1J.Z.Xiao,CEIE,HBU1第四章 根轨迹法反馈控制系统的运动特征取决于其闭环传递函数：极点、比例系数、零极点分布等1948年，伊凡思（W.R.Evans）根据反馈控制系统的开环传递函数与其闭环特征方程间的内在关系，确定闭环特征方程特征根的一种图解方法根轨迹法将开环系统中的参数与闭环极点间的关系通过直观的方法确定出来，便于对系统稳定和综合性能的分析2助是非常便利的！J.Z.Xiao,CEIE,HBU电流温度电流/电压扭矩/转速阀门开度缸位移被控对象都是简单的输入和输出间的开环关系，而最终是要闭环的如果能根据开环系统判断闭环系统的极点、零极点分布、开环增益等，那么对系统控制的帮 W.R.Evans2采用根轨迹解决！;.3K0 0.1 0.25 0.5 1 S10 -0.113 -0.5 -0.5+j0.5 -0.5+j0.87 -0.5+jS2-1 -0.887 -0.5 -0.5-j0.5 -0.5-j0.87 -0.5-j=2s1=+,s2 =J.Z.Xiao,CEIE,HBU3一、根轨迹的基本概念Ks +s+KKs(s+1)+K(s)=12121 4K21 4K2闭环特征方程为 s2+s+K=0,解得闭环特征根表达式1.根轨迹概念Ks(s +1)R(s)-C(s)-1jK=0K=0.5K=0.5K=0.25K=0-0.5-0.50.50图4-2 系统的根轨迹;.4J.Z.Xiao,CEIE,HBU4根轨迹是指开环系统某个参数由0变化到，闭环特征根在s平面上移动的轨迹。
1）系统为结构稳定系统无论K为何值，其特征根始终位于复平面的左半平面2）当0K0.25时，两个特征根为位于左半面的一对共轭复根，系统处于欠阻尼状态当K=0.25时，两个特征根为位于左半面的两个相等的实根，系统处于临界阻尼状态3）从根轨迹的分布，对于给定的K值，可以估计系统的主要动态性能如K=0.5时，闭环特征根为-0.5j0.50.707 n =0.707，21 e;.5J.Z.Xiao,CEIE,HBU52.根轨迹方程G(s)1+G(s)H(s)系统的闭环传递函数:(s)=C（s）R（s）G(s)H(s)闭环特征方程即根轨迹方程为G(s)H(s)=1G(s)H(s)e argG(s)H(s)=1 e j(2 k+1)G(s)H(s)=1argG(s)H(s)=(2k+1)k =0,1,2 L模条件角条件;.6(z)(s+1)(T s+1)(s z)(s p(p(s z=j 1|s z j|=1,K =m|s pi|=i 1=i 1|s pi|(s zK(s p)K|s z j|)(s pi)=(2k+1)J.Z.Xiao,CEIE,HBU6、极iij=Kmi=1nj=1*mi=1nj=1j)G(s)H(s)=KiK=Kmi=1nj=1*j)将根轨迹方程写成零迹增益点表示的矢量方程为：开环增益)im*j=1ni=1j=1=e j(2 k+1)(k=0,1,2,L)n *mj=1*nni=1mj=1j模值方程和相角方程分别为：;.7J.Z.Xiao,CEIE,HBU7在绘制根轨迹时，只需要使用相角条件即可（因为根轨迹是K*从0到，根位置的变化过程，只要满足角条件，s必在根轨迹上，而对应的什么K*值并不重要）。
当需要确定根轨迹上各点的K*值时，才使用幅值条件8J.Z.Xiao,CEIE,HBU8例：系统的开环传递函数为K*(s z1)s(s p 2)(s p 3)G(s)H(s)=jS1P22L33L41P1L2L11P3幅值条件和相角条件图示arg(s1 z1)args1+arg(s1 p2)+arg(s1 p3)=(2k+1)1 (1+2 +3)=(2k+1)z1此点处的开环根轨迹增益L2 L3 L4L1=s1 s1 p2 s1 p3s z1K*=用角条件判断s1是否属于根轨迹;.9J.Z.Xiao,CEIE,HBU9例 利用相角条件绘制图4-1所示系统的根轨迹系统的开环传递函数仍为Ks(s+1)G(s)H(s)=确定实轴上的根轨迹正实轴实轴上原点与-1点之间-1点左边(0.5+j 0)KK=0.5 0.5+1=0.25(0.5 j 0.5)KK=0.5 j0.5 0.5 j0.5+1=0.5根轨迹上点所对应的所对应的值根轨迹上点在实轴外任取一点s1位于（-1，0）的垂直平分线用模条件确定系数K的值;.10J.Z.Xiao,CEIE,HBU10只需做出上半s：根轨迹在s 面上的分支数等于系即可以画出下半s n,也就是分支数与二、根轨迹绘制的基本规则法则1:根轨迹对称于实轴：闭环极点若为实数，则位于实轴；若为复数则共轭出现，所以根轨迹对称于实轴。
法则2:根轨迹的分支数平面的根轨迹部分，然后利用对称关闭环特征方程的阶数平面的根轨迹部分 闭环极点的n m*j=1 i=1数n，则有（n-m）条根轨迹终止于无穷远处(的零点)11(s p)+K (s z)=0(p1)(p2)L(pn)+(z1)(z 2)L(z m)=01*(s p j)+(s zi)=0(s pJ.Z.Xiao,CEIE,HBU11证明：*n mj=1 i=1j i)=0nj=1js=p j,j=1,2L nmi=1nK j=11qs=1 1 1 1 1 1 1K*q q q q q q根轨迹的起点是指根轨迹增益K*=0的根轨迹点根轨迹的终点则是指根轨迹增益K*的根轨迹点令等式两端同时乘以qn，可得1*当K*时，上式化为 q n m(1 z1 q)(1 z 2 q)L(1 z m q)=0这仍为n次方程，有n个根存在，即q=0（n-m重）1z m1 1,z1 z 2,L,s=（n-m重）z1,z 2,L z m;.12 arg(s z)arg(s pJ.Z.Xiao,CEIE,HBU12法则4:实轴上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧，开环零、极点数目之和应为奇数1）位于点si左侧的开环零、极点指向si的矢量的相位角均为0，在相角条件中，对总相角没有贡献。
2）一对共轭开环极点（或共轭开环零点）指向si的矢量的相位角之和恒为2也不必考虑3）实轴上根轨迹的确定完全取决于点si右侧的开环零、极点分布由相角条件得：si右边实轴上的开环零、极点个数之和为奇数时jP1 0P2P3z1siP5P4实轴上根轨迹)=(2k+1)jm ni=1 j=1i;.13 p z?=j i (2k+1)=n m(s z)s m +bm 1 s m 1+L+b1 s+b0G(s)H(s)=K =Ks n +an 1 s n 1+L+a1 s+a0(s p（bm 1=zian 1=p j）同除分子 G(s)H(s)=n mJ.Z.Xiao,CEIE,HBU13法则5:根轨迹的渐近线：渐近线与实轴交点的坐标和渐近线(参数趋于无穷)与实轴正方向的夹角分别为n mn mj=1 i=1 k=0,1,2,L,n m 1j)im*i=1 *nj=1证明：mi=1nj=1s=sK*s n m+(an1 bm 1)s n m 1K*+(an1 bm 1)s n m 1L由根轨迹方程s n m +(a n1 bm 1)s n m 1K*;.14s n（1+s n（1+)+Ln ma n1 bm 1 n m p zan 1=p j）（bm 1=zi=K bm 1 n m（1+n1n m*n ms（1+n1 bm 1 n m2!(n m)n m 1)(n114m）=K*an1 bm1sm）=K*e j(2 k+1)an1 bm1sk=0,1,2,L,n m 1es=Kj(2 k+1)n m1*n m1）s（1+(1 1a1n msa bm 1 2san1 bm 1s=11）sa11n ma n1 bm 1s=1）当s-时，上式可近似为两侧开(n-m)次方e=Kj(2 k+1)n m1*n ma n1 bm 1n msmi=1nj=1J.Z.Xiao,CEIE,HBUn mj i 1 j(2 k+1)j=1 i=1e即得渐近线的坐标与夹角。
15J.Z.Xiao,CEIE,HBU15规则6：根轨迹的分离点、汇合点与分离角定义一：两条或两条以上根轨迹分支在 s平面上（通常为实轴）的交点称为根轨迹的 分离点或汇合点；定义二：分离角定义为进入分离点的切线方向与离开分离点切线方向之间的夹角16J.Z.Xiao,CEIE,HBU16F(s)=D(s)K*N（s）0基于根轨迹的分离点或汇合点实质上都是特征方程式的重根设=1N(s)D(s)G(s)H(s)=K 闭环系统特征方程：F(s)=D(s)K*N（s）0F(s)=D(s)K*N（s）0D(s)N（s）D(s)N（s）0 确定分离点或汇合点的方法l条根轨迹进入并离开分离点时的分离角为：(2k+1)/lk=0,1,2,L,l 1;.17=+KJ.Z.Xiao,CEIE,HBU17例4-3 已知单位反馈控制系统，试求系统根轨迹的分离点ks(s+1)(s+2)C(s)R(s)解：易知闭环系统特征方程为：F(s)=D(s)K*N（s）=s(s+1)(s+2)=0dD(s)dN(s)ds ds=3 s 2 +6 s+2=0dF(s)ds解方程为：ReIm0 1 2s1 =1.577s2 =0.423！根据根轨迹在实轴上的分布，前者不属于根轨迹，故舍去。
所以后者为根轨迹的分离点18 pk =(2 k+1)+(p k z j)(p k p i)zk =(2k+1)+(zk pi)(zk z j)设S1在根轨迹上，则3J.Z.Xiao,CEIE,HBU18法则7:根轨迹在复极点的出射角和复零点的入射角i kj k1P2z1S1P4jP341P1 042m nj=1 i=1n mi=1 j=11（1 2 3 4）(2k+1)入射角各开环极点指向该零点的矢量的方向角其它各开环零点指向本零点的矢量的方向角反向 31（1 2 4）m(2k+1)出射角各开环零点指向该极点的矢量的方向角其它各开环极点指向本极点的矢量的方向角反向同理：;.19 法则8:根轨迹与虚轴的交点方法一：应用劳斯判据当特征方程式存在有一对纯虚根时，应令劳斯表第一列中包含K*的项为零，即可确定根轨迹与虚轴交点处的K*值利用劳斯表中s2 行的系数构成辅助方程，必可解出纯虚根的数值这一数值即对应于根轨迹与虚轴交点处的 值方法二：应用闭环特征方程直接计算 Re1+G(j)H(j)=0 Im1+G(j)H(j)=0191+G(j)H(j)=0s=jJ.Z.Xiao,CEIE,HBU;.20J.Z.Xiao,CEIE,HBU20s 33s 22sk=0例：原系统闭环特征方程为方法一：建立劳斯表如下2k0132-k/3kS3S2S1S0由劳斯表，令2-k/3=0，得k=6。
由s2行的系数构成辅助方程，且令k=6，得s1，2 j 23s 2 +6=0;.2121由此根轨迹与虚轴的交点为由上方程解得：1）0，k=0p1 =0 j 2k*=k=6此为根轨迹的一起始点2）2，k=6此时根轨迹增益为J.Z.Xiao,CEIE,HBU方法二：令 s=j 代入闭环特征方程，得j 3 3 22 jk=0令其实部和虚部分别为零，得 3 2k=0;.22(s z)(s p)s zi s z+L+(1)s n p j s n 1+L+(1)n p j z=p jK(1)p=p j ps p j s m+L+(1)p jK s zi s+L(1)zi =0 p)=s pcj s(s pJ.Z.Xiao,CEIE,HBU22mi=1 mm 1n mj=1 i=1n *n 1nj=1nin mcjmi=1*nj=1nj=1规则9：闭环极点的和与积开环零极点表示的特征方程闭环极点表示特征方程*=1im mn ni=1 i=1j=1 j=1m m1 mmi=1nj=1ij=KG(s)H(s)=K=0nj=1cjnn 1nj=1nnj=1cj+L+(1)对应系数相等：cjnj=1nj=1n m 2 时;.23K(s+2)()s(s+3)s 2+2s+2P4P2P3P10要求绘制系统的根轨迹。
例1n=4，m=1开环零点：-2开环极点：0，-3，-1j14条根轨迹分别起始于开环极点0，-3，-1j1终止于开环零点-2和3个无穷远点J.Z.Xiao,CEIE,HBU-3-1.01.0j1.61-1.6123-1zo-2-三、根轨迹绘制举例已知控制系统的开环传递函数为G0(s)=;.24 3,p z=1J.Z.Xiao,CEIE,HBU24P2)K(s+2)s(s+3)(s 2+2s+2已知控制系统的开环传递函数为 G0(s)=要求绘制系统的根轨迹例1j-1.01.61P10-1.0-1.61-1P3zo-2-渐近线的方向角为(2K+1)n mP4-3渐近线与实轴的交点为i jn m0+(3)+(1+j)+(1 j)(2)4 1;.25J.Z.Xiao,CEIE,HBUP4P2P3P10要求绘制系统的根轨迹)K(s+2)s(s+3)(s 2+2s+2已知控制系统的开环传递函数为 G0(s)=例1-3-1.01.0j1.61-1.6125-1zo-2-实轴上根轨迹分布：(,3,2,0;.26P4P2要求绘制系统的根轨迹)K(s+2)s(s+3)(s 2+2s+2已知控制系统的开环传递函数为 G0(s)=例1-3-P10-1.01.0j1.61-1.6126-1P3zo-2-=45o (135o+90o+26.6o)+反向 26.6oJ.Z.Xiao,CEIE,HBU复极点 p2 处的出射角;.27 8 +2K=0 =0 =1.61 J.Z.Xiao,CEIE,HBU已知控制系统的开环传递函数为)K(s+2)s(s+3)(s 2+2s+2G0(s)=例1要求绘制系统的根轨迹。
根轨迹与虚轴的交点：解得将s=j带入闭环特征方程S 4 +5S 3 +8S 2 +6S+k(S+2)=0整理后得 5 3+(6+K)=0 4 3 K=0 K=7;P4P2P3P10j-3-1.01.61-1.0-1.61-1zo-2-Kcr727THE END;.2828例2的系统根轨迹绘制开环传递函数为 G0(s)=K(s+2)(s 2+4s+9)2j0P1o-2P2P3 P4n=4，m=1开环零点：-2(注意:为二重极点,即各有两条根轨迹射出)4条根轨迹分别终止于开环零点-2及3个无穷远零点渐近线有n-m=3条J.Z.Xiao,CEIE,HBU开环极点：2 j 5;.29(s +4s+9)3,p z=J.Z.Xiao,CEIE,HBU29例2K(s+2)2 2 的系统根轨迹绘制开环传递函数为 G0(s)=0P1 P2o-2P3 P4j渐近线的方向角为(2K+1)n m=2=(2 j 5)2+(2+j 5)2 (2)4 1渐近线与实轴的交点为i jn m;.3030例2的系统根轨迹绘制开环传递函数为 G0(s)=K(s+2)(s 2+4s+9)2j0P1o-2P2P3 P4实轴上根轨迹分布为:J.Z.Xiao,CEIE,HBU(,2;.31J.Z.Xiao,CEIE,HBU31例2的系统根轨迹。
绘制开环传递函数为 G0(s)=K(s+2)(s 2+4s+9)2j0P1o-2P2P3 P4-1350450确定复极点 p1 处的出射角2=90 o (90 o +90 o)+反向 90 o 或 270 o=45或-135由根轨迹的对称性：p3 处出射角为：-45或135;.32d(s +4s+9)d K(s+2)2 232例2的系统根轨迹绘制开环传递函数为 G0(s)=K(s+2)(s 2+4s+9)2j0P1 P2P3 P4-1350o-2450求分离点和会合点：2K(s+2)解得 (s +4s+9)=0ds dss1,s 2 =2 j 5s3 =0.17 (舍弃)s4 =3.29J.Z.Xiao,CEIE,HBU;.33(s +4s+9)34 +81+2K=0 8 +()=072+KJ.Z.Xiao,CEIE,HBU33例2K(s+2)2 2 的系统根轨迹绘制开环传递函数为 G0(s)=j0P1 P2o-2P3 P4-1350450(s 2 +4s+9)2 +K(s+2)=0=21=4.58K cr =96根轨迹与虚轴的交点：将s=j带入闭环特征方程整理后得4 2 3解得有意义的解为Kcr96;.34(j 21)+(j 21)+s3+s4 =2(2+j 5)+2(2 j 5)=8J.Z.Xiao,CEIE,HBU例2的系统根轨迹。
绘制开环传递函数为 G0(s)=K(s+2)(s 2+4s+9)2j0P1o-2P2P3 P4-1350450Kcr96解得Kcr=96 时,系统另外两闭环极点 s 3s 4 的位置因为 n m 2 41 (j 21)(j 21)(s3)(s4)=92+(1)(96)(2)=273s3 =2.27s4 =5.7334THE END;.35J.Z.Xiao,CEIE,HBU35例3要求绘制系统系统的开环传递函数为 G0(s)=的根轨迹K(s+0.125)s 2(s+5)(s+20)(s+50)-50-20-5-0.125 0ImRen=5，m=1开环零点：-0.125开环极点：0（二重），-5，-20，-505 条根轨迹分别终止于开环零 点-0.125 及 4 个 无 穷 远 零点渐近线有n-m=4条36K(s+0.125)s ()()(s+50)s+5 s+20J.Z.Xiao,CEIE,HBU36例3要求绘制系统2系统的开环传递函数为 G0(s)=的根轨迹50-20-5-0.125 0ImRee渐近线的方向角为渐近线与实轴的交点为434,(2 K+1)n m=18.7(5)+(20)+(50)(0.125)5 1=pi z jn m=;.37K(s+0.125)s ()()(s+50)s+5 s+2037例32系统的开环传递函数为 G0(s)=的根轨迹。
50-20-5-0.125 0要求绘制系统ImRee实轴上根轨迹分布在J.Z.Xiao,CEIE,HBU50,20,5,0.125;.38K(s+0.125)s (s+5)(s+20)(s+50)要求绘制系统J.Z.Xiao,CEIE,HBU38例32系统的开环传递函数为 G0(s)=的根轨迹50-20-5-0.125 0Ree求分离点和会合点：Im作如下简化：在绘制原点附近的根轨迹曲线时，略去远离原点的极点的影响；在绘制远离原点的根轨迹时，略去原点附近的一对相距很近的零、极点的影响;.39K(s+0.125)s ()()(s+50)s+5 s+20s1=0.25s2 =0J.Z.Xiao,CEIE,HBU39例3要求绘制系统2系统的开环传递函数为 G0(s)=的根轨迹50-20-5-0.125 0ImRee(1).求原点附近的根轨迹和会合点求原点附近的根轨迹时，简化的传递函数为开环极点：0（二重极点）：开环得K(s+0.125)s 2G0(s)=14243会合点重积分分离点零点：-0.125实轴上的根轨迹分布为(,0.125会合点位置：由 s 2 2s(s+0.125)=0;.40K(s+0.125)s ()()(s+50)s+5 s+20G0 (s)=J.Z.Xiao,CEIE,HBU-50-20-5-0.125 0例3要求绘制系统2系统的开环传递函数为 G0(s)=的根轨迹。
ImRee(2).求远离原点的根轨迹和分离点求远离原点的根轨迹时，简化的传递函数为分离点位置：由K s(s+5)(s+20)(s+50)s3+56.25s 2+675s+1250=0得144424443分离点s3=13.7(舍弃)40THE END;.41 arg(s z)arg(s p其它各开环零点指向本零点的矢量的方向角41例4要求绘制起已知系统的开环传递函数为 G0(s)=该系统在正反馈情况下的根轨迹Ks(s+1)(s+2)分析：正反馈特征方程与 1 G0(s)=0 即 G0(s)=1 同根所以，角条件变为jm ni)=2ki=1 j=1模条件不变根据角条件的变化，正反馈绘制根轨迹需要修改的规则有(1)实轴上的根轨迹分布 如果右边实轴上的开环零、极点个数之和为偶数，则该区域必属于根轨迹2kn m(3)从复极点出发的根轨迹的出射角以及趋向于复零点的根轨迹的入射角出射角各开环零点指向该极点的矢量的方向角其它各开环极点指向本极点的矢量的方向角入射角各开环极点指向该零点的矢量的方向角J.Z.Xiao,CEIE,HBU;.42Re42Imn=3，m=0开环极点：0，-1，-23条根轨迹都终止于无穷远渐近线有n-m=3条。
J.Z.Xiao,CEIE,HBU例4要求绘制起已知系统的开环传递函数为 G0(s)=该系统在正反馈情况下的根轨迹Ks(s+1)(s+2);.43=,0J.Z.Xiao,CEIE,HBU43ReIm渐近线与实轴的交点为=10 1 23 0=pi z jn m=渐近线的方向角为23=2kn m实轴上根轨迹分布：-2,-1，0,+）例4要求绘制起已知系统的开环传递函数为 G0(s)=该系统在正反馈情况下的根轨迹Ks(s+1)(s+2);.441 s(s+1)(s+2)=0Re44Im实轴上分离点：由ds(s+1)(s+2)d1ds ds得分离点s1=0.423 (舍)s2 =1.577J.Z.Xiao,CEIE,HBU例4要求绘制起已知系统的开环传递函数为 G0(s)=该系统在正反馈情况下的根轨迹Ks(s+1)(s+2);.45例5，要求绘制根轨迹已知系统的开环传递函数为 G0(s)=K(s+1)s(s 1)(s+4)开环极点：0，1，-43 条根轨迹一条终止于零点-1，2条终止于无穷远渐近线有n-m=2条J.Z.Xiao,CEIE,HBUImn=3，m=1开环零点：-1Re45;.46=J.Z.Xiao,CEIE,HBU46=1(0+1 4)(1)3 1=pi z jn m=12=(2k+1)n m实轴上根轨迹分布：-4,-1，0,1。
Im渐近线的方向角为Re渐近线与实轴的交点为例5，要求绘制根轨迹已知系统的开环传递函数为 G0(s)=K(s+1)s(s 1)(s+4);.4747例5，要求绘制根轨迹ImReK(s+1)s(s 1)(s+4)已知系统的开环传递函数为 G0(s)=实轴上分离点：由得有意义的分离点为0.44d s(s 1)(s+4)d(s+1)ds ds(s+1)s(s 1)(s+4)=0 3,2 2分离角：(2k+1)/l=J.Z.Xiao,CEIE,HBUk=0,1,2;.48特征方程：s +3s +(K 4)s+K=0得J.Z.Xiao,CEIE,HBU：48Re令(2K-12)3 0，得Kcr6构造辅助方程与虚轴的交点K-4K13(2K-12)3KS3S2S1S03s 2 +6=0 j 2例5，要求绘制根轨迹Im已知系统的开环传递函数为 G0(s)=根轨迹与虚轴的交点3 2Routh表为：K(s+1)s(s 1)(s+4);.49四、参量根轨迹的绘制可变参数不是根轨迹增益K;.50Go (s)=1J.Z.Xiao,CEIE,HBU50设带有测速发电机反馈的位置随动系统如图所示用根轨迹法分析测速发电机反馈系数kh对系统动态性能的影响。
系统开环传递函数为G0(s)=10(1+K h s)s(s+2)2可变形成为=110 K h ss 2 +2s+1010 K h ss 2 +2s+10令 G0(s)=则把 10K h 看作是以 G0(s)为开环增益的等效开环传递函数绘制 G0(s)的根轨迹单参量根轨迹的绘制C（s）R（s）10s(s+2)1+Khs;.51=0 s1=3.16;s2 =3.1651n=2，m=1开环零点：0开环共轭复极点：-1j3根轨迹起始于开环共轭复极点-1j3,终止于开环零点0及1个无穷远零点渐近线实轴上根轨迹分布：(-，0实轴上会合点：由 dG0(s)ds31424 14243(舍)(会合点)G0(s)=10K h ss 2+2s+10从复极点-1+j3出发的出射角：=arc tgJ.Z.Xiao,CEIE,HBU31 900+反向=198.40;.52J.Z.Xiao,CEIE,HBU52要求绘制关多参量根轨迹的绘制K(Ts+1)s(s+1)(s+2)某单位反馈系统的开环传递函数为 G0(s)=于 K 和T 的根轨迹1Ks(s+1)(s+2)Ks(s+1)(s+2)G01(s)=s(s+1)(s+2)+K=0闭环系统的特征方程为 s(s+1)(s+2)+K(Ts+1)=0先令T=0绘制为参量的根轨迹，则特征方程成为可画出的根轨迹如图所示ImRe;.53J.Z.Xiao,CEIE,HBU53再令T0，系统的特征方程可写为=1TKss(s+1)(s+2)+KTKss(s+1)(s+2)+KG02(s)=T0，系统的特征方程 s(s+1)(s+2)+K=0闭环特征根恰为GO2(s)的开环极点Im例 如 K=20 时 GO2(s)的 开 环 极 点 是A、B、C三点。
Re对应于给定的一系列K值，当K从0变至+时可以分别画出根轨迹。