”=9910.603+131.5301 cos26107’01.9”=9890.293Y=YYH1+Csin26107’01.9”=10136.791+131.5301 sin26107’01.9”=10006.8384．HZ’：AK0+368.213点的切线方位角（D"B）计算D"B方位角：=20524’33.6”+Q2=20524’33.6”+8247’28.5”=28812’02.1”∴B"D切线方位角：=28812’02.1”-180=10812’02.1”5．计算卵型曲线上任意点坐标(以HZ’:AK0+368.213作为推算起点)①计算HY2:AK0+271.881的坐标∵L= HZ’- HY2=368.213-271.881=96.332代入公式1、2得:X=92.434 Y=20.022偏角Q= arctg（YX）=1213’19.61” 对应弦长C=√（X2+Y2）=94.578坐标：X=9890.293+94.578cos(10812’02.1”-1213’19.61”)=9880.442Y=10006.838+94.578sin(10812’02.1”-1213’19.61”)=10100.902②与设计值比较:rX=X计算值-X设计值=9880.442-9880.438=+0.004rY=Y计算值-Y设计值=10100.902-10100.904=-0.002 mm同理依次可计算出卵型曲线上其它任意点的坐标。
由此可见，采用此方法计算求得的坐标与设计院通过电脑程序计算的结果相差很小，本人多年来在高速公路多条卵型曲线采用此方法计算其坐标，其计算精确，完全可以作为包括高速公路在内的卵型曲线坐标计算高等级公路卵形曲线的计算方法摘要 在高等级公路施工过程中，常遇到卵形曲线，而设计单位的出发点不同，中线的解算方法也大相径庭本文着重从卵形中线几种计算方法入手，在此基础之上阐述了卵形曲线的测设 关键词 卵形曲线 复曲线 匝道桥 高等级公路 卵形曲线是高等级公路、立交桥匝道常见的曲线形式，它由基本的三部分构成：第一圆曲线段、缓和曲线段和第二圆曲线段 中间段缓和曲线用来连接两个不同半径的圆曲线其中线坐标解算方法有如下几种： 1 补全缓和曲线 我国公路上采用的缓和曲线为辐射螺旋线，夹在两圆曲线中间的缓和曲线为整个缓和曲线的一部分，缓和曲线上任一点半径与该点至该缓和曲线起点的距离乘积为一定值： RL ＝ A ，假设 R1＞ R2，可由两圆半径及两圆间的缓和段长 ls，求缓和曲线的总长 L Δl ＝ L － ls (1) Δl 就是夹在两圆曲线间缓和段省去的部分，由 YH 点补长 Δl 至 o 点，以 o 点为该缓和曲线起点，起点的切线方向为 x 轴，与之垂直的曲线内侧方向为 y 轴方向建立坐标系（图 1 ）。
缓和曲线公式（推导过程略）如下： (2) (3) 图 1 利用 x 、 y 值可以求得 o—YH 弦与 x 轴的夹角： β ＝ 3δ α1为 YH 点的切线方位角，则 ox 的方位： α ＝ α1β o 点的坐标可由几何关系求得为（ x0， y0）缓和段上任一点统一坐标可求得： (4) y=yo+xsinαycosα (5) 2 曲率推算 缓和曲线段曲率半径由第一段圆曲线半径 R1变为第二段曲率半径 R2（假设 R1＞ R2），则缓和曲线曲率半径变化为： (6) 其中 ls为中间段缓和曲线长，为求缓和曲线方程，现建立以缓和曲线起点为坐标原点，起点的切线方向为 x 轴，与之垂直的曲线内侧方向为 y 轴的坐标系（图 2 ），设 P 点为缓和曲线上任一点，距原点的曲线长为 l ，该点附近的微分弧长为 dl ，缓和曲线偏角为 β ，则有 dx=dlcosβ (7) dy=dlsinβ (8) 图 2 由于 将其代入上式并进行积分可得缓和曲线方程： (9) (10) 中间缓和段统一坐标计算为： (11) Y ＝ yYHxsinαycosα (12) α 为曲线 YH 点切线方位。
3 其它 连接两反曲线或在立交桥匝道上为使墩位美观，常采用缓和曲线连接（图 3 ）其解算方法以 YH 点作为起点，以其切线为 x 轴建立坐标系，不考虑第一种情况中所讲的缓和曲线加长，而直接用式（ 2 ）、（ 3 ）进行计算，然后统一坐标 图 3 圆曲线坐标计算在此不再赘述 全站仪广泛地应用到路桥施工中，外业施工放样可在仪器匹配的支持下自动完成复曲线内业计算、复核线路坐标则成为繁琐问题 4 实例 已知 R1为 5000m ， R2为 90m ， YH 点切线方位 α1为 327 － 56 － 59 ， YH 点里程为＋ 327 ． 9 ，坐标为（ 61205.283 ， 101834.119 ）， HY 点里程为＋ 416.28 ，坐标为：（ 61140.068 ， 101892.317 ） 由已知数据可得： 由式（ 2 ）、（ 3 ）计算填至附表第 3 、 4 栏内，由式（ 4 ）、（ 5 ）公式计算填入第 5 、 6 栏内 里程 延长至原点距离（ m) Δx(m) Δy(m) x y K0＋ 360 ． 00 57 ． 9 57 ． 652 3 ． 982 61185 ． 452 101859 ． 215 K0＋ 327 ． 90 90 87 ． 776 14 ． 734 61205 ． 283 101834 ． 119 作者简介：周烨，男， 1996 年毕业于辽宁工程技术大学测量工程专业，现任铁道部十九局二处助理工程师，先后参加过太峪隧道、南京长江二桥、宁台温高速公路高速公路线路(缓和曲线、竖曲线、圆曲线、匝道)坐标计算公式时间:2009-12-27 21:40:34 来源:本站作者:未知我要投稿我要收藏投稿指南高速公路的一些线路坐标、高程计算公式(缓和曲线、竖曲线、圆曲线、匝道)一、缓和曲线上的点坐标计算已知：①缓和曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l0④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：xZ，yZ计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当计算第二缓和曲线上的点坐标时，则：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180K值与计算第一缓和曲线时相反xZ，yZ为点HZ的坐标切线角计算公式：二、圆曲线上的点坐标计算已知：①圆曲线上任一点离ZH点的长度：l②圆曲线的半径：R③缓和曲线的长度：l0④转向角系数：K(1或－1)⑤过ZH点的切线方位角：α⑥点ZH的坐标：xZ，yZ计算过程：说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下：当只知道HZ点的坐标时，则：l为到点HZ的长度α为过点HZ的切线方位角再加上180K值与知道ZH点坐标时相反xZ，yZ为点HZ的坐标三、曲线要素计算公式公式中各符号说明：l——任意点到起点的曲线长度（或缓曲上任意点到缓曲起点的长度）l1——第一缓和曲线长度l2——第二缓和曲线长度l0——对应的缓和曲线长度R——圆曲线半径R1——曲线起点处的半径R2——曲线终点处的半径P1——曲线起点处的曲率P2——曲线终点处的曲率α——曲线转角值四、竖曲线上高程计算已知：①第一坡度：i1(上坡为“＋”，下坡为“－”)②第二坡度：i2(上坡为“＋”，下坡为“－”)③变坡点桩号：SZ④变坡点高程：HZ⑤竖曲线的切线长度：T⑥待求点桩号：S计算过程：五、超高缓和过渡段的横坡计算已知：如图，第一横坡：i1第二横坡：i2过渡段长度：L待求处离第二横坡点（过渡段终点）的距离：x求：待求处的横坡：i解：d=x/Li=(i2-i1)(1-3d2+2d3)+i1六、匝道坐标计算已知：①待求点桩号：K②曲线起点桩号：K0③曲线终点桩号：K1④曲线起点坐标：x0，y0⑤曲线起点切线方位角：α0⑥曲线起点处曲率：P0(左转为“－”，右转为“＋”)⑦曲线终点处曲率：P1(左转为“－”，右转为“＋”)求：①线路匝道上点的坐标：x,y②待求点的切线方位角：αT计算过程： 注：sgn(x)函数是取符号函数，当x<0时sgn(x)=-1，当x>0时sgn(x)=1，当x=0时sgn(x)=0。
在计算器中若无此函数可编一个小子程序代替复化辛卜生公式在公路中线坐标计算中，我们通常采用切线支距公式来计算曲线上各点的坐标但当在不同的曲线上计算时就需用不同的计算公式，这为计算也带来不便在设有缓和曲线的圆曲线半径较小或是卵形曲线上的坐标计算时，如公式选用不当就会出现较大计算误差，即便是能对切线支距公式进行多项展开，也会增加计算的难度而用复化辛卜生公式不仅能解决不同曲线线型或直线上的坐标计算问题，而且用复化辛卜生公式计算完全是可逆的（即：可顺前进方向也可逆向计算），尤其在计算第二缓和曲线和卵形曲线时显得尤为方便用辛卜生公式计算坐标的精度可由人为或程序自行判断，其计算结果完全能保证坐标计算的精度要求因此，可以说复化辛卜生公式是一个计算公路中线坐标的万能公式下面本人就该公式在公路中线坐标计算中的具体应用进行实例解析一、复化辛卜生公式式中：H=（Zi－ZA）/n(公式2)(公式3)Zi —待求点桩号ZA—曲线元起点桩号ZB—曲线元终点桩号ρA—曲线元起点曲率ρB—曲线元终点曲率a i曲线上任意一点处切线方位角的计算方法有以下三种方法1．利用公式（3）求得曲率代入公式（2）计算2．利用曲线元上已知起点和终点曲率用内插法求得曲率代入公式（2）计算3．利用切线角公式计算二、算例例：已知雅（安）攀（枝花）高速公路西昌西宁立交A匝道一卵形曲线（卵形曲线相关参数见图一，其计算略。
相关设计数据见下表现用辛卜生公式来计算卵形曲线中桩坐标图一已知相关设计数据见下表：主点 桩号坐 标 （m）切线方位角 （θ）XY ’ ”ZH AK0+0909987.40310059.37892 17 26.2HY1 AK0+1609968.98110125.341132 23 51.6YH1 AK0+223.7159910.60310136.791205 24 33.6HY2 AK0+271.8819880.43810100.904251 24 18.5YH2 AK0+384.0329922.31610007.909337 04 54.2HZ AK0+444.0329981.36310000.0000 00 00（一）由+271.881推算Zi=+223.715的坐标，n取2等分用公式(3)、公式（2）计算+247.798处曲线及方位角:ρ+247.798=175+(150-175)(247.798-271.881) (223.715-271.881)=0.01666666666666667a+247.798=7124’18.5” +(0.016666667+175)(247.798-271.881)180π2=5042’26.37”曲率及切线方位角计算表桩号n等分点处曲线曲率n等分点处 切线方位角 ’ ”2n等分点处曲线曲率2n等分点处 切线方位角 ’ ”公式(3) 计 算内插法 计 算公式(3) 计 算内插法 计 算+271.8810.013333333=1/7571 24 18.5 +259.840 0.0150.01561 37 52.2+247.7980.0166666670.01666666750 42 26.4 +235.757 0.0183333330.018333333338 38 0.96+223.7150.02=1/5025 24 36 切线方位角图示1将计算出的数据代入公式（1）求得+223.715中桩坐标如下：X=9880.438+(271.881-223.715)26(cos7124’18.5”+4(cos6137’52.22”+cos3838’0.96”)+2cos5042’26.37”+ cos2524’35.99”)=9910.5975 (设计值：9910.603)Y=10100.904+(223.715-271.881)26(sin7124’18.5”+4(sin6137’52.22”+sin3838’0.96”)+2sin5042’26.37”+ sin2524’35.99”)=10136.7945 (设计值：10136.791)（二）由+223.715推算Zi=+271.881的坐标，n取2等分用公式(3)计算+247.798处曲线及方位角:ρ+247.798=150+(175-150)(247.798-223.715)(271.881-223.715)=.01666666666666667a+247.798=20524’33.6”+ (0.016666667+150)(247.798-223.715)180π2=23042’23.98”其它各点依次代入公式计算，结果见下表:曲率及切线方位角计算表桩号n等分点处曲线曲率n等分点处 切线方位角 ’ ”2n等分点处曲线曲率2n等分点处 切线方位角 ’ ”公式(3) 计 算内插法 计 算公式(3) 计 算内插法 计 算+223.7150.02=1/50205 24 33.6 +235.757 0.0183333330.0183333333218 37 58.6+247.7980.0166666660.016666666230 42 24.0 +259.840 0.0150.015241 37 49.8+271.8810.013333333=1/75251 24 18.5 切线方位角图示2X=9910.603+(271.881-223.715)26(cos20524’33.6”+4(cos21837’58.87”+cos24137’49.83”)+2cos23042’23.98”+ cos25124’16.11”)=9880.4431 (设计值：9880.438)Y=10136.791+(271.881-223.715)26(sin20524’33.6”+4(sin21837’58.87”+sin24137’49.83”)+2sin23042’23.98”+ sin25124’16.11”)=10100.9008 (设计值：10100.904)由上可知，利用复化辛卜生公式计算路线坐标时可顺向或逆向计算。
三）前面正、反向的计算均是从卵形曲线的部分推算的，现在我们从卵形曲线所在完整缓和曲线的起点HZ’=+368.213点来推算终点+223.715和中间点+271.881.ai=aA-90L2(πRLS)公式(4)1.计算Zi=+223.715中桩坐标曲线元上等分点曲率及切线方位角计算表(n取4等分)桩 号n等分点处 曲线曲率n等分点处 切线方位角 ’ ”2n等分点处曲线曲率2n等分点处 切线方位角 ’ ”公式(3) 计 算内插法 计 算公式(2)计算公式(4)计算公式(3) 计 算内插法 计 算公式(2)计算公式(4)计算+368.2130108 12 02.1 +350.151 0.00250.0025106 54 25.16106 54 25.22+332.0890.0050.005103 01 34.33103 01 34.58 +314.026 0.00750.007596 33 28.8396 33 28.64+295.9640.010.0187 30 09.9787 30 9.97 +277.902 0.01250.012575 51 37.2275 51 37.54+259.8400.0150.01561 37 50.5861 37 51.35 +241.777 0.01750.017544 48 48.2544 48 47.8+223.7150.02=1/5025 24 33.5825 24 33.58 切线方位角图示3X=9890.293+(368.213-223.715)46(cos10812’02.1”+4(cos10654’25.22”+cos9633’28.64”+ cos7551’37.54”+ cos4448’47.8”)+2(cos10301’34.58”+ cos8730’9.97” +cos6137’51.35”)+ cos2524’33.58”)=9910.5963 (设计值：9910.603)Y=10006.838+ (368.213-223.715)46(sin10812’02.1”+4(sin10654’25.22”+sin9633’28.64”+ sin7551’37.54”+ sin4448’47.8”)+2(sin10301’34.58”+ sin8730’9.97” +sin6137’51.35”)+ sin2524’33.58”)=10136.7925 (设计值：10136.791)2.计算zi=+271.881中桩坐标曲线元上等分点曲率及切线方位角计算表(n取4等分)桩号n等分点处 曲线曲率n等分点处 切线方位角 ’ ”2n等分点处曲线曲率2n等分点处 切线方位角 ’ ”内插法 计 算公式(2)计算公式(4)计算内插法 计 算公式(2)计算公式(4)计算+368.2130108 12 02.1 +356.172 0.001666667 107 37 32.49+344.1300.003333333 105 54 02.97 +332.089 0.005 103 01 34.58+320.0470.006666667 99 00 05.6 +308.006 0.008333333 93 49 38.42+295.9640.01 87 30 09.97 +283.923 0.011666667 80 01 44.02+271.8810.013333333=1/75 71 24 16.09 +223.7150.02=1/5025 24 33.5825 24 33.58 切线方位角图示4X=9890.293+(368.213-271.881)46(cos10812’2.1”+4(cos10737’32.49”+cos10301’34.58”+ cos9349’38.42”+ cos8001’44.02”)+2(cos10554’02..97”+ cos9900’05.6” +cos8730’09.97”)+ cos7124’16.09”)=9880.4416 (设计值：9880.438)Y=10006.838+ (368.213-271.881)46(sin10812’2.1”+4(sin10737’32.49”+sin10301’34.58”+ sin9349’38.42”+ sin8001’44.02”)+2(sin10554’02.97”+ sin9900’05.6” +sin8730’09.97”)+ sin7124’16.09”)=10100.9008 (设计值：10100.904)由此我们不难看出，利用复化辛卜生公式计算公路中桩坐标不仅顺逆向很方便，而且可从中任取一段进行计算。
而计算中的关键是计算各等分点处的切线方位角，同时应分清n与2n等分点，注意不要混淆对于n的取值，从上我们可以看出：对一般缓和曲线取2-3即可，对卵形曲线视推算基准点而言不少于4其它如圆曲线、直线等中桩坐标的计算方法是一样的，在此就不一、缓和曲线缓和曲线是设置在直线与圆曲线之间或大圆曲线与小圆曲线之间，由较大圆曲线向较小圆曲线过渡的线形,是道路平面线形要素之一1．缓和曲线的作用1）便于驾驶员操纵方向盘2）乘客的舒适与稳定，减小离心力变化3）满足超高、加宽缓和段的过渡，利于平稳行车4）与圆曲线配合得当，增加线形美观2．缓和曲线的性质为简便可作两个假定：一是汽车作匀速行驶；二是驾驶员操作方向盘作匀角速转动，即汽车的前轮转向角从直线上的0均匀地增加到圆曲线上S=A2/ρ（A：与汽车有关的参数）ρ=C/sC=A2由上式可以看出，汽车行驶轨迹半径随其行驶距离递减，即轨迹线上任一点的半径与其离开轨迹线起点的距离成反比，此方程即回旋线方程3．回旋线基本方程即用回旋线作为缓和曲线的数学模型令：ρ=R，lh=s 则 lh=A2/R4．缓和曲线最小长度缓和曲线越长，其缓和效果就越好；但太长的缓和曲线也是没有必要的，因此这会给测设和施工带来不便。
缓和曲线的最小长度应按发挥其作用的要求来确定：1）根据离心加速度变化率求缓和曲线最小长度为了保证乘客的舒适性，就需控制离心力的变化率a1=0,a2=v2/ρ,as=Δa/t≤0.62）依驾驶员操纵方向盘所需时间求缓和曲线长度(t=3s)3）根据超高附加纵坡不宜过陡来确定缓和曲线最小长度超高附加纵坡（即超高渐变率）是指在缓和曲线上设置超高缓和段后，因路基外侧由双向横坡逐渐变成单向超高横坡，所产生的附加纵坡4）从视觉上应有平顺感的要求计算缓和曲线最小长度缓和曲线的起点和终点的切线角β最好在3——29之间，视觉效果好《公路工程技术标准》规定：按行车速度来求缓和曲线最小长度，同时考虑行车时间和附加纵坡的要求5．直角坐标及要素计算1）回旋线切线角（1）缓和曲线上任意点的切线角缓和曲线上任一点的切线与该缓和曲线起点的切线所成夹角βx=s2/2Rlh（2）缓和曲线的总切线角β=lh/2R.180/л2）缓和曲线直角坐标任意一点P处取一微分弧段ds，其所对应的中心角为dβxdx=dscosβxdy=dssinβx3）缓和曲线常数（1）主曲线的内移值p及切线增长值q内移值：p=Yh-R(1-cosβh)=lh2/24R切线增长值：q=Xh-Rsinβh=lh/2-lh3/240R2（2）缓和曲线的总偏角及总弦长总偏角：βh=lh/2R总弦长：Ch=lh-lh3/90R2O为圆曲线的圆心，圆曲线所对圆心角（等于公路偏角）。
当插入缓和曲线后，可以看作是原来半径为R+△R的圆曲线向内移动了△R距离，因此设置缓和曲线后的圆曲线半径为R当设置缓和曲线后，圆曲线所对圆心角也相应减小，减小后的圆心角等于，因而设置缓和曲线的可能条件为：，当时，两条缓和曲线在弯道中央直接相接，没有圆曲线段，形成了一条连续的缓和曲线当时，则不能设置所规定的缓和曲线，这时必须缩短缓和曲线长度或增大圆曲线半径4）缓和曲线要素计算《公路工程技术标准》规定，当R
3）绕路面外侧边缘旋转整个断面再绕未加宽前的外侧车道边缘旋转，直至超高横坡值适用：一般用于挖方的工程2）有中央分隔带的公路（1）绕中间带的中心线旋转先将外侧车道绕中间带的中心线旋转，待达到与内侧行车道构成单向横坡后，整个断面一同绕中心线旋转，直至超高横坡值此时中央分隔带呈倾斜状2）绕中央分隔带两侧边缘旋转将两侧行车道分别绕中央分隔带边缘旋转，使之各自成为独立的单向超高断面中央分隔带形状保持不变3）绕各自行车道中线旋转将两侧行车道分别绕各自的中线旋转，使之各自成为独立的单向超高断面此时中央分隔带两边缘分别升高与降低而成为倾斜断面2．超高缓和段的构成路面在缓和段上要经过准备阶段、双坡阶段和旋转阶段等三个阶段，才能从正常路过渡到圆曲线上的全超高断面1）准备阶段准备阶段也叫做提肩在进入超高缓和段之前的L0＝1～2m范围内，把路肩横坡抬高到与路面相同的横坡，即使路基顶面变成简单的双向横坡2）双坡阶段先保持路面内侧不动，外侧绕路中线向上旋转到与内侧同坡，这一过程成为双坡阶段其所需要的长度即为双坡阶段长度L1图超高的构成（3）旋转阶段当外侧路面变成与内侧相同的单向倾横坡后，路面保持内侧边缘线不动，整个路面绕内边缘线向上旋转，直到缓和段终点。
其所需要的长度即为旋转阶段长度L23．全超高断面全超高值的计算超高值就是指设置超高后路中线、路面边缘及路肩边缘对路基设计高程的高差路基设计高程一般是指路肩边缘的高程，在设置超高 、加宽路段，为未超高、加宽前的路肩边缘的高程直线段及不设超高、加宽的平曲线上的标准横断面中，路中线与设计高程的高差为h中：绕路面内边缘旋转的超高值计算：圆曲线段的全超高断面圆曲线上任一点相应的超高值都相等4．超高缓和段长度超高缓和段必须有一定的长度超高渐变率：在超高缓三、加宽缓和段1．加宽缓和段长度计算路面在圆曲线上设置加宽时，其宽度比直线段上大为避免路面宽度从直线段上的正常宽度到圆曲线段的加宽断面的突变，在直线和圆曲线之间应设置一段路面宽度的渐变段1）路线设置缓和曲线或超高缓和段时，加宽缓和段长度采用与缓和曲线或超高缓和段长度相同的值，，以尽量减少公路几何形状的变更次数2）不设缓和曲线或超高缓和段时加宽缓和段长度应按渐变率为1：15且长度不小于20m的要求设置，且取5米的整数倍2．加宽值的计算（1）二、三、四级公路的加宽缓和段加宽缓和段上任一点的加宽值bjx，与该点到加宽缓和段起点的距离Lx，同加宽缓和段全长Lj的比值成正比，即Bjx=Lx/Lj.bj（2）高等级公路加宽缓和高速公路、一级公路以及对路容有要求的二级公路，设置加宽缓和段时，为使路面加宽后的边缘圆滑、适顺，采用高次抛物线的形式过渡；Bjx=(4K3-3K4)*bj（3）一、二级公路的近郊的路段、桥梁、高架桥、挡土墙、隧道及设置各种安全防护设施的路段，也可采用插入回旋线的方法。
摘要：利用一缓和曲线算例，通过数学分析，推导出缓和曲线逐桩坐标计算公式，此公式可作为道路测设中的范例来运用，有很强的指导意义 关键词：缓和曲线、公式、逐桩坐标 一、 引言道路建设中，由于受地形或地质影响，经常需要改变线路方向，为满足行车要求，往往要用曲线把两条直线连接起来曲线的构成形式无外乎圆曲线和缓和曲线，本文以河北省沿海高速某曲线段为例推导出缓和曲线的逐桩坐标计算公式，以方便图纸的审核，满足施工放样的需求本公式具有良好的操作性，方便施工、提高精度，可作为道路测设中的范例运用 二、公式推导 1 、实例数据 河北省沿海高速公路一缓和曲线（如图）： AB 段为缓和曲线段， A 为 ZH 点， B 为 HY 点， RB=800m ； A 点里程为 NK0+080 ，切线方位角为 θA=100 00 ′ 24.1 ″，坐标为 XA=4355189.493,YA=476976.267 ； B 点里程为 NK0+158.125 ，切线方位角为 θB=102 48 ′ 15.6 ″，坐标为 XB=4355174.669 ， YB=477052.964 ，推求此曲线段内任意点坐标 2 、公式推导及实例计算 方法一：弦线偏角法 1 ）公式推导 由坐标增量的计算方法我们不难理解，求一点坐标可以根据其所在直线的方位角以及直线上另一点的坐标和距待求点的距离。
所以我们可以利用 ZH 点，只要知道待求点距 ZH 点的距离（弦长 S ）和此弦与 ZH 点切线方位角的夹角（转角 a ），即可求出该点坐标 根据回旋线方程 C=RL ，用 B 点数据推导出回旋线参数： C=RLS=800*78.125=62500 （ LS为 B 点至 ZH 点的距离） 设待求点距 ZH 点距离为 L 因回旋线上任意点的偏角 β0=L2/2RLS, 且转角 a=β0/3 ， 可得该点转角 a 曲线左转时 a 代负值） 根据缓和曲线上的弧弦关系 S=L-L5/90R2LS2， 可以求出待求点至 ZH 点的弦长 然后我们利用坐标增量计算公式可以推导出缓和曲线任意点坐标计算公式： X=XA+S*cos （ θA+a ） =4355189.493+ （ L-L5/90R2LS2） *cos （ θA+L2/6RLS） Y=YA+S*sin （ θA+a ） =476976.267+ （ L-L5/90R2LS2） * sin （ θA+L2/6RLS） 式中 θA=100 0 ′ 24.1 ″ 2 ）实例计算 现在我们利用此公式计算桩号为 NK0+140 的坐标 第一步，求出 L=140-80=60 米 第二步，求出 a=180L2/6 。