第五章 数值微积分一、内容分析与教学建议本章内容是数值微积分数值微分包括： 用插值多项式求数值微分、用三次样条函数求数值微分和用Richardson外推法求数值微分数值积分包括：常见的Newton-Cotes求积公式，如：梯形公式、 Simpson 公式和 Cotes 公式；复化求积公式； Romberg 求积公式和 Gauss 型求积公式等内容一） 数值微分1、利用 Taylor 展开式建立数值微分公式，实际上是利用导数的离散化，即用差商近似代替导数， 在由 Taylor 公式的余项估计误差； 由于当步长 h 很小时， 回出现两个非常接近的数相减，因此，在实际运用中往往采用事后估计的方法来估计误差2、用插值多项式求数值微分，主要是求插值节点处的导数的近似值借助第二章的Lagrange 插值公式及其余项公式，确定插值节点处的导数的近似值及其误差常用的有三点公式和五点公式3、阐明用三次样条函数 s( x) 求数值微分的优点：由第三章的三次样条函数知：只要 f ( x) 的 4 阶导数连续， 则当步长 h 0 时， s( x) 收敛到 f ( x) ， s ( x)s( x) 收敛到的性质f ( x) ，s ( x) 收敛到 f ( x) . 是：需要解方程组，当因此，用三次样条函数 s( x)h 很小时，计算量较大。
求数值微分，效果是很好的指出其缺点4、讲解用 Richardson 外推法求数值微分时， 首先阐明方法的理论基础是导数的离散化，即用差商近似代替导数； 然后重点讲解外推法的思想和推导过程， 因为这种方法和思路在后面的数值积分和微分方程数值解中还要用到二） 数值积分的一般概念1、由定积分的几何意义引入数值积分的思想，介绍求积公式、求积节点、求积系数、余项等基本概念2、重点介绍代数精度以及如何求一个判定积公式的代数精度，并举例说明3、介绍插值型求积公式以及插值型求积公式的代数精度的特点三） 等距节点的求积公式1、简单介绍一般的等距节点的插值型求积公式—— Newton-Cotes 公式以及 Cotes 系数2、重点介绍几种常用的 Newton-Cotes 公式：梯形公式、 Simpson 公式和 Cotes 公式要求学生掌握上述三种求积公式的表达式，并了解三种求积公式各自的余项3、以 Simpson 公式为例，求出它的代数精度是 3；并要求学生课后自己求出梯形公式和 Cotes 公式的代数精度四） 复化求积公式1、结合分段插值的思想阐明复化求积公式的思想2、重点介绍复化梯形公式、复化 Simpson 公式和复化 Cotes 公式以及它们各自的余项，并举一、两个例子加以说明。
3、简介事后估计和自适应 Simpson 方法五） Romberg 求积法1、 Romberg 求积法是一种逐步分半加速法，它是以复化梯形公式为基础构造高精度求积公式的方法，是一种快速、有效的求积法2、阐明 Romberg 公式的建立过程：利用事后估计的思想，从复化梯形公式建立一整套递推算法，进而得到 Romberg 公式，整个过程实际上是一个加速的过程3、可通过例子验证 Romberg 求积法的加速效果六） Gauss 型求积公式1、 Gauss 型求积公式也是一种高精度的插值型求积公式，但它的节点不是等距的，因而 Gauss 型求积公式不属于 Newton-Cotes 公式的范畴2、阐明 Gauss 型求积公式的代数精度是插值型求积公式的最大值，介绍 Gauss 点的概念，并说明 Gauss 点实际上是某个正交多项式的零点3、讲清楚 Gauss 型求积公式的求积系数的特殊构造，并由此证明 Gauss 型求积公式是稳定的，以及 Gauss 型求积公式的收敛性4、介绍几种 Gauss型求积公式：古典 Gauss公式、Gauss-Tchebyshev公式、Gauss-Laguerre公式和Gauss-Hermite公式。
让学生了解上述四中Gauss 型求积公式的表达式、表达式中的权函数、定积分的上、下限以及求积系数，并通过2— 3个例子具体阐述上述Gauss 型求积公式是如何求数值积分的，并和以前的方法比较它们的精度本章结束时，建议安排一次上机实习，让学生自己动手， 根据书中的算法， 编程计算各种数值积分的例子，加深和巩固学生对本章内容和方法的了解和掌握二、补充例题例 1用三点公式求 f (x)1在 x1.0, 1.1, 1.2 处的导数值，并估计误差，f ( x)x)2(1的函数值由下表给出：xi1.01.11.2f ( xi )0.2500000.226757.0.206612解 三点求导公式为f (x0 )1 [ 3 f ( x0 ) 4 f ( x1 )f ( x2 )]h2f ( 0 ),2hh23f (x1)1f ( x0 ) f ( x2 )][f ( 1 ),2h6f (x2 )1 [ f (x0 ) 4 f ( x1 ) 3 f (x2 )]h2f ( 2 );2h3取上表中 x01.0, x11.1, x21.2，再分别将有关数值代入上式，即可得导数的近似值。
因为 f ( i )max f( x)max4!4!0.75 ，所以可得误差估计及导数值如下551.0 x 1.21.0 x 1.2(1 x)2表：x1.01.11.2用三点公式求出的0.216940.18596f(x) 的近似值0.24792准确值 f ( x)0.250000.215960.18783理论误差限0.002500.001250.00250实际误差限0.002080.000980.00187例 2 从地面发射一枚火箭，在最初 80 秒内，记录其加速度如下表试求火箭在第 80秒时的速度t (秒 )01020304050607080a (米 / 秒 2 )30.0031.6333.4435.4737.7540.3343.2946.6950.67分析： 速度对时间 t 的导数等于加速度，因此已知加速度求速度，只需把速度看作是加速度的原函数即可 若设速度为 v(t ) ，则 v(t)ta(t )dt ，于是 v(80)v(0)80v(0)a(t) dt .00这样就把问题转化为求积分的问题解 应用复化 Simpson 求积公式计算此题中积分区间的长度是80，有 9个节点，故n 4,h80 4 20 . 由于火箭从地面向上发射，因此v(0)0 . 于是火箭在第80秒时的速v(80) v(0)80a(t) dt80度为0a(t)dt0120[30.004(31.6335.4740.3346.69)2(33.4437.7543.29)50.67]63087.03333(米 / 秒).例 3 计算椭圆 x2 y2 1的周长，使结果具有 5 位有效数字。
4分析： 这是一个求周长的问题，因此要用到线积分中的弧长公式在估计误差时，由于弧长公式中含有根式， 其高阶导数较复杂， 故可用事后误差估计的方法来做； 另外还必须把误差与有效数字结合起来使用解 由于在直角坐标系下求弧长表达式较复杂，因此采用极坐标来求解令 x2cos,ysin，则椭圆弧长为l42( x )2( y ) 2d42 4sin 2cos2d4 213sin 2d ，000因为I213sin 2d2，所以 I 有一位整数故若要求结果有5 位有效202数字，则必须使截断误差110 4.列表计算如下：2k等分 2kT2k31 T2kT2 k 1012.3561945122.419920780.0212421242.422103100.00072744382.422112060.0000029861210 4故可取 I T8 2.4221可使 I 有 5 位有效数字，从而 l 4 I 9.6884 .例 4 用反证法证明：不存在Ak,xk(k0,1,2,, )Ln ，使得求积公式bn( x) f ( x)dxAk f ( xk )ak 0的代数精度超过 2n 1次。
分析： 只要能找到一个 2n2 次的多项式，使求积公式两边不相等即可而具有2n1次代数精度的求积公式的节点是[a, b] 上带权(x) 的正交多项式的零点 xk (k0,1,2,L,n) ,n可考察 2n 2 次的多项式解 构造多项式 K ( x)b则左端有 (x) f ( x) dxan21 ( x)( x xi ) 2 .i 0n2nxi ) 2 ，并令 f (x)K ( x) ，代入上述求积公式，1 ( x)( xi 0bnn( x) K ( x)dx0 ；右端有Ak f ( xk )Ak K ( xk ) 0 ； 即左端ak0k 0右端这说明：不存在具有 2n 2 次代数精度的求积公式故 Gauss 型求积公式是具有最高次代数精度的求积公式例 5设 f ( x)C5 [x02h,x02h],h0,xkx0kh,fkf ( xk ), k0,1, 2，求证： (1)f( x0 )1( f28 f 18 f1f2 )O(h4 ) ；12h(2)f( x0 )1( f12 f0f1 )O(h2 ) .h2证 本题用 Taylor 公式来证1)因为f ( x2h)f ( x0) 2hf( x )1(2 h)2f( x)1(2h)3f(x)002!03!01(2 h) 4f (4)(x0 ) O(h5 ) ，4!f ( x0h)f ( x0 ) h f (x0 )1h2f ( x0 )1h3f ( x0 )2!3!1h4f (4) ( x0 )O( h5 ) ，4!所以 f ( x02h)f ( x0h)8 f ( x0h)f ( x02h)12hf(x0 )O(h5 ) ，即 f ( x )1 ( f28 f18 f1f) O(h4 ) .012h2(2)利用 (1)中 f ( x0h) 的展开式，得f ( x0 )12 f2) .h2 ( f 10f1 ) O( h%I ( f ) ，其中例 6 确定常数 A, B, C, D （均用分数精确表示） ，使求积公式 I ( f )I ( f )b%h2[ Af ( a)a ( xa) f ( x)d x , I ( f )数精确度，并指出代数精确度是多少？其中Bf (b)] h3[ Cf ( a) Df (b)] 具有尽可能高的代h b a .解 设该求积公式对 f ( x) 1, x a, ( x a)2 , (x a) 3 精确成立，得1a)2 b2[ A1B1]3[C0D0] ，(xahh21a)3 b2[ A0Bh]h3[C1D1] ，(xah31a)4 b2[ A0B23[C0D2h] ，(xahh] h415 b2[ A 0 B h33[C 0 D 3h2] ，( x a)h] h5a化简得AB1 ,2BCD1 ,3B2D1 ,4B3D1,5解得 A3711, B, C, D.20203020例 7 寻找合适的数值求积公式，计算出积分323d x 的准确值。
x 4x x1解3x23d x令x t 2 12) 1 t21因为 x 4 x(tdt1-1212 d(t 2) 21 t-11211 t(t2)211 t(t2)212)1 t2(tdtdt21-11t22-11t2211-1f (t )d t ，1 t2其中 f (t)t(t2) 2 ，权函数( x)1，所以可取 Gauss-Tchebyshev 求积公式1 t 211n,1,2, ,( )2 f (t )d tAk f ( xk )，其中Akkn .-11nLtk1又因为 f (t)t (t2) 2是 3 次多项式，且 () 具有 2n1 次代数精度，所以取n 2 ，可计算3x4x2111出积分x3d xf (t)d t 的准确值 此时12-11 t 2A131 x 4x,A2,x112,x2322cos2cos，244222232 4,f ( x1 ) x1 (x12)2222422232 4,f ( x2 ) x2 ( x22)22224x23d x111f (t)d t1[ A1 f ( x1 )A2 f ( x2 )]2-11t2212324232432 .2448。