第三章 信号及其描述,信号的分类与定义确定性信号与随机信号连续信号与离散信号周期信号与非周期信号,主 要 内 容,确定性信号的特性时间特性频率特性时间与频率的联系,确定性信号分析时域分析频域分析,随机信号特性及分析,第一节 概述 信号是信息的载体和具体表现形式，或者说，信号是随着时间变化的某种物理量只有变化的量中，才可能含有信息一、确定性信号,确定性信号：可用明确的数学关系是来描述的信号，即给定某一时间值，就可以确定一相应的函数值这样的信号称为确定信号t,x(t),o,,,x(t),o,,,t,,,t,x(t),o,,,,t,x(t),o,,简谐信号,复杂周期信号,准周期信号,瞬态信号,随机信号：不能用数学关系式来描述的信号更不能用此刻的值来预测未来的结果，只能用概率统计的方法描述它的规律 随机信号根据信号的波形形态又可分为：连续时间信号与离散时间信号，简称为连续信号与离散信号二、随机信号,连续信号与离散信号,如果在某一时间间隔内，对于一切时间值，除若干不连续点外，该函数都能给出确定的函数值，此信号称为连续信号 和连续信号相对应的是离散信号代表离散信号的时间函数只在某些不连续的时间值上给定函数值。
模拟信号是时间和幅值都是连续的连续的,数字信号是离散的 连续信号模拟信号 离散信号数字信号,连续信号,,,,,f(t),0,t,,,0,t,f(t),f0,f1,f2,,,离散信号,,,0,1,2,,,,,,3,4,-1,t,f(tk),(3),,,,,,,,(2),(4.5),(1.5),(6),(-1),第二节 周期信号及其描述,一周期信号的傅立叶级数 在测量中所获得的信号是随时间变化的，这种随时间变化的信号很直观，能反映幅值随时间变化的情况，但它不能揭示信号中所包含的频率，以及各频率的幅值和相位情况，运用傅立叶级数或傅立叶变换可将时域信号转化到频域中去 信号f(t)是周期信号，式中常数T 是信号的周期换言之，周期信号是每隔固定的时间又重现本身的信号，该固定的时间间隔称为周期 非周期信号无此固定时间长度的循环周期周期,整数,时域信号的时间特性,测量中所获得的信号是时间信号，这样的信号具有下列特点： 时间特性主要指信号随时间变化快慢、幅度变化的特性 同一形状的波形重复出现的周期长短 信号波形本身变化的速率（如脉冲信号的脉冲持续时间及脉冲上升和下降边沿陡直的程度） 以时间函数描述信号的图象称为时域图，在时域上分析信号称为时域分析。
频域信号的频率特性,信号的频率特性，用信号的频谱函数来表示在频谱函数中，包含了信号的下列信息量： 频谱函数表征信号的各频率成分，以及各频率成分的振幅和相位 频谱：对于一个复杂信号，可用傅立叶分析将它分解为许多不同频率的正弦分量，而每一正弦分量都以它的振幅和相位来表征将各正弦分量的振幅与相位分别按频率高低次序排列成频谱频带：复杂信号频谱中各分量的频率理论上可扩展至无限，但因原始信号的能量一般集中在频率较低范围内，在工程应用上一般忽略高于某一频率的分量频谱中该有效频率范围称为该信号的频带 以频谱描述信号的图象称为频域图，在频域上分析信号称为频域分析周期信号f(t)应当满足下列条件 狄利赫利条件： 在每周期内，函数f(t)是连续的，或者具有有限个间断点，即当t从较大的时间值和较小的时间值分别趋向间断点时，函数具有两个不同的有限的函数值 f(t)在一周期内不做无限次振动或有有限个极值点时 f(t)可展开成傅立叶级数 测试技术中的周期信号，大都满足该条件对于任何一个周期为T、且定义在区间（- T/2, T/2）内的周期信号f(t)，都可以用上述区间内的三角傅立叶级数表示： a0是频率为零的直流分量（如图），式中系数值为 傅立叶级数的这种形式称为三角函数展开式或称正弦-余弦表示，是用正交函数集来表示周期信号的一种常用方法。
傅立叶级数还可以改写成：,An-，n-分别称为幅值谱和相位谱，统称为频谱若是奇函数即 若是偶函数即,二周期信号的频谱,,,,,,,,,,,,,不同频率信号的时域图和频域图,,,,,,,,,,,,,,,,,复杂周期信号波形,,,,,,,,,,,,,,,,傅立叶级数的复指数展开形式： 根据欧拉公式 三角傅立叶级数与指数傅立叶级数并不是两种不同类型的级数，而只是同一级数的两种不同的表示方法指数级数形式比三角级数形式更简化更便于计算Cn,Cn,,,一般为复数,复数的幅值谱,复数的相位谱,,,,例题：求如图所示周期三角波的频谱,t,T/2,T,,O,,-T/2,-T,f(t),A,,从周期信号的频谱及例题可得到周期信号的频谱有以下特点： 谐波性：频率中的每一条线只能出现在基波频率或基波频率的整数倍上 离散性：由一些离散的线条组成，每一个线条代表一个频率 收敛性：各谐波的高度（振幅或幅值）总趋势随着谐波次数的增加而减小,三周期信号的其它指标：,（最大瞬时值）,信号的常值分量,如日光灯上的整流器，就是对输入信号求绝对值的器件,均值：,绝对均值：,峰值：,,,,,,,,o,有效值：,方均值：,反映了信号的平均功率,或称方均根值,t,t,x(t),x(t),例题：,t,x(t),o,t,x(t),o,t,x(t),o,,,,,,,,,,第三节 非周期信号的描述,一非周期信号的傅立叶变换 如果在表示周期信号f(t)的傅立叶级数中令周期T，则在整个时间内表示f(t)的傅立叶级数也能在整个时间内表示非周期信号。
f (t)的指数傅立叶级数可写为： 式中,Cn是复数振幅，将其代入f(t),得到 当T 增加时，基频1变小，频谱线变密，且各分量的振幅也减小，但频谱的形状不变在T的极限情况下，每个频率分量的幅度变为无穷小，而频率分量有无穷多个，离散频谱变成了连续频谱这时，f(t)已不是n1的离散函数，而是的连续函数以上过程可以用计算式说明由于相邻频率分量间隔为 =(n+1)1-n1=1 周期T 可写为 于是，有,当T 时，求和变成了取积分，变成d ，n1用表示因此有 式中方括号是原函数f(t)的频谱密度函数，简称频谱函数，它具有单位频率谐波振幅的量纲，记作F() 即 将原函数写成,其中：,称为,幅值谱密度,相位谱密度,称为,傅立叶变换的应用,傅立叶变换可将时域上较复杂的运算简化为相对简单的频域运算 作为时域上卷积积分例子的函数r(t)对应的频域函数为,二频谱密度函数的性质,1奇偶性：,奇偶,奇偶,2叠加性：,则,3时间尺度改变性：,若,若,则,4时移性：,5频移性 ：,6微分性：,若,若,若,则,则,则,7积分性：,8卷积性质：,若,若,则,则,三几种典型信号的傅立叶变换,1矩形窗函数（矩形脉冲函数）。
矩形脉冲g(t)及其对应的频域函数为G()分别如图和下面两式：,,,当=0时， G()=A ； =2k/ 时， G()=02. 函数的频谱,函数 的频谱密度函数 为一常 数，这表明在整个频率范围内都有分量存在， 不同频率的所有分量的强度都相同，这样的谱 通常称为“白色谱”,,(t)函数的性质： （1）抽样性,（2）. 单位脉冲函数的积分等于阶跃函数,（3） 函数与其他函数的卷积,该函数的傅立叶变换存在，否则求函数的傅立叶,就会受阻，解决这个问题,31的频谱,假设,4 频谱（ 是阶跃函数）,应用傅氏变换的积分性质,5 的频谱,,6 的频谱,,,,,,,,o,o,7,8 求周期单位脉冲序列信号的频谱,,,解：,,,,,,,,第四节 离散傅里叶变换(DFT),传感器,采 样,A/D,接 口,计算机,,,,,,一.周期信号的DFT,,,,,,,,,,,,,,,,,二. 周期函数IDFT(离散傅立叶逆变换),,三.非周期信号的DFT,可按周期信号的思想去考虑,t,x（t）,,,,周期化,离散化,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,采样数N增加,周期T增大,N，T都增大,,,,,第四节 随机信号,一. 随机过程及其分类： 随机过程是不能用确定的函数来表达。
如各种机 器的噪声，潮汐的变化等，但任何随机过程，从整 体来看可以显示一定的客观规律 如现研究某一段路面的起伏引起车辆振动的情 况：现有同种类型的车辆N辆，在相同位置上安装 同类型测振传感器，以相同速度通过该路面，记录 仪记录下N条曲线图 3-18 随机过程,称为样本函数,,样本函数的集合,表示为,称为总体,总体在某时刻tj均值:,随机过程在两不同时刻的相关性称为自相关函数：,当 都随tj的变化而变化 时，此时随机过程 称为非平稳过程当 都不随tj的变化而变化时，此时 随机过程 称为平稳过程对于平稳随机过程可用总体中某个样本函数的时间平均来表示它的特性即：,如果随机过程 是平稳的，而且不同 样本函数计算的 都相同 ，则称 此随机过程为各态历经的,图 3-19 随机过程的分类,二、随机信号的统计特性： 随机过程的统计特性分为三大类： （1）幅值域描述: 均值、方均值、方差、概率密度函数等 （2）时间域描述:自相关函数、互相关函数 （3）频率域描述: 自功率谱密度函数、互功率谱密度函数1、幅值统计特性： 均值：,也称为数学期望,在近似计算中T为有限值：,它表示了信号的直流分量,方均值：,它反映了信号的平均功率,,,,t,x(t),o,t,x、(t) ,o,,,,t,o,t,o,如整流电路,方差：,描述信号的波动分量,,x(t),,,,,,A,o,t,概率密度函数：,,,,,,,,,,,,,,,瞬时值< 的概率：,若 为任意值，概率：,由上图得：,瞬时值在 的概率：,定义随机信号 的幅度概率密度函数 ：,幅度概率密度函数应用 ：,例题 ：,求简谐信号 的幅度概率密度函数,当 为随机变量时，该简谐函数为一随机过程的一 个子样。
2时间域描述自相关函数，互相关函数,随机变量 相关系数：,现考察人身高和体重之间关系 坐标原点选在数据点的“重心”上，即：,,,自相关函数定义，性质和应用,,,,,,应用： 应用自相关函数性质（4）可提取淹没在噪声中的 周期信号，并对这一周期信号的周期和频率加以测 量 例题1：用非接触测量法测量旋转体的转速 当旋转体旋转时，引起自身和周围介质的同 频振动，这个振动可能淹没在噪上中的自相关仪原理：,时间位移 发生器（ ）,乘法器,X-Y记录仪,平均电路,,,,,,,,,,,,互相关函数定义，性质和应用,,,,,应用： （ 1）相关测速,,,,,,,,,,传1,传2,（2）相关测距 确定地下输油管破裂位置K,3频率域描述自功率谱密度函数，互功率 谱密度函数,,自功率谱密度函数,,,单边功率谱：工程上频率无负值定义单边功率谱,几种信号单边功率谱：,,,,简谐信号,宽带随机信号,窄带随机信号,,互功率谱密度函数,作业题：，，，39,。