双曲线的标准方程知识要点：（1）双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（）注意：①、上式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支（含的一支）；时为双曲线的另一支（含的一支）；②、当时，表示两条射线；③当时，不表示任何图形；④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距椭圆和双曲线比较：椭 圆双 曲 线定义方程焦点（2）双曲线的性质①、范围：从标准方程，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线的外侧即，即双曲线在两条直线的外侧②、对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心③、顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点在双曲线的方程里，对称轴是轴，所以令得，因此双曲线和轴有两个交点，他们是双曲线的顶点1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点2） 实轴：线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长虚轴：线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长④、渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。
从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近⑤、等轴双曲线：1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线定义式：；2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为： ；（2）渐近线互相垂直注意：以上几个性质与定义式彼此等价亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立3）注意到等轴双曲线的特征，则等轴双曲线可以设为： ，当时交点在轴，当时焦点在轴上⑥、注意与的区别：三个量中不同（互换）相同，还有焦点所在的坐标轴也变了3）、理解双曲线应注意的几点1、椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据．同样，双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个重要数据，由于，当从接近1逐渐增大时，的值就从接近于逐渐增大，双曲线的“张口”逐渐增大．2、要掌握根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的求法．∵，∴把标准方程中的“1”用“”替换即可得出渐近线方程．3、已知渐近线方程求双曲线的标准方程的方法：①、渐近线方程为的双曲线的方程为：（且为常数）．②、与双曲线有共同渐近线的双曲线的方程可设为（且为常数）．例题：1、已知圆C：,定点A（-3,0），则过定点A且与圆C外切的动圆圆心P的轨迹方程____________________2、双曲线的渐近线方程为y=x,则双曲线的离心率为______________3、若kR,试写出方程-=1表示双曲线的一个充分不必要条件_____________4、已知圆C过双曲线-=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是_____________5、已知曲线方程为+=1，当k的取值范围是________时，方程表示双曲线。
6、已知双曲线-=1的焦点为、,点M在双曲线上且Mx轴，则到直线M的距离为_______________7、一条双曲线x-=1的左焦点为，点P在双曲线左支的下半支上（不含左顶点），则直线P的斜率的取值范围是_________________8、双曲线-=1的两个焦点为、，点P在双曲线上，若PP ,则点P到x轴的距离为________________9、设和为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且满足P=60，则P的面积为____________________10、已知双曲线-=1（a>0,b>0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且仅有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是___________11、双曲线-=1（a>0,b>0）的左右焦点分别为、，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于M点，若M垂直于x轴，则双曲线的离心率为___________12、若、为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点在双曲线的左支上，点 在双曲线的右准线上，且满足，则该双曲线的离心率为（ ）A． B． C． D．313、已知双曲线的方程为-=1（a>0,b>0），点A.B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点,AB=m,为另一焦点，则AB的周长14、求适合下列条件的双曲线标准方程：（1）虚轴长为12，离心率为 （2）顶点间距离为6，渐近线方程为y=(3) 求与双曲线有公共渐近线，且过点M（2，-2）的双曲线方程。
15、已知圆C：x.以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为？16、已知双曲线的渐近线方程为y=,且焦点都在圆x上，求双曲线方程17、椭圆+=1（a>b>0）与双曲线（m,n>0）有公共焦点，P是它们的一个公共点1）用b和n表示cosP; （2）设=f(b,n),求f(b,n),18、双曲线的中心在原点，实轴在x轴上，且与圆x交于点P(2，-1)如果过点P的圆的切线恰平行于双曲线的左顶点与虚轴的上端点的连线，求双曲线的方程19、已知双曲线的中心在原点，焦点、在坐标轴上，离心率为且过点（4，-）（1）求双曲线方程（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证点M在以、为直径的圆上（3）求的面积20、已知双曲线C的方程为-=1（a>0,b>0），离心率e=，顶点到渐近线的距离为1）求双曲线C的方程；（2）P是双曲线C上一点A,B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围21、已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0） （1）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程； （2）设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程.习题练习：1．动点到点及点的距离之差为，则点的轨迹是（ ）A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线2．设双曲线的半焦距为，两条准线间的距离为，且，那么双曲线的离心率等于（ ）A． B． C． D． 3．过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦，是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率等于（ ）A． B． C． D．4．双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则（ ）A． B． C． D．5．双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P为该双曲线在第一象限的点，△PF1F2面积为1，且则该双曲线的方程为（ ）A． B． C． D．6．如果方程表示曲线,则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是 （ ）A． B． C． D． 7．双曲线的渐近线方程为，焦距为，这双曲线的方程为_______________。
8．若曲线表示双曲线，则的取值范围是 9．若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦点坐标是_________．10.双曲线与椭圆有共同的焦点，点是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求渐近线与椭圆的方程第 6 页 共 6 页。