1.1 集合的概念及特征【题组一 集合的判断】1．（2019·辽宁海州阜新实验中学高一月考）下列说法中正确的是( ) A．联合国所有常任理事国组成一个集合B．衡水中学年龄较小的学生组成一个集合C．{1，2，3}与{2，1，3}是不同的集合D．由 1，0，5，1，2，5 组成的集合有六个元素【答案】A【解析】年龄较小不确定,所以 B 错; {1，2，3}与{2，1，3}是相同的集合;由 1，0，5，1，2，5 组成的集合有 4 个元素,因此选 A.2．（2020·郸城县实验高中高一月考）下列几组对象可以构成集合的是（ ）A．充分接近 π 的实数的全体 C．世界著名的科学家【答案】DB．善良的人D．某单位所有身高在 1.7m 以上的人【解析】选项 A， B ，C所描述的对象没有一个明确的标准，故不能构成一个集合，选项 D 的标准唯一，故能组成集合．故选：D．3．（2019·河南高一期末）下列关于集合的命题正确的有（ ） ①很小的整数可以构成集合②集合{y|y=2x2+1}与集合{(x,y) |y=2x2+1}是同一个集合;③1，2，|-1 1|，0.5， 这些数组成的集合有 5 个元素 2 2④空集是任何集合的子集A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个【答案】B【解析】①很小的整数可以构成集合是错误的，不满足元素确定性，故错误②集合{y|y =2 x 2 +1}为{y | y ³1}，需要求出函数y =2 x 2 +1的值域，而{(x，y)|y=2x2+1}表示的集合为函数y =2 x 2 +1图象上的点，所以不是同一集合，故错误③l，2，-1 1，0.5， 这些数组成的集合有 3 个元素，而不是 5 个元素，故错误 2 2④空集是任何集合的子集正确综上只有 1 个命题正确，故选 B4．（2020·朝阳吉林省实验高二期末（文） 已知非零实数 a ， b ， c ，则代数式 的值的集合是（ ）a b c+ + | a | | b | | c |表示的所有A．{3}B．{-3}C．{3, -3}D．{3,-3,1,-1}【答案】D【解析】当a, b , c都为正数时，a b c= = =1 | a | | b | | c |；当a, b , c都为负数时，a b c= = =-1 | a | | b | | c |.因此，若a, b , c都为正数，则a b c+ + =3 | a | | b | | c |；若a, b , c两正一负，则a b c+ + =1 | a | | b | | c |；若若a, b , ca, b , c一正两负，则都为负数，则a b c+ + =-1 | a | | b | | c |a b c+ + =-3 | a | | b | | c |；.所以代数式a b c+ + | a | | b | | c |表示的所有的值的集合是{3,1,-1,-3}.故选：D.【题组二 集合的表示方法】ì1．（2019·浙江南湖嘉兴一中高一月考）方程组 íîx +y =2 x -y =0的解构成的集合是（ ）A．{1}B．(1,1)C．{(1,1)}D．{1,1}【答案】C【解析】∵{x +y =2 x -y =0∴{x =1y =1∴方程组{x +y =2 x -y =0的解构成的集合是{（1，1）}故选：C ．2．（2020·宁夏兴庆银川一中高二期末（文） 已知集合 为（ ）A ={x|-20} ；（4）{y|y =x 2 +2 x -10}.ì2x -3 y =14， ìx =4，【解析】（1）解方程组 í 得 í 故解集可用列举法表示为3 x +2 y =8， y =-2，{(4, -2)}.（2）方程 x2-2 x +1 =0 的实数根为 1，因此可用列举法表示为{1} .（3）集合的代表元素是点，可用描述法表示为x ( x, y) x <0且y >0}.（4）二次函数y =x 2 +2 x -10的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为 y，故可用描述法表示为{y|y =x2+2 x -10}.【题组三 集合中元素的意义】1．（2019·徐汇.上海中学高一期中）下列命题中正确的有（ ）①很小的实数可以构成集合；②集合y y =x2-1 与集合 ( x, y ) y =x2-1 是同一个集合；③集合{(x,y ) xy £0, x, y ÎR}是指第二和第四象限内的点集.x -y -3 =0î { x +1y y = x +1( x , y ) y = x +1î ï ï y =-x{ { { } { } ( )( )y =-xy =x y =-xA．0 个B．1 个C．2 个D．3 个【答案】A【解析】对于①，集合具有确定性，故①错；对于②，集合相等必须元素的类型相同，而前者为数，后者为点的集合，故②错； 对于③，坐标轴上的点不属于任何一个象限，故③错；故选 Aì2．（2019·全国高一课时练习）下列与集合 M =í(x, y ) |îìx +y =1 üí ý表示同一个集合的有（ ） î þA．{(2, -1)}B．{2, -1} C． {( x, y ) | x =2, y =-1}D． {x =2, y =-1} E. {(-1,2)} 【答案】ACì 【解析】由 íîx +y =1, ìx =2, 得 í 即x -y -3 =0 y =-1,M ={(2,-1)},所以根据集合的表示方法知 A,C 与集合 M 表示的是同一个集合故选：AC3．（2019·北京四中高一专题练习）下列集合是否有区别？（1）x y =} { } { } ；（2） ；（3）ìï ìy =x üï（4） í(x , y ) í ý；（5）î þ【答案】有区别【解析】由题意可知：{( x, y) y =x 或 y =-x}（1）（2）x y =y y =x +1}={xx³-1}，表示大于或等于-1的全体实数构成的集合； x +1}={yy³0}，表示大于或等于0的全体实数构成的集合；（3）( x , y ) y =x +1 ，表示曲线 y = x +1上所有的点构成的集合；ìï ìy =x üï（4） í(x , y) í ý= 0,0 ，表示点 0,0 构成的集合； ïî î ïþ（5）{( x, y ) y =x 或 y =-x}，表示直线 或直线上的点所构成的集合.综上所述，以上 5 个集合有区别.【题组四 集合与元素的关系】{ } 2 ç ÷1．（2020·浙江高一课时练习）已知集合A = y∣y =-x2+5 x -4, x ÎR ，则有（ ）.A．1ÎA 且 4 Î AB． 1ÎA 但4 Ï AC． 1 ÏA 但 4 Î AD．1 ÏA 且4 Ï A【答案】Bæ 5 ö 9【解析】由 y =-x2 +5 x -4 =- x - +è 2 ø 44 Ï A .故选：B则 1 ÎA ，94，即集合 A9 =( -¥, ]4，2（2020·浙江高二学业考试）已知集合A ={xÎR1 1 ；（3） a =0 或 a ³1【解析】（1）若 A 中只有一个元素，则方程 ax2+2x+1=0 有且只有一个实根，当 a=0 时，方程为一元一次方程，满足条件，此时 x=-12，当 a≠0，此时-4a=0，解得：a=1，此时 x=-1，（2）若 A 是空集，则方程 ax2+2x+1=0 无解，此 =4-4a＜0，解得：a＞1.（3）若 A 中至多只有一个元素，则 A 为空集，或有且只有一个元素，由（1），（2）得满足条件的 a 的取值范围是：a=0 或 a≥1.10．（2020·全国高一课时练习）设 A 为实数集，且满足条件：若 a∈A，则 求证：(1)若 2∈A，则 A 中必还有另外两个元素；(2)集合 A 不可能是单元素集．【答案】（1）见解析； （2）见解析.11 -a∈A(a≠1)．【解析】(1)若 a∈A，则11 -a∈A.又∵2∈A，∴11 -2＝－1∈A.∵－1∈A，∴1 1 -(-1)1＝ ∈A.21∵ ∈A，∴ 211 -12＝2∈A.1∴A 中另外两个元素为－1， .2(2)若 A 为单元素集，则 a＝11 -a，即 a2－a＋1＝0，方程无解．∴a≠11 -a，∴集合 A 不可能是单元素集．。