二次曲线中的万能弦长公式王忠全我们把圆、椭圆、双曲线、抛物线称为二次曲线，用设而不求的方法，可得到其弦长公式设直线方程为：y=kx+b （特殊情况要讨论k的存在性），二次曲线为f（x，y）=0，把直线，E-成，-y )2 =、k - x 力 + (kx + b - kx - b)22*12 1 2=、.(1 + k2)(x - x )2 = %；1 + k2 • ■'(x + X )2 - 4x x* 1 2 * 1 2 1 2.~~；~ v A=% 1 + k2 I a I、、 ■-__1 v' A同理：若化为关于y的方程ay2+by+c=0，则IABI= 1 + —I k 2 I a I例、已知过点M（-3, -3）的直线m被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为4 3，求直线m的方程解析:设直线方程m:y+3=k(x+3),即 y=kx+3k-3,代入 x2+y2+4y-21=0,得 x2+k2x2+9k2+9+6k2x-6kx-18k-21+4kx+12k-12=0,即(1+k2)x2+(6k2-2k)x+9k2-6k-24=0,那么.■-—-—\ 36k 4 - 24k3 + 4k 2 - 36k 4 + 24k 3 + 60k 2 - 24k + 96 .I1 + k 2 I<1 + k 2 = 41564k2 — 24k + 96即 =4\.：5,两边平方，得V1 + k 264k 2 - 24k + 96 = 80 + 80k 2,16k 2 - 24k -1616 = 0，2k 2 - 3k - 2 = 0k = - 2, k = 2,所求直线方程为x + 2 y + 9 = 0, 或2 x - y + 3 = 0当k不存在时，直线m为x=-3,代入x2+y2+4y-21=0,得交点为(-3,2),(-3,-6)|ABI=8。
4%«5(不合题意)综上所述：所求直线方程为尤+ 2y + 9 = 0,或2x-y + 3 = 0.x 2 y 2变式：已知过点M(-3, -3)的直线而被椭圆仍+ 3 = 1所截得的弦长为2’求直线m的方程评析:用公式解决弦长问题，计算量大，容易出错，这正是高考考查学生计算能力的一个重要方 面，这种“设而不求”的思想，在处理圆锥曲线相关问题中占有重要地位。