2 2 (完整)二次函数动点问题典型例题二次函数动点问题典型例题等腰三角形问题1 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax +bx 的对称轴为 x= ，且经过点 A（2,1），点 P 是抛物线上的动点,P 的横坐标为 m（0＜m＜2),过点 P 作 PB⊥x 轴，垂足为 B,PB 交 OA 于点 C，点 O 关于直线 PB 的对 称点为 D，连接 CD，AD，过点 A 作 AE⊥x 轴，垂足为 E．（1）求抛物线的解析式；（2）填空:①用含 m 的式子表示点 C，D 的坐标：C（ ， )，D( ， )；②当 m=时，△ACD 的周长最小；（3)若△ACD 为等腰三角形，求出所有符合条件的点 P 的坐标．面积最大1 如图,抛物线 y=﹣ x +mx+n 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C,抛物线的对称轴交 x 轴于点 D,已知 A(﹣1，0），C（0，2）．（1)求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点 P,使△PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出 P 点的坐 标；如果不存在，请说明理由；（3)点 E 时线段 BC 上的一个动点，过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点 F,当点 E 运动到什么位置时,四边 形 CDBF 的面积最大？求出四边形 CDBF 的最大面积及此时 E 点的坐标．1(完整)二次函数动点问题典型例题2．已知：如图，直线 y=3x+3 与 x 轴交于 C 点，与 y 轴交于 A 点，B 点在 x 轴上，△OAB 是等腰直角三角形． （1）求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）若直线 CD∥AB 交抛物线于 D 点，求 D 点的坐标；（3）若 P 点是抛物线上的动点,且在第一象限，那 PAB 是否有最大面积？若有，求出此时 P 点的坐标和 △PAB 的最大面积；若没有，请说明理由．22 3. (2015(完整)二次函数动点问题典型例题黔西南州）（第 26 题)如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 ABOC 如图放置，将此平行四边形绕点 O 顺时针旋转 90°得到平行四边形 A′B′OC′．抛物线 y=﹣x2+2x+3 经过点 A、C、A′三点． (1）求 A、A′、C 三点的坐标;（2）求平行四边形 ABOC 和平行四边形 A′B′OC′重叠部分′OD 的面积；（3)点 M 是第一象限内抛物线上的一动点，问点 M 在何处时 AMA′的面积最大?最大面积是多少？并写出 此时 M 的坐标．最短路径1。
2014 绵阳）如图,抛物线 y＝ax ＋bx＋c（a≠0）的图象过点 M（﹣2，)，顶点坐标为 N(﹣1， ），且与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点．（1）求抛物线的解析式；（2)点 P 为抛物线对称轴上的动点,当△PBC 为等腰三角形时,求点 P 的坐标；（3）在直线 AC 上是否存在一点 Q，使△QBM 的周长最小？若存在,求出 Q 点坐标；若不存在，请说明理由．32 (完整)二次函数动点问题典型例题2.（2014泸州）如图，已知一次函数 y = x+b 的图象 l 与二次函数 y =﹣x +mx+b 的图象 C′都经过点 B（0,1）1 2和点 C,且图象 C′过点 A（2﹣(1）求二次函数的最大值;，0)．（2）设使 y ＞y 成立的 x 取值的所有整数和为 s，若 s 是关于 x 的方程2 1的值；=0 的根，求 a（3）若点 F、G 在图象 C′上,长度为的线段 DE 段 BC 上移动,EF 与 DG 始终平行于 y 轴，当四边形 DEFG的面积最大时，在 x 轴上求点 P，使 PD+PE 最小，求出点 P 的坐标．42 2 2 (完整)二次函数动点问题典型例题平行四边形1。
（2015• 贵州省贵阳，第 24 题 9 分）如图，经过点 C（0，﹣4）的抛物线 y=ax +bx+c（a≠0)与 x 轴相 交于 A（﹣2，0），B 两点．（1）a ＞ 0，b ﹣4ac ＞ 0（填“＞”或“＜”）;（2）若该抛物线关于直线 x=2 对称,求抛物线的函数表达式；（3）在（2）的条件下，连接 AC，E 是抛物线上一动点，过点 E 作 AC 的平行线交 x 轴于点 F．是否存在这样 的点 E,使得以 A，C,E，F 为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点 E 的坐标；若不 存在，请说明理由．2.（14 分（）2015• 葫芦岛)（第 26 题）如图,直线 y=﹣ x+3 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 B，抛物线 y=ax + x+c 经过 B、C 两点．(1）求抛物线的解析式；（2)如图，点 E 是直线 BC 上方抛物线上的一动点，当△BEC 面积最大时，请求出点 E 的坐标 BEC 面积的 最大值?52 2 (完整)二次函数动点问题典型例题(3）在（2）的结论下，过点 E 作 y 轴的平行线交直线 BC 于点 M,连接 AM,点 Q 是抛物线对称轴上的动点，在 抛物线上是否存在点 P,使得以 P、Q、A、M 为顶点的四边形是平行四边形?如果存在，请直接写出点 P 的坐标； 如果不存在,请说明理由．3.（2015辽宁抚顺）(第 26 题，14 分)）已知 ABC 在平面直角坐标系中的位置如图①所示,A 点坐标为(﹣6，0），B 点坐标为(4,0），点 D 为 BC 的中点，点 E 为线段 AB 上一动点,连接 DE 经过点 A、B、C 三点的抛物 线的解析式为 y=ax +bx+8．（1)求抛物线的解析式；（2）如图①，将△BDE 以 DE 为轴翻 折,点 B 的对称点为点 G,当点 G 恰好落在抛物线的对称轴上时，求 G 点 的坐标；（3)如图②,当点 E 段 AB 上运动时,抛物线 y=ax +bx+8 的对称轴上是否存在点 F,使得以 C、D、E、F 为 顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由．62 2 (完整)二次函数动点问题典型例题4。
2015• 梧州，第 26 题 12 分）如图，抛物线 y=ax +bx+2 与坐标轴交于 A、B、C 三点，其中 B（4,0）、C（﹣2,0），连接 AB、AC，在第一象限内的抛物线上有一动点 D,过 D 作 DE⊥x 轴,垂足为 E,交 AB 于点 F． （1）求此抛物线的解析式;（2)在 DE 上作点 G，使 G 点与 D 点关于 F 点对称,以 G 为圆心，GD 为半径作圆，当⊙G 与其中一条坐标轴相 切时，求 G 点的横坐标；（3)过 D 点作直线 DH∥AC 交 AB 于 H,当△DHF 的面积最大时，在抛物线和直线 AB 上分别取 M、N 两点,并使 D、 H、M、N 四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的 M、N 两点的横坐标．5 (2015• 甘南州第 28 题 12 分）如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y=﹣ x +bx+c，经过 A（0,﹣4），B(x ，10）,C（x ，0）三点，且｜x ﹣x |=5．2 2 1(1）求 b,c 的值；（2)在抛物线上求一点 D，使得四边形 BDCE 是以 BC 为对角线的菱形;（3）在抛物线上是否存在一点 P，使得四边形 BPOH 是以 OB 为对角线的菱形？若存在，求出点 P 的坐标,并 判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．72 (完整)二次函数动点问题典型例题角度问题1. （2015宁德 第 24 题 14 分）已知抛物线 y=x +bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点,与 y 轴交于点 C，O 是坐标原点，点 A 的坐标是(﹣1，0）,点 C 的坐标是（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线 BC 的函数表达式和∠ABC 的度数；（3)P 为线段 BC 上一点，连接 AC，AP，若∠ACB=∠PAB，求点 P 的坐标．8(完整)二次函数动点问题典型例题函数应用1. （2015广东茂名 23,8 分）某公司生产的某种产品每件成本为 40 元，经市场调查整理出如下信息:①该产品 90 天内日销售量（m 件)与时间(第 x 天）满足一次函数关系，部分数据如下表:时间（第 x 天） 1 3 6 10 …日销售量（m 件） 198 194 188 180 …②该产品 90 天内每天的销售价格与时间（第 x 天)的关系如下表：时间（第 x 天） 1≤x＜50 50≤x≤90销售价格（元/件） x+60 100（1）求 m 关于 x 的一次函数表达式;(2)设销售该产品每天利润为 y 元，请写出 y 关于 x 的函数表达式,并求出在 90 天内该产品哪天的销售利润 最大？最大利润是多少？【提示:每天销售利润=日销售量×（每件销售价格﹣每件成本）】（3）在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于 5400 元，请直接写出结果．92 (完整)二次函数动点问题典型例题相似三角形1. （2015辽宁铁岭)（第 26 题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax +bx+与 x 轴交于 A(﹣3，0）,B（1，0)两点．与 y 轴交于点 C，点 D 与点 C 关于抛物线的对称轴对称．(1)求抛物线的解析式，并直接写出点 D 的坐标；(2）如图 1，点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 A→B 匀速运动，到达点 B 时停止运动．以 AP 为边作等边△APQ（点 Q 在 x 轴上方),设点 P 在运动过程中 APQ 与四边形 AOCD 重叠部分的面积为 S，点 P 的运动时间为 t 秒,求 S 与 t 之间的函数关系式;(3)如图 2，连接 AC，在第二象限内存在点 M，使得以 M、O、A 为顶点的三角形与△AOC 相似．请直接写出所 有符合条件的点 M 坐标．102 2 (完整)二次函数动点问题典型例题解析式的应用1。
(2015• 天津，第 25 题 10 分)（2015• 天津）已知二次函数 y=x +bx+c（b，c 为常数）．（Ⅰ）当 b=2，c=﹣3 时，求二次函数的最小值；（Ⅱ）当 c=5 时,若在函数值 y=l 的怙况下，只有一个自变量 x 的值与其对应，求此时二次函数的解析式；（Ⅲ）当 c=b 时，若在自变量 x 的值满足 b≤x≤b+3 的情况下，与其对应的函数值 y 的最小值为 21,求此时 二次函数的解析式．112 2(完整)二次函数动点问题典型例题综合练习1. （2015• 辽宁阜新）(第 18 题，12 分）如图,抛物线 y=﹣x +bx+c 交 x 轴于点 A(﹣3，0）和点 B，交 y 轴 于点 C(0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点 P 在抛物线上，且 S△ =4S ,求点 P 的坐标;AOP BOC（3）如图 b，设点 Q 是线段 AC 上的一动点，作 DQ⊥x 轴，交抛物线于点 D，求线段 DQ 长度的最大值．2 (2015• 黑龙江省大庆,第 28 题 9 分）已知二次函数 y=x +bx﹣4 的图象与 y 轴的交点为 C，与 x 轴正半 轴的交点为 A，且 tan∠ACO=（1)求二次函数的解析式；(2）P 为二次函数图象的顶点，Q 为其对称轴上的一点，QC 平分∠PQO，求 Q 点坐标;（3）是否存在实数 x 、x （x ＜x ），当 x ≤x≤x 时，y 的取值范围为1 2 1 2 1 2的值；若不存在，说明理由．≤y≤ ?若存在，直接写在 x ，x1 212(完整)二次函数动点问题典型例题3. （2015北海，第 26 题 14 分)如图 1 所示，已知抛物线 y=﹣x2+4x+5 的顶点为 D，与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，E 为对称轴上的一点，连接 CE，将线段 CE 绕点 E 按逆时针方向旋转 90°后，点 C 的对应 点 C′恰好落在 y 轴上．（1)直接写出 D 点和 E 点的坐标；(2)点 F 为直线 C′E 与已知抛物线的一个交点,点 H 是抛物线上 C 与 F 之间的一个动点，若过点 H 作直线 HG与 y 轴平行，且与直线 C′E 交于点 G,设点 H 的横坐标为 m（0＜m＜4），那么当 m 为何值时，S S =5:6？HGF △BGF（3）图 2 所示的抛物线是由 y=﹣x2+4x+5 向右平移 1 个单位后得到的，点 T(5，y）在抛物线上，点 P 是抛物线上 O 与 T 之间的任意一点,段 OT 上是否存在一点 Q，使△PQT 是等腰直角三角形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．13。