14个填空题专项强化练(四) 导数及其简单应用A组——题型分类练题型一 导数的概念与运算1．y＝的导数为________．解析：y′＝′＝＝＝.答案：2．已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．解析：因为f′(x)＝a－，所以f′(1)＝a－1，又f(1)＝a，所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)，令x＝0，得y＝1.答案：13．若曲线y＝acos x＋1在点处的切线与直线2x＋y＋3＝0垂直，则a＝________.解析：因为y＝acos x＋1的导函数为y′＝－asin x，所以曲线在点处的切线的斜率为k＝－a，由于切线与直线2x＋y＋3＝0垂直，则(－a)(－2)＝－1，即a＝－.答案：－4．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2xf′(2)，则f′(5)＝________.解析：对f(x)＝3x2＋2xf′(2)求导，得f′(x)＝6x＋2f′(2)．令x＝2，得f′(2)＝－12.再令x＝5，得f′(5)＝65＋2f′(2)＝6.答案：6[临门一脚]1．求导时应注意：(1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可减少运算量．(2)对于商式的函数若在求导之前变形，则可以避免使用商的导数法则，减少失误．2．利用导数求切线方程时，函数在某点处的切线斜率等于在该点的导数值，求导之后要注意代入的是切点横坐标，如果没有切点坐标，一般要设出切点坐标，再利用导数的几何意义求切线方程．题型二 导数与函数的单调性1．函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为________．解析：函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－＝，令f′(x)<0，解得00)，当x－≤0时，有00且a＋1≤3，解得10与f(x)为增函数的关系：f′(x)>0能推出f(x)为增函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0，所以f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件．2．用导数研究含参函数单调性首先要求定义域，单调性的逆向问题应该解f′(x)≥0或f′(x)≤0的恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的运用．3．函数在给定区间上单调、不单调、存在单调区间这三类问题要区分清楚．题型三 导数与函数的极值、最值1．函数y＝2x－的极大值是________．解析：y′＝2＋，令y′＝0，得x＝－1.当x<－1时，y′>0；当－10，解得x>；令f′(x)<0，解得0a，则实数a的取值范围为________．解析：f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0，得3x2－x－2＝0，解得x＝1或x＝－，故f(x)在，(1,2)上单调递增，在上单调递减，故f(x)在x＝1处取得极小值，且f(1)＝，f(－1)＝，故f(x)min＝，所以a<.答案：9．f(x)＝x3－4x＋m的极小值为－，则m的值为________．解析：f′(x)＝x2－4，当f′(x)＝0时，x＝－2或x＝2.当f′(x)<0时，－20时，x<－2或x>2.∴f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数，在(－2,2)上是减函数．∴f(x)极小值＝f(2)＝23－42＋m＝－＋m＝－.∴m＝4.答案：410．已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)<，则f(x)<＋的解集为________．解析：设F(x)＝f(x)－，则F(1)＝f(1)－＝1－1＝0，F′(x)＝f′(x)－，对任意x∈R，有F′(x)＝f′(x)－<0，即函数F(x)在R上单调递减，则F(x)<0的解集为(1，＋∞)，即f(x)<＋的解集为(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)11．已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，则m的取值范围为________．解析：因为f(x)在x＝－1处取得极值，所以f′(－1)＝3(－1)2－3a＝0，所以a＝1.所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.故由f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的图象(如图所示)可知，实数m的取值范围是(－3,1)．答案：(－3,1)12．定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f′(x)．若对任意的实数x，都有2f(x)＋xf′(x)<2恒成立，则使x2f(x)－f(1)0时，G′(x)<0，G(x)在(0，＋∞)上单调递减，故由G(x)1，同理当x<0时，由G(x)0，M(a2，a)，N(ln a，a)，故MN的长l＝|a2－ln a|，设f(a)＝a2－ln a(a>0)，所以f′(a)＝2a－＝＝，令f′(a)>0，得a>，所以f(a)在上单调递增；令f′(a)<0，得00，所以l＝|a2－ln a|＝a2－ln a＝f(a)，所以当a＝时，线段MN的长取得极小值，也是最小值．答案：14．若函数f(x)＝ex＋x3－x－1的图象上有且只有两点P1，P2，使得函数g(x)＝x3＋的图象上存在两点Q1，Q2，且P1与Q1，P2与Q2分别关于坐标原点对称，则实数m的取值集合是________．解析：设函数f(x)的图象上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则Q1(－x1，－y1)，Q2(－x2，－y2)，故有即方程－＝－x3－在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有两解，即方程xex－x2－x＝m在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有两解，即函数h(x)＝xex－x2－x(x≠0)的图象与y＝m的图象有两个交点，令h′(x)＝(ex－1)(x＋1)＝0得，x＝0(舍去)或x＝－1，作出函数h(x)图象知，当且仅当x＝－1时有两解，所以m＝h(－1)＝.答案：。
