2019-2020年高考数学二轮专题复习知能专练二十概率随机变量及其分布一、选择题1．(xx宁波模拟)从一箱产品中随机抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.7，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )A．0.7 B．0.2C．0.1 D．0.3解析：选D ∵“抽到的不是一等品”的对立事件是“抽到一等品”，事件A＝{抽到一等品}，P(A)＝0.7，∴“抽到的不是一等品”的概率是1－0.7＝0.3.选D.2．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A．0.648 B．0.432C．0.36 D．0.312解析：选A 3次投篮投中2次的概率为P(k＝2)＝C0.62(1－0.6)，投中3次的概率为P(k＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P(k＝2)＋P(k＝3)＝C0.62(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.3．已知离散型随机变量X的概率分布列为X135P0.5m0.2则其方差D(X)＝( )A．1 B．0.6C．2.44 D．2.4解析：选C 因为0.5＋m＋0.2＝1，所以m＝0.3，所以E(X)＝10.5＋30.3＋50.2＝2.4，D(X)＝(1－2.4)20.5＋(3－2.4)20.3＋(5－2.4)20.2＝2.44.4．(xx届高三江西八校联考)从集合{1,2,3，…，10}中任取5个数组成集合A，则A中任意两个元素之和不等于11的概率为( )A. B.C. D.解析：选C 分组考虑：(1,10)，(2,9)，(3,8)，(4,7)，(5,6)．若A中任意两个元素之和不等于11，则5个元素必须只有每组中的其中一个，故所求概率P＝＝.故选C.5．(xx邯郸模拟)口袋里装有红球、白球、黑球各1个，这3个球除颜色外完全相同，有放回地连续抽取2次，每次从中任意地取出1个球，则2次取出的球的颜色不相同的概率是( )A. B.C. D.解析：选C 法一：由题意知，基本事件总数n＝33＝9，记事件M为“2次取出的球的颜色不相同”，则事件M所包含的基本事件个数m＝32＝6，所以2次取出的球的颜色不相同的概率P(M)＝＝＝，故选C.法二：由题意知，所有的基本事件为：红红、红白、红黑、白红、白白、白黑、黑红、黑白、黑黑，共9个，其中2次取出的球的颜色相同的基本事件有3个，所以2次取出的球的颜色不相同的概率为1－＝.6．(xx合肥模拟)已知袋中有3个白球，2个红球，现从中随机取出3个球，其中每个白球计1分，每个红球计2分，记X为取出3个球的总分值，则E(X)＝( )A. B.C．4 D.解析：选B 由题意知，X的所有可能取值为3,4,5，且P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，所以E(X)＝3＋4＋5＝.7．设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(3，p)，若P(ξ≥1)＝，则P(η≥2)的值为( )A. B.C. D.解析：选C ∵变量ξ～B(2，p)，且P(ξ≥1)＝，∴P(ξ≥1)＝1－P(ξ<1)＝1－Cp0(1－p)2＝，∴p＝，∴P(η≥2)＝1－P(η＝0)－P(η＝1)＝1－C03－C12＝1－－＝，故选C.8．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生每次发球成功的概率为p(01.75，则p的取值范围是( )A. B.C. D.解析：选C 由已知条件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>1.75，解得p>或p<，又由p∈(0,1)，可得p∈.9．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，则乙获胜的概率为( )A. B.C. D.解析：选C 设Ak，Bk(k＝1,2,3)分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P(Ak)＝，P(Bk)＝(k＝1,2,3)．记“乙获胜”为事件C，由互斥事件与概率计算公式知P(C)＝P(1B1)＋P(112B2)＋P(11223B3)＝P(1)P(B1)＋P(1)P(1)P(2)P(B2)＋P(1)P(1)P(2)P(2)P(3)P(B3)＝＋22＋33＝.10．(xx届高三湖北七市(州)联考)从数字1,2,3,4,5中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于12的概率为( )A. B.C. D.解析：选A 从5个数字中任意抽取3个数字组成一个三位数，并且允许有重复的数字，这样构成的数字有53＝125个．则各位数字之和等于12且没有重复数字，则该数只能含有3,4,5三个数字，可构成A＝6个三位数；若三位数的各位数字均重复，则该数为444；若三位数中有2个数字重复，则该数为552,525,255，有3个．因此，所求概率为P＝＝，故选A.二、填空题11．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝，其中k＝1,2,3,4,5,6，则a＝________，E(ξ)＝________.解析：根据题意可知P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，P(ξ＝5)＝，P(ξ＝6)＝，∴＋＋＋＋＋＝1，∴a＝，E(ξ)＝6a＝.答案： 12．(xx四川绵阳模拟)已知甲、乙二人能译出某种密码的概率分别为和，现让他们独立地破译这种密码，则两人都能译出密码的概率为________，两人中至少有1人能译出密码的概率为________．解析：两人都能译出密码的概率为＝.至少有1人能译出密码的对立事件是两人都不能译出密码， ∴至少有1人能译出密码的概率p＝1－＝.答案： 13．(xx届高三温州十校联合体期末联考)袋中有3个大小、质量相同的小球，每个小球上分别写有数字0,1,2，随机摸出一个将其上的数字记为a1，然后放回袋中，再次随机摸出一个，将其上的数字记为a2，依次下去，第n次随机摸出一个，将其上的数字记为an，记ξn＝a1a2…an，则：(1)随机变量ξ2的数学期望是________；(2)ξn＝2n－1时的概率是________．解析：可以求得随机变量ξ2的分布列如表所示：ξ0124P所以随机变量ξ2的数学期望为1；当ξn＝2n－1时，在n次取球中，有(n－1)次取到了2，有1次取到了1，故所求概率是.答案：1 14．(xx届高三浙江名校联考)袋中有大小相同的3个红球，2个白球，1个黑球．若不放回摸球，每次取1球，摸取3次，则恰有两次是红球的概率为________；若有放回摸球，每次取1球，摸取3次，则摸到红球次数的期望为________．解析：①每次取1球，摸取3次，则恰有两次是红球的概率P＝＝.②设摸到红球的次数为X，则X的可能取值为0,1,2,3，则每次摸到红球的概率为＝.P(X＝k)＝Ck3－k，(k＝0,1,2,3)．∴P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，∴E(X)＝0＋1＋2＋3＝.答案： 15．某班班会，准备从包括甲、乙两人的7名学生中选取4名学生发言，要求甲、乙两人至少有1人参加，则甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为________．解析：若无限制条件则有A种情况；若甲、乙两人都不被选中则有A种情况，因此甲、乙两人至少有1人被选中有A－A种情况．甲、乙两人都被选中且发言时不相邻共有AA种情况，故所求概率为P＝＝.答案：16．(xx成都模拟)已知函数f(x)＝mx3＋nx2＋x＋2 017，其中m∈{2,4,6,8}，n∈{1,3,5,7}，从这些函数中任取两个不同的函数，则它们的图象在(1，f(1))处的切线相互平行的概率是________．解析：函数f(x)＝mx3＋nx2＋x＋2 017，导函数为f′(x)＝mx2＋nx＋1，可得在(1，f(1))处的切线斜率为m＋n＋1.切线相互平行，即斜率相等，则(m，n)可为(2,7)，(8,1)，(4,5)，(6,3)；(2,5)，(4,3)，(6,1)；(2,3)，(4,1)；(4,7)，(6,5)，(8,3)；(8,5)，(6,7)，共C＋C＋1＋C＋1＝14组，又总共有C＝120组，则它们的图象在(1，f(1))处的切线相互平行的概率是＝.答案：17.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)等于________．解析：由题意X可取0,1,2,3，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝.故E(X)＝＋2＋3＝.答案：[选做题]1．经检测，有一批产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为ξ，则P(ξ＝k)取得最大值时，k的值为( )A．5 B．4C．3 D．2解析：选B 根据题意得，P(ξ＝k)＝Ck5－k，k＝0,1,2,3,4,5，则P(ξ＝0)＝C05＝，P(ξ＝1)＝C14＝，P(ξ＝2)＝C23＝，P(ξ＝3)＝C32＝，P(ξ＝4)＝C41＝，P(ξ＝5)＝C50＝，故当k＝4时，P(ξ＝k)最大．2．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3，n≥3)，从乙盒中随机抽取i(i＝1,2)个球放入甲盒中．(1)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi(i＝1,2)；(2)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i＝1,2)．则( )A．p1>p2，E(ξ1)E(ξ2)C．p1>p2，E(ξ1)>E(ξ2) D．p1p2，E(ξ1)0，P(ξ＝2)－P(ξ＝0)＝>0，P(ξ＝2)－P(ξ＝3)＝>0，又0