第五讲 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数的单调性二、曲线的凹凸性三、小结函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数的单调性二、曲线的凹凸性三、小结一、函数的单调性一、函数的单调性（一）概念（二）判定（三）应用一、函数的单调性一、函数的单调性（一）概念（二）判定（三）应用x1x2x1x2xoyxoy一、函数的单调性一、函数的单调性（一）概念（二）判定（三）应用一、函数的单调性一、函数的单调性（一）概念（二）判定（三）应用判定定理判定定理设函数设函数y=f(x)在在a,b上连续，在上连续，在(a,b)内可导内可导(1)如果在如果在(a,b)内内f(x)0,且等号仅在有限多个点成立，且等号仅在有限多个点成立，那么函数那么函数y=f(x)在在a,b上单调增加上单调增加;(2)如果在如果在(a,b)内内f(x)0,且等号仅在有限多个点成立，且等号仅在有限多个点成立，那么函数那么函数y=f(x)在在a,b上单调减少上单调减少.判定定理判定定理设函数设函数y=f(x)在在a,b上连续，在上连续，在(a,b)内可导内可导(1)如果在如果在(a,b)内内f(x)0,且等号仅在有限多个点成立，且等号仅在有限多个点成立，那么函数那么函数y=f(x)在在a,b上单调增加上单调增加;(2)如果在如果在(a,b)内内f(x)0,且等号仅在有限多个点成立，且等号仅在有限多个点成立，那么函数那么函数y=f(x)在在a,b上单调减少上单调减少.u例例1 判定函数判定函数sinyxx 在在 0,2 上的单调性上的单调性u例例2 讨论函数讨论函数1xyex 的单调性的单调性u例例3 讨论函数讨论函数32yx 的单调性的单调性xoy单调区间的求法单调区间的求法(1)明确函数的定义域明确函数的定义域(2)求出导数等于零的点，明确不可导点求出导数等于零的点，明确不可导点(3)将上述点从小到大排列，把定义区间划分为若干子区间将上述点从小到大排列，把定义区间划分为若干子区间(4)在每个子区间上讨论导数的符号，判定函数的单调性在每个子区间上讨论导数的符号，判定函数的单调性(5)归纳归纳u例例432(1)yxx确定函数确定函数的单调区间的单调区间一般结论一般结论如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外，如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外，导数存在且连续，导数存在且连续，那么用那么用f(x)=0的根及的根及f(x)不存在的点划分不存在的点划分函数的定义区间，就能保证函数的定义区间，就能保证f(x)在各部分区间保持固定符号在各部分区间保持固定符号.一、函数的单调性一、函数的单调性（一）概念（二）判定（三）应用一、函数的单调性一、函数的单调性（一）概念（二）判定（三）应用利用函数的单调性证明不等式利用函数的单调性证明不等式u例例5xx132当当1x 时时 证明证明证明思路证明思路不等式不等式()()fx 变形变形()f a ()()()fxf af a ()0(0)()fxxa （以证明（以证明x a 时某不等式成立为例）时某不等式成立为例）函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数的单调性二、曲线的凹凸性三、小结函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数的单调性二、曲线的凹凸性三、小结二、曲线的凹凸性二、曲线的凹凸性（一）概念（二）判定（三）应用二、曲线的凹凸性二、曲线的凹凸性（一）概念（二）判定（三）应用x1x2xoy12()()2fxfx 122xxf oxy1x2x122xx 定义定义设函数设函数f(x)在区间在区间I上连续，如果对上连续，如果对I上上任意两点任意两点x1，x2 2恒有恒有那么称那么称f(x)在在I上上的图形是（向上）凹的的图形是（向上）凹的（或凹弧）（或凹弧）xyo1212()()22xxfxfxf 1x2x122xx 如果如果恒有恒有1212()()22xxfxfxf 那么称那么称f(x)在在I上上的图形是（向上）凸的（或凸弧）的图形是（向上）凸的（或凸弧）定义定义x1x2xoy设设y=f(x)在区间在区间I上连续，上连续，x0 0是是I的内点。
的内点如果曲线如果曲线y=f(x)在经过点在经过点(x0 0,f(x0 0)时，曲线时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点的凹凸性改变了，那么就称点(x0 0,f(x0 0)为为这曲线的拐点这曲线的拐点注：注：拐点：曲线上的点拐点：曲线上的点二、曲线的凹凸性二、曲线的凹凸性（一）概念（二）判定（三）应用二、曲线的凹凸性二、曲线的凹凸性（一）概念（二）判定（三）应用设设f(x)在在a,b上连续，在上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么内具有一阶和二阶导数，那么判定定理判定定理(1)若在若在(a,b)内内f(x)0,则则f(x)在在a,b上的图形是凹的；上的图形是凹的；(2)若在若在(a,b)内内f(x)0,则则f(x)在在a,b上的图形是凸的上的图形是凸的.xyo设设f(x)在在a,b上连续，在上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么内具有一阶和二阶导数，那么判定定理判定定理(1)若在若在(a,b)内内f(x)0,则则f(x)在在a,b上的图形是凹的；上的图形是凹的；(2)若在若在(a,b)内内f(x)0,则则f(x)在在a,b上的图形是凸的；上的图形是凸的；xyo1x2x122xx 1212()()22xxfxfxf 设设f(x)在在a,b上连续，在上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么内具有一阶和二阶导数，那么判定定理判定定理(1)(1)若在若在(a,b)内内f(x)0,则则f(x)在在a,b上的图形是凹的；上的图形是凹的；u例例6 判定曲线判定曲线lnyx 的凹凸性的凹凸性u例例7 判定曲线判定曲线3yx 的凹凸性的凹凸性u例例8 判定曲线判定曲线3yx 的凹凸性的凹凸性(2)(2)若在若在(a,b)内内f(x)0,则则f(x)在在a,b上的图形是凸的；上的图形是凸的；2212xye 确定曲线确定曲线的凹凸区间和拐点的凹凸区间和拐点u例例9解解:函数的定义域为函数的定义域为(,)2212xyxe 2212xye 22212xx e 2221(1)2xex 由由0y 得得121,1xx 用上述点将用上述点将(,)分为三个部分区间分为三个部分区间(,1,1,1,1,)2212xye 确定曲线确定曲线的凹凸区间和拐点的凹凸区间和拐点u例例9列表讨论列表讨论xf(x)f(x)1(,1)(1,1)1(1,)2221(1)2xyex 00凹凹凹凹凸凸在在(,1 和和1,)上曲线是凹的上曲线是凹的在在上曲线是凸的上曲线是凸的 1,1 曲线的拐点为曲线的拐点为:1(1,)2 e 和和1(1,)2 e xyo凹凸区间及拐点的求法凹凸区间及拐点的求法(1)明确函数的定义域明确函数的定义域(2)求出二阶导数等于零的点，明确二阶不可导点求出二阶导数等于零的点，明确二阶不可导点(3)将上述点从小到大排列，把定义区间划分为若干子区间将上述点从小到大排列，把定义区间划分为若干子区间(4)在每个子区间上讨论二阶导数的符号，判定曲线的凹凸性在每个子区间上讨论二阶导数的符号，判定曲线的凹凸性(5)归纳归纳(6)曲线上凹凸性发生变化的点即为拐点曲线上凹凸性发生变化的点即为拐点u例例10 确定曲线确定曲线的凹凸性和拐点的凹凸性和拐点4xy xyo注注若若f(x0)=0或或f(x)在在x0处二阶导数不存在处二阶导数不存在,点点(x0,f(x0)不一定是曲线不一定是曲线y=f(x)的拐点的拐点二、曲线的凹凸性二、曲线的凹凸性（一）概念（二）判定（三）应用二、曲线的凹凸性二、曲线的凹凸性（一）概念（二）判定（三）应用利用曲线的凹凸性证明不等式利用曲线的凹凸性证明不等式u例例11lnln()ln(0,0,)2xyxxyyxyxyxy 证明证明函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数的单调性二、曲线的凹凸性三、小结函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数的单调性二、曲线的凹凸性三、小结函数的单调性函数的单调性曲线的凹凸性曲线的凹凸性曲线的升降曲线的升降曲线的弯曲方向曲线的弯曲方向一阶导数的符号一阶导数的符号二阶导数的符号二阶导数的符号概念概念判定判定应用应用证明不等式证明不等式xf(x)f(x)f(x)xi(xi-1 xi)(xi xi+1)单调性单调性 单调性单调性 凹凸性凹凸性 凹凸性凹凸性 不同不同(xi f(xi)拐点拐点不同不同 极值点和极值极值点和极值类比类比综合综合。