第六章第六章常微分方程自测常微分方程自测题题dxxfdyyg)()(第六章第六章 常微分方程小结常微分方程小结一、可分离变量方程一、可分离变量方程两边积分两边积分dxxfdyyg)()(得通解得通解CxFyG )()(二、可化为可分离变量方程二、可化为可分离变量方程齐次方程齐次方程),(xydxdy uxyxyu 即即令令,)(dxduxuuxuxdxdy 则则代入原微分方程得代入原微分方程得第六章第六章常微分方程自测常微分方程自测题题 uudxduxudxduxu)()(dxxduuu1)(1 可分离变量方程可分离变量方程三、一阶非齐次线性微分方程三、一阶非齐次线性微分方程)0)()()(xQxQyxpdxdy通解公式：通解公式：dxxPdxxPeCdxexQy)()()(第六章第六章常微分方程自测常微分方程自测题题四、二阶常系数齐次线性微分方程四、二阶常系数齐次线性微分方程0 qyypy解法：解法：1、写出特征方程：、写出特征方程：02 qprr2、求出特征根、求出特征根21,rr3、按下表写出微分方程的通解：、按下表写出微分方程的通解：第六章第六章常微分方程自测常微分方程自测题题的的根根02 qprr的的通通解解0 qyypyxrxreCeCy2121 21,rr不不相相等等实实根根21rr 相相等等实实根根 ir 21，共共轭轭复复根根xrexCCy1)(21 )sincos(21xCxCeyx 五、二阶常系数非齐次线性微分方程五、二阶常系数非齐次线性微分方程)1()(xfqyypy 所所对对应应的的齐齐次次方方程程：)1()2(0 qyypy第六章第六章常微分方程自测常微分方程自测题题解法：解法：1、先求齐次方程（、先求齐次方程（2）的通解：）的通解：).()(2211xyCxyCy 2、再求（、再求（1）的一个特解，）的一个特解，时时当当)()(xPexfmx 3、写出非齐次方程（、写出非齐次方程（1）的通解：）的通解：设（设（1）的特解为）的特解为)(*xQexymxk 同同次次的的多多项项式式，而而是是与与其其中中)()(xPxQmm，是是重重特特征征根根是是单单特特征征根根不不是是特特征征根根 ,2,1,0k.)()(*2211yxyCxyCy 将将 代入方程（代入方程（1），解出），解出.*y*y第六章第六章常微分方程自测常微分方程自测题题一、填空题一、填空题.arcsin12122Cxyyxy 的的通通解解为为、微微分分方方程程分析：分析：xdxdyy2112 分分离离变变量量，得得 xdxdyy2112两两边边积积分分.arcsin2Cxy 得得通通解解第六章第六章常微分方程自测常微分方程自测题题eyyyxyx 2lnsin2 满满足足初初始始条条件件、微微分分方方程程.sincos1lnxxy 的的特特解解为为分析：分析：dxxdyyysin1ln1 分分离离变变量量，得得,sin1ln1 dxxdyyy两边积分两边积分,cotcsclnlnln1Cxxy 得得通通解解 xdxydycsc)(lnln1即即,sincos1lnxxCy 整整理理得得，代代入入上上式式，解解得得将将12 Ceyx.sincos1lnxxy 故故特特解解为为第六章第六章常微分方程自测常微分方程自测题题.)(0232122xexCCyydxdydxyd 的的通通解解为为、微微分分方方程程分析：分析：0122 rr特特征征方方程程为为121 rr解解得得特特征征根根为为,齐齐次次线线性性微微分分方方程程所所给给方方程程为为二二阶阶常常系系数数.)(21xexCCy 故故微微分分方方程程通通解解为为第六章第六章常微分方程自测常微分方程自测题题二、选择题二、选择题的的通通解解为为、下下列列微微分分方方程程中中)2sinC2cos(,121xxCeyx ；032)A(yyy分析：分析：数数齐齐次次线线性性微微分分方方程程，四四个个选选项项均均为为二二阶阶常常系系选选项项有有一一对对共共轭轭复复根根得得根根分分别别计计算算其其特特征征方方程程的的B,）微分方程是（微分方程是（B；052)B(yyy；02)C(yyy.0136)D(yyyir212,1 ).2sinC2cos(21xxCeyx 相相应应微微分分方方程程的的通通解解为为第六章第六章常微分方程自测常微分方程自测题题的的特特解解形形式式、微微分分方方程程xxeyyy2652 ；xxebaxy2)()A(分析：分析：方程对应的齐次方程为方程对应的齐次方程为）为常数）为（为常数）为（其中（其中Aba,；xebaxy2)()B(；baxeyx 2)C(.)D(2baeyx 065 yyy,0652 rr特特征征方方程程为为.3,221 rr解解得得特特征征根根,)(2xxexf 设设次方程的特解为：次方程的特解为：.)(2xxebaxy 是是单单特特征征根根，故故设设非非齐齐2,1 m第六章第六章常微分方程自测常微分方程自测题题的的特特解解形形式式、微微分分方方程程13 xeyy；baex)A(分析：分析：）为常数）为（为常数）为（其中（其中Bba,.)D(bxaxex；baxex)B(；bxaex)C(,012 r特特征征方方程程.1,121 rr解解得得特特征征根根1,0,)(1 mexfx设设的的特特解解，先先讨讨论论xeyy .*1xaxey 是是单单特特征征根根，设设的的特特解解，再再讨讨论论1 yy0,0,1)(2 mxf设设.*2by 不不是是特特征征根根，设设.*2*1*baxeyyyx 为为：故故微微分分方方程程的的特特解解形形式式第六章第六章常微分方程自测常微分方程自测题题。
xyyysin1cos1 通通解解三三、求求下下列列微微分分方方程程的的dxxdyyy1sin1cos 分分离离变变量量得得解解，两两边边积积分分 dxxdyyy1sin1cos，）（即即 dxxydy11sinsin11.2)sin1ln(Cxy 得得通通解解第六章第六章常微分方程自测常微分方程自测题题xyedxdyxy 2解解,uxyxyu 即即令令代代入入方方程程得得则则,dxduxudxdy uuedxduxuedxduxu 即即,11dxxdueu 分分离离变变量量得得1lnCxeu 两两边边积积分分得得.lnCxexy 故故所所给给方方程程通通解解为为：第六章第六章常微分方程自测常微分方程自测题题3)2(2)2(3 xydxdyx方方程程变变形形为为解解,)2(2212 xyxdxdy,)2(2)(,21)(2 xxQxxP,21ln)2ln()2ln(21)(1 xxxdxxdxxPdxxxdxexdxexQxdxxP21)2(2)2(2)(221ln2)(2)2()2(2 xdxx).2()2()(2)()(xCxeCdxexQydxxPdxxP通通解解：第六章第六章常微分方程自测常微分方程自测题题。
xexyy224 解：解：方程对应的齐次方程为方程对应的齐次方程为0 yy,02 rr特特征征方方程程.1,021 rr解解得得特特征征根根.21xeCCy 故齐次方程通解为：故齐次方程通解为：,2)(2xexxf 设设方程的特解为：方程的特解为：不是特征根，设非齐次不是特征根，设非齐次1,2 mxecbxaxy)(2*xecbxbaaxy)()2(2*则则xecbaxbaaxy)22()4(2*第六章第六章常微分方程自测常微分方程自测题题代入非齐次方程化简得代入非齐次方程化简得222232)26(2xcbaxbaax 2731,023202622cbacbabaa解解得得比比较较系系数数得得.)273(2*xexxy 所所以以.)273(221xxexxeCCy 非非齐齐次次方方程程通通解解为为第六章第六章常微分方程自测常微分方程自测题题的的切切线线与与直直线线经经过过原原点点，且且在在原原点点处处、已已知知曲曲线线)(1xfy 四四、应应用用题题：.2)0(,0)0(yy由由题题意意知知，解解，满满足足微微分分方方程程平平行行，而而052)(062 yyyxyyx求求该该曲曲线线的的方方程程。
解解得得特特征征的的特特征征方方程程为为方方程程,0520522 rryyy).2sin2cos(,21212,1xCxCeyirx 所所以以方方程程通通解解为为：根根.0,0)0(1 Cy得得由由，又又2sin)2(2cos)2(1221xCCxCCeyx ，由由2)0(y.2sin.1,22221xeyCCCx 故故曲曲线线方方程程为为解解得得得得第六章第六章常微分方程自测常微分方程自测题题求求满满足足方方程程、设设连连续续函函数数 xxxyedttyxyxy0)()()()(2得得求求导导方方程程两两边边同同时时对对解解,xxxeyyexyxy 即即,)()(,)(,1)(xexQxP 方方程程，该该方方程程为为一一阶阶线线性性微微分分,)(xdxdxxP .)()(xdxdxeedxexQxxdxxP .)()()()()(xdxxPdxxPeCxeCdxexQxy 所所以以通通解解.)1()(,1,1)()0(000 xexxyCedttyy 故故代代入入上上式式得得又又。