七年级暑假特训讲义12：方程与不等式的应用 一、解答题（共9小题，满分100分）1．（11分）已知关于x，y的方程组的解满足x＞y，求p的最小整数值．考点：一元一次不等式的整数解；解二元一次方程组．分析：解出这个关于x，y的方程组，xy的值可以用p表示出来，根据x＞y，就得到一个关于p的不等式，从而求出p的范围，得到p的最小整数值．解答：解：，①×3﹣②×2得，x=p+5，把x=p+5代入①得，y=﹣p﹣7，即，∵x＞y，∴p+5＞﹣p﹣7，∴p＞﹣6．故p的最小整数值为﹣5．点评：本题考查的是二元一次方程和不等式的综合问题，通过把x，y的值用k代，再根据x、y的取值判断k的值． 2．（11分）若x+y+z=30，3x+y﹣z=50，x、y、z皆为非负数，求M=5x+4y+2z的取值范围．考点：三元一次方程组的应用．专题：计算题；方程思想．分析：首先根据题目中的方程组成三元一次方程组．分别求得y、z用x表示的关系式，将y、z关系式代入M=5x+4y+2z，即得x用M表示的关系式，且x为非负数，求得M的取值范围，同理求得y、z用M表示的关系式，根据y、z为非负数，求得M的取值范围．找出M的公共区间，即为所求取值区间范围．解答：解：，由①+②得 4x+2y=80，y=40﹣2x ③，把③代入①得 z=x﹣10 ④，所以：M=5x+4（40﹣2x）+2（x﹣10）=﹣x+140，即x=140﹣M ⑤，分别将⑤代入③④，，解得，所以120≤M≤130．答：M的取值范围为120≤M≤130．点评：解决本题的关键是根据题目方程组，求得用M表示的x、y、z表达式，进而根据x、y、z皆为非负数，求得M的取值范围． 3．（11分）若干只6脚蟋蟀和8脚蜘蛛，共有46只脚，问蟋蟀和蜘蛛各有多少只？考点：二元一次方程的解．专题：计算题；应用题．分析：先设有x只蟋蟀，y只蜘蛛，然后列出方程，6x+8y=46（称之为不定方程）3x+4y=23①，由①得出：②，从而得出y的取值范围，0≤y≤5，根据以上条件分类讨论即可．解答：解：设有x只蟋蟀，y只蜘蛛，则有：6x+8y=46（称之为不定方程）3x+4y=23①下面求此方程的非负整数解由①得：②∵x≥0∴∴0≤y≤5用y=0，1，2，3，4，5代入②式：当y=0时，不为整数，舍去当y=1时，不为整数，舍去当y=2时，x=5为非负整数，符合条件当y=3时，不为整数，舍去当y=4时，不为整数，舍去当y=5时，x=1为非负整数，符合条件所以原不定方程的非负整数解为或．点评：本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是根据题意列出方程，然后分类讨论，难度不大，但很复杂． 4．（11分）有一根长38米的铁丝，全部分成5米和3米长的铁丝，要求没有剩余，问有多少种不同的分法？考点：二元一次方程的应用．专题：应用题；分类讨论．分析：设分成5米长的有x条，分成3米长的有y条，则有：5x+3y=38（称之为不定方程），x，y为非负整数解，可讨论求结果．解答：解：设分成5米长的有x条，分成3米长的有y条，则有：5x+3y=38（称之为不定方程）①下面求此方程的非负整数解由①得：②∵y≥0∴∴x最大取0≤x≤7用x=0，1，2，3，4，5，6，7代入②式：当x=0时，不为整数，舍去当x=1时，y=11为非负整数，符合条件当x=2时，不为整数，舍去当x=3时，不为整数，舍去当x=4时，y=6为非负整数，符合条件当x=5时，不为整数，舍去当x=6时，不为整数，舍去当x=7时，y=1为非负整数，符合条件所以原不定方程的非负整数解为，，．故有3种不同的分法．点评：本题根据题意列出方程，然后根据x，y都取非负整数，讨论求解即可． 5．（11分）某人用15元钱买了20张邮票，其中有1元，8角，2角的邮票．问他可能有多少种不同的买法？考点：三元一次方程组的应用．专题：应用题．分析：首先假设一元邮票x张，8角邮票y张，2角邮票z张．根据题意列出方程组，通过加减消元法得到，利用本题隐含的条件x、y、z均为正整数，讨论x的取值，进而求得适合条件的y、z取值．解答：解：设买一元邮票x张，8角邮票y张，2角邮票z张．根据题意得：由②得：5x+4y+z=75 ③由③﹣①得：4x+3y=55，即∵y＞0∴∴x的最大整数取13经验证当x=1，4，7，10，13时，y取正整数∴原方程组的正整数解为：，，，，．所以共有5种不同的买法．点评：此方程组称为不定方程组，即未知数的个数多于方程的个数，解决此类问题的关键是寻找隐含条件，尽量缩小未知数的取值范围． 6．（11分）解下列方程：（1）|5x﹣2|=3；（2）．考点：含绝对值符号的一元一次方程．专题：计算题．分析：（1）有两种解法：法1分类讨论，即当5x﹣2＞0、5x﹣2=0和5x﹣2＜0时的x的取值；法2整体思想，有|x|=1，x=±1联想到|5x﹣2|=±3，再计算比较容易．（2）首先考虑有繁到简：先去分母，再计算解答：解：（1）法1：（分类讨论）当5x﹣2＞0时，即x＞，5x﹣2=3，5x=5，x=1∵x=1符合大前提x＞，∴此时方程的解是x=1当5x﹣2=0时，即x=，得到矛盾等式0=3，所以此时方程无解当5x﹣2＜0时，即x＜，5x﹣2=﹣3，x=∵x=符合大前提x＜，∴此时方程的解是x=故方程的解为x=1或x=法2：（整体思想）联想：|a|=3时，a=±3类比：|5x﹣2|=3，则5x﹣2=3或5x﹣2=﹣3解方程得x=1或x=；故方程的解x=1或x=﹣；（2）原式=|x|﹣1﹣5=6﹣|x|即：|x|=6所以，方程的解为x=6或x=﹣6．故方程的解x=6或x=﹣6点评：本题主要考查的是含有绝对值符号的一元一次方程的一般计算．难易适中． 7．（11分）解方程|4x+2|=x﹣1．考点：含绝对值符号的一元一次方程．专题：计算题．分析：根据绝对值的性质可得：4x+2=x+1或4x+2=﹣（x﹣1），分别解出即可．解答：解：4x+2=x﹣1或4x+2=﹣（x﹣1），解得x=﹣1或x=．又因为x﹣1≥0，即x≥1，所以原方程无解．点评：本题考查含绝对值的一元一次方程，难度不大，关键是绝对值性质的利用． 8．（11分）解方程|x+3|+|x﹣2|=7．考点：含绝对值符号的一元一次方程．专题：计算题．分析：分别讨论①x≥2，②﹣3＜x＜2，③x≤﹣3，根据x的范围去掉绝对值，解出x，综合三种情况可得出x的最终范围．解答：解：从三种情况考虑：第一种：当x≥2时，原方程就可化简为：x+3+x﹣2=7，解得：x=3；第二种：当﹣3＜x＜2时，原方程就可化简为：x+3﹣x+2=7，不符合题意；第三种：当x≤﹣3时，原方程就可化简为：﹣x﹣3+2﹣x=7，解得：x=﹣4；∴方程的解为：x1=3，x2=﹣4．点评：本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，难度不大，关键是正确分类讨论x的取值范围，去掉绝对值符号后再解题． 9．（12分）解方程|x﹣4|+|x+3|=7．考点：含绝对值符号的一元一次方程．专题：计算题．分析：去掉绝对值，首先要明确绝对值的几何意义（在数轴上点x到点4的距离与点x到点﹣3的距离之和为7的所有的数值）：在数轴上x的取值范围：x＜﹣3、﹣3≤x≤4、x＞4时，x的解就能求得．解答：解：（1）当x＜﹣3时，原方程可化为：﹣（x﹣4）﹣（x+3）=7解得：x=﹣3，与题意不符，故舍去．（2）当﹣3≤x≤4时，原方程可化为：﹣（x﹣4）+x+3=7即7=7所以﹣3≤x≤4（3）当x＞4时，原方程可化为x﹣4+x+3=7，x=4与题意不符，故舍去．故原方程的解是﹣3≤x≤4．点评：本题主要考查的是含有绝对值符号的一元一次方程的计算题，主要是绝对值得几何意义的应用．难易适中． 。
