1.3.1 二项式定理课时目标1.掌握二项式定理，掌握通项公式.2.弄清二项式系数与展开式中某项系数的联系和区别.3.能够用二项式定理进行有关的计算和证明．1．二项式定理(1)二项展开式：(a＋b)n＝________________________________________，叫做二项式定理．(2)(a＋b)n的二项展开式共有________项，其中各项的系数________(r＝0,1,2，…，n)叫做展开式的二项式系数．2．二项展开式的通项(a＋b)n的二项展开式中的____________叫做二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即Tr＋1＝____________.一、选择题1．(2x＋3y)8展开式的项数为( )A．8 B．9 C．10 D．72．1－2C＋4C－8C＋16C＋…＋(－2)nC等于( )A．1 B．－1 C．(－1)n D．3n3．在(x2－)5的二项展开式中，含x4的项的系数是( )A．－10 B．10 C．－5 D．54．(－)10的展开式中含x的正整数指数幂的项数是( )A．0 B．2 C．4 D．65．如果(3x2－)n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为( )A．3 B．5 C．6 D．106．(1＋)6(1＋)10展开式的常数项为( )A．1 B．46 C．4 245 D．4 246二、填空题7．(－)6的展开式中，x3的系数为________．8．已知(1＋kx2)6(k是正整数)的展开式中，x8的系数小于120，则k＝________.9．(1＋x＋x2)(x－)6的展开式中的常数项为______．三、解答题10．求230－3除以7的余数．11．已知(－)n(n∈N*)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10∶1，(1)证明展开式中没有常数项；(2)求展开式中含x的项．能力提升12．若(x－)9的展开式中x3的系数是－84，则a＝________.13．若(＋)n的展开式中前三项系数成等差数列，求：(1)展开式中含x的一次幂的项；(2)展开式中所有x的有理项．1．通项公式Tr＋1＝Can－rbr(n∈N＋，r＝0,1,2，…，n)中含有a，b，n，r，Tr＋1五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素，在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题(如判断和计算二项展开式中的特殊项)．2．运用二项式定理可以解决一些多项式化简、整除问题、近似计算问题等．1．3 二项式定理1．3.1 二项式定理答案知识梳理1．(1)Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N＋) (2)n＋1 C2．Can－rbr Can－rbr作业设计1．B2．C [1－2C＋4C－8C＋16C＋…＋(－2)nC＝(1－2)n＝(－1)n.]3．B [∵(x2－)5的二项展开式的通项Tr＋1＝C(x2)5－r(－)r＝C(－1)rx10－3r令10－3r＝4，∴r＝2.∴x4的系数是C(－1)2＝10.]4．B [Tr＋1＝Cx(－)rx－r＝C(－)rx.若是正整数指数幂，则有为正整数，∴r可以取0,2，∴项数为2.]5．B [因为Tr＋1＝C(3x2)n－r(－2x－3)r＝(－2)r3n－rCx2n－5r，则2n－5r＝0，即5r＝2n，所以或….故n的最小值为5.]6．D [(1＋)6的展开式有7项，通项为Tr＋1＝C()r＝Cx(r＝0,1,2，…，6)；(1＋)10的展开式有11项，通项为Ts＋1＝C()s＝Cx－(s＝0,1,2，…，10)；(1＋)6(1＋)10的展开式有77项，通项为CxCx－＝CCx，由4r－3s＝0得或或.故常数项为1＋CC＋CC＝4 246.]7．15解析 设含有x3项为第(r＋1)项，则Tr＋1＝C()6－r()r＝Cx6－ry(－y)rx－＝Cx6－r－y(－y)r，令6－r－＝3，即r＝2，∴T3＝Cx3y2＝Cx3，系数为C＝＝15.8．1解析 x8是(1＋kx2)6的展开式的第5项，x8的系数为Ck4＝15k4，由已知，得15k4<120，即k4<8，又k是正整数，故k＝1.9．－5解析 (1＋x＋x2)(x－)6＝(1＋x＋x2)[Cx6(－)0＋Cx5(－)1＋Cx4(－)2＋Cx3(－)3＋Cx2(－)4＋Cx(－)5＋Cx0(－)6]＝(1＋x＋x2)(x6－6x4＋15x2－20＋－＋)，所以常数项为1(－20)＋x2＝－5.10．解 230－3＝(23)10－3＝810－3＝(7＋1)10－3＝C710＋C79＋…＋C7＋C－3＝7(C79＋C78＋…＋C)－2＝7(C79＋C78＋…＋C)－7＋5.∴余数为5.11．(1)证明 由题意知第5项的系数为C(－2)4，第3项的系数为C(－2)2，则＝，解得n＝8，或n＝－3(舍去)．通项公式Tr＋1＝C()8－r(－)r＝C(－2)rx.若Tr＋1为常数项，当且仅当＝0，即5r＝8，且r∈N，这是不可能的，所以展开式中没有常数项．(2)解 由(1)知，展开式中含x的项需＝，则r＝1，故展开式中含x的项为T2＝－16x.12．1解析 由Tr＋1＝Cx9－r(－)r＝(－a)rCx9－2r，令9－2r＝3，则r＝3，即(－a)3C＝－84，解得a＝1.13．解 由已知条件得：C＋C＝2C，解得n＝8或n＝1(舍去)．(1)Tr＋1＝C()8－r()r＝C2－rx4－r，令4－r＝1，得r＝4，∴含x的一次幂的项为T4＋1＝C2－4x＝x.(2)令4－r∈Z(r≤8)，则只有当r＝0,4,8时，对应的项才是有理项，有理项分别为：T1＝x4，T5＝x，T9＝.。
