高等数学同济版常系数非齐次线性微分方常系数非齐次线性微分方程 第八节型)()(xPexfmxxxPexflxcos)()(型sin)(xxPn一、一、二、二、高等数学同济版常系数非齐次线性微分方)(xfyqypy),(为常数qp二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为Yy*y非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法 待定系数法待定系数法高等数学同济版常系数非齐次线性微分方(2)若 是特征方程的单根,02qp,02 p特解形式为)(*xQexymx(3)若 是特征方程的重根,02qp,02 p特解形式为)(*2xQexymx即即(1)若 不是特征方程的根,02qp即特解形式为.)(*xQeymx一、一、型)()(xPexfmx 为实数,)(xPm为 m 次多项式.高等数学同济版常系数非齐次线性微分方小结小结)2,1,0()(*kxQexymxk此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.当 是特征方程的 k 重根 时,可设特解高等数学同济版常系数非齐次线性微分方例例3.求解定解问题 0)0()0()0(123yyyyyyxeeyxx2141432例例2.xexyyy265 求方程的通解.xxeCeCy3221.)(2221xexx 例例1.1332 xyyy求方程的一个特解.31*xy高等数学同济版常系数非齐次线性微分方二、二、型xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(xxPxxPenlxsin)(cos)(对非齐次方程yqypy),(为常数qpxRxRexymmxksincos*)2()1(则可设特解:其中 为特征方程的 k 重根(k =0,1),ilnm,max上述结论也可推广到高阶方程的情形.高等数学同济版常系数非齐次线性微分方例例5.xxyy3sin303cos189 求方程的通解.xCxCy3sin3cos21)3sin33cos5(xxx例例4.xxyy2cos 求方程的一个特解.2sin2cos*9431xxxy高等数学同济版常系数非齐次线性微分方例例6.xyyysin2)1()4(*2xy)sincosxbxaxexyyxsin3)2()4()(*2baxxyxec)sincos(xkxdx写特解形式:例例7.已知二阶常微分方程xecybyay 有特解,)1(2xxexey求微分方程的通解.xxeCeCy21xex高等数学同济版常系数非齐次线性微分方内容小结内容小结xmexPyqypy)(.1 为特征方程的 k(0,1,2)重根,)(*xQexymxk则设特解为sin)(cos)(.2xxPxxPeyqypynlx 为特征方程的 k(0,1)重根,ixkexy*则设特解为sin)(cos)(xxRxxRmmnlm,max3.上述结论也可推广到高阶方程的情形.高等数学同济版常系数非齐次线性微分方 作业作业 P347 1(1),(6),(10)2(2)6。