2022年高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ课时达标检测九指数与指数函数1．下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)·f(y)”的单调递增函数的序号是________．①f(x)＝x3；②f(x)＝3x；③f(x)＝x；④f(x)＝x.解析：根据各选项知，②④中的指数函数满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)．又f(x)＝3x是增函数，所以②正确．答案：②2．函数f(x)＝2|x－1|的大致图象是________．(填序号)解析：f(x)＝易知f(x)在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减，故②正确．答案：②3．(xx·江苏省赣榆高级中学模拟)函数f(x)＝a|x＋1|(a＞0，a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是________．解析：由题意知a＞1，f(－4)＝a3，f(1)＝a2，由y＝at(a＞1)的单调性知a3＞a2，所以f(－4)＞f(1)．答案：f(－4)＞f(1)4．若函数f(x)＝a|2x－4|(a＞0，且a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是________．解析：由f(1)＝得a2＝，又a＞0，所以a＝，因此f(x)＝|2x－4|.因为g(x)＝|2x－4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．答案：[2，＋∞)5．(xx·南京摸底)已知函数f(x)＝＋btan x＋x2(a＞0，a≠1)，若f(1)＝3，则f(－1)＝________.解析：f(－x)＋f(x)＝＋＋2x2＝1＋2x2，所以f(－1)＝1＋2－f(1)＝0.答案：0[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.75，则a，b，c的大小关系是________．解析：由0.2＜0.75＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.75，即b＞c；因为a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b.综上，a＞b＞c.答案：a＞b＞c2.已知奇函数y＝如果f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)对应的图象如图所示，那么g(x)＝________.解析：由题图知f(1)＝，∴a＝，f(x)＝x，由题意得g(x)＝－f(－x)＝－－x＝ －2x.答案：－2x3．设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a＝________.解析：设(x，y)为y＝f(x)图象上任意一点，则(－y，－x)在y＝2x＋a的图象上，所以有－x＝2－y＋a，从而有－y＋a＝log2(－x)(指数式与对数式的互化)，所以y＝a－log2(－x)，即f(x)＝a－log2(－x)，所以f(－2)＋f(－4)＝(a－log22)＋(a－log24)＝(a－1)＋(a－2)＝1，解得a＝2.答案：24．(xx·豫晋冀三省调研)设函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在x∈[－1,1]上的最大值与最小值之和为g(a)，则函数g(a)的取值范围是________．解析：f(x)在x∈[－1,1]上的最大值和最小值在两端点处取得，∴g(a)＝f(1)＋f(－1)＝a＋，又a＞0，且a≠1，所以g(a)＝a＋＞2.答案：(2，＋∞)5．设函数f(x)＝若f(a)＜1，则实数a的取值范围是________．解析：当a＜0时，不等式f(a)＜1可化为a－7＜1，即a＜8，即a＜－3，因为0＜＜1，所以函数y＝x是减函数，所以a＞－3，此时－3＜a＜0；当a≥0时，不等式f(a)＜1可化为＜1，所以0≤a＜1.故a的取值范围是(－3,1)．答案：(－3,1)6．(xx·张家港市四校联考)已知a＞0，且a≠1，f(x)＝x2－ax.当x∈(－1,1)时，均有f(x)＜，则实数a的取值范围是________．解析：当x∈(－1,1)时，均有f(x)＜，即ax＞x2－在(－1,1)上恒成立，令g(x)＝ax，m(x)＝x2－，由图象知：当0＜a＜1时，g(1)≥m(1)，即a≥1－＝，此时≤a＜1；当a＞1时，g(－1)≥m(1)，即a－1≥1－＝，此时1＜a≤2.综上，≤a＜1或1＜a≤2.答案：∪(1,2]7．已知函数f(x)＝，若f(a)＝－，则f(－a)＝________.解析：∵f(a)＝＝－.∴f(－a)＝＝－＝－＝.答案：8．若函数f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a＝________.解析：当a＞1时，f(x)＝ax－1在[0,2]上为增函数，则a2－1＝2，∴a＝±.又∵a＞1，∴a＝.当0＜a＜1时，f(x)＝ax－1在[0,2]上为减函数，又∵f(0)＝0≠2，∴0＜a＜1不成立．综上可知，a＝.答案：9．(xx·安徽十校联考)已知max(a，b)表示a，b两数中的最大值．若f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}，则f(x)的最小值为________．解析：由于f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}＝当x≥1时，f(x)≥e，且当x＝1时，取得最小值e；当x＜1时，f(x)＞e.故f(x)的最小值为f(1)＝e.答案：e10．(xx·信阳质检)若不等式(m2－m)2x－x＜1对一切x∈(－∞，－1]恒成立，则实数m的取值范围是________．解析：(m2－m)2x－x＜1可变形为m2－m＜x＋2.设t＝x，则原条件等价于不等式m2－m＜t＋t2在t≥2时恒成立．显然t＋t2在t≥2时的最小值为6，所以m2－m＜6，解得－2＜m＜3.答案：(－2,3)二、解答题11．已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.(1)当a＝1时，求函数f(x)在x∈[－3,0]的值域；(2)若关于x的方程f(x)＝0有解，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1＝2(2x)2－2x－1，令t＝2x，因为x∈[－3,0]，则t∈.故y＝2t2－t－1＝22－，t∈，故值域为.(2)关于x的方程2a(2x)2－2x－1＝0有解，等价于方程2am2－m－1＝0(m＞0)在(0，＋∞)上有解．记g(m)＝2am2－m－1，m＞0，当a＝0时，g(m)＝0的解为m＝－1＜0，不成立．当a＜0时，g(m)的图象开口向下，对称轴m＝＜0，则g(m)在(0，＋∞)上单调递减，且图象过点(0，－1)，不成立．当a＞0时，g(m)的图象开口向上，对称轴m＝＞0，则g(m)在上单调递减，在上单调递增，且图象过点(0，－1)，必有一个根为正，所以，a＞0.综上所述，a的取值范围是(0，＋∞)．12．(xx·连云港月考)设函数f(x)＝kax－a－x(a＞0，a≠1)是奇函数．(1)求常数k的值；(2)若a＞1，试判断f(x)的单调性，并用定义法加以证明；(3)若已知f(1)＝，且函数g(x)＝a2x＋a－2x－2mf(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为－2，求实数m的值．解：(1)因为函数f(x)＝kax－a－x(a＞0，a≠1)是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0对于任意x∈R恒成立，即(ka－x－ax)＋(kax－a－x)＝0；(k－1)(ax＋a－x)＝0恒成立，所以k－1＝0，即k＝1.(2)a＞1时，f(x)＝ax－a－x在R上为增函数．理由如下：设x1＜x2则f(x1)－f(x2)＝(ax1－a -x1)－(a x2－a-x2)＝.因为a＞1，x1＜x2，所以0＜a x1＜a x2，ax1＋x2＞0，所以f(x1)＜f(x2)，即f(x)＝ax－a－x在R上为增函数．(3)由f(1)＝得a－＝，即a＝3或a＝－(舍)．所以f(x)＝3x－3－x，g(x)＝32x＋3－2x－2m(3x－3－x)＝(3x－3－x)2－2m(3x－3－x)＋2.设t＝3x－3－x，x∈[1，＋∞)，则t＝3x－3－x在[1，＋∞)上为增函数，即t≥，所以y＝t2－2mt＋2，t≥，对称轴为t＝m.当m≤时，ymin＝2－m＋2＝－2，解得m＝.当m≥时，ymin＝m2－2m2＋2＝－2，所以m＝－2或m＝2(均舍去)．综上m＝.。
