高中数学三角函数知识点解题技巧总结

高中数学三角函数知识点解题技巧总结高中数学三角函数知识点总结高中数学三角函数知识点解题方法总结一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式一步到位转换到区间（-90o，90o）的公式.1.sin(kπ+α)=(- 1)ksinα(k∈Z)；2.cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)；3.tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z)；4.cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z).二、见“sinα±cosα”问题，运用三角“八卦图”1.sinα+cosα;0(或 0(或|cosα|óα 的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内;4.|sinα|“化弦为一”：已知 tanα,求 sinα 与 cosα 的齐次式， 有些整式情形还可以视其分母为 1，转化为 sin2α+cos2α.六、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式：1.sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β;2.cos(α+β)cos(α- β)=cos2α-sin2β.七、见“sinα±cosα 与 sinαcosα”问题，起用平方法则： (sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故1.若 sinα+cosα=t,(且 t2≤2),则 2sinαcosα=t2-1=sin2α;2. 若 sinα-cosα=t,(且 t2≤2),则 2sinαcosα=1-t2=sin2α.八、见 “tanα+tanβ 与 tanαtanβ”问题，启用变形公式:tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考：tanα-tanβ=？？？九、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系： (A≠0)1.函数 y=Asin(wx+φ)和函数 y=Acos(wx+φ)的图象，关于过最值 点且横向于 y 轴的直线分别成直线型；2.函数 y=Asin(wx+φ)和函数 y=Acos(wx+φ)的图象，关于其中间零点分别成中心对称；3.同样，利 用图象也可以得到向量 y=Atan(wx+φ)和函数 y=Acot(wx+φ)的对称性 质。

十、见“求最值、值域”问题，启用有界性，或者辅助角公式： 1.|sinx|≤1,|cosx|≤1;2.(asinx+bcosx)2=(a2+b2)sin2(x+φ)≤(a2+b2);3.asinx+bcosx=c 有 解的充要条件是 a2+b2≥c2.十一、见“高次”，用降幂，见“复角”， 用转化.1.cos2x=1-2sin2x=2cos2x-1.2.2x=(x+y)+(x-y);2y=(x+y)-(x-y);x-w=(x+y)-(y+w)等.三角函数1.①与（0°≤＜360°）终边相同的角的集合（角与角的终边重 叠）：|k360,kZ3sinx4cosxcosx▲y2sinx1cosx②终边在 x 轴上的角的集合： |k180,kZ③终边在 y 轴上的角的集合：|k18090,kZxcosx4sinx2sinx3④终边在坐标轴上单位向量的角的集合： |k90,kZ⑤终边在 y=x 轴上的角的集合：|k18045,kZ⑥终边在 yx1SIN\\COS 三角函数值大小父子关系图 1、2、3、4 表示第一、二、 三、四象限一半所在区域轴上的角的集合：|k18045,kZ⑦若角与角的终边关于 x 轴对称，则角与角的关系：360k⑧若角 与角的终边关于 y 轴对称，则角与角的关系：360k180⑨若角与角的终 边在一条直线上，则角与角的关系：180k⑩角与角的终边互相垂直， 则角与角的关系：360k902.角度与轮廓的互换关系： 360°=2180°=1°=0.017451=57.30°=57°18′注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度与角度互换 等式：1rad＝180°≈57.30°=57°18．1°＝180≈0.01745（rad）3、弧长公式：l||r.扇形面积公式：s 扇形 12lr12||ry24、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的） 一点 P（x,y）P 与原点的距离为 r，则 sincosxryr；rya 的终边 P （x,y)；tanyx；cotxy；secrx；.csc.rox5、三角函数在各毕宿的符 号：（一全二正弦，三切四余弦）++ox--正弦、余割 y-+o-+x 余弦、 正割 y-+ox+-正切、余切 OyyPTMAx6、三角函数线正弦线：MP;余弦线：OM;正切线：AT.7.三角函数的定义域：三角函数 f(x)sinxf(x)cosxf(x)tanxf(x)cotxf(x)secxf(x)cscx 定义域 x|xRx|xR1x|xR 且 xk,kZ2x|xR 且 xk,kZ1x|xR 且 xk,kZ2x|xR 且 xk,kZcostan8、常规同角三角函数的基本关系式：sintancot1cscsin1222cossincot16.几个重要结论:2seccos122sincos1sectan1csccot1(1)y(2)y9、诱导公式：把 k2|sinx|;|cosx|sinx;cosxOx|cosx|;|sinx|O|cosx|;|sinx|x 的三角函数变作傅里叶的三角函数，概括为：“奇变偶不变，符号看 象限”三角函数的公式：（一）基本关系cosx;sinx|sinx|;|cosx|(3)若 o（二）角与角相互关系的互换公式组一公式组二coscos()coscossinsinsin22sincos()coscossinsinsin()sincoscossin2222cos2cossin2cos112sintan22tan1tan1cos22sin()sincoscossintantan1tantantantan1tantansin2tan()cos21cos2sin1cos1cossintan()tan21cos1cos 公式组三公式组四公式组五 2tansin1tan22sincos121212sinsincossinsincos(sin(tan(121212)sin)cos)cot2cossincoscos1tancos1tan22cos22sinsin12coscoscos(tan(sin(sinsin2sinsinsin2cos22cossin22121212)sin22tantan1tan22)cot)cos264coscos2coscoscos2sin22cossinsin15cos75,,tan152cot7523,.2tan75cot15223sin75cos156410.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的物理性质：定义域值域 周期性奇偶性有理数单调性 ysinxycosxytanx1x|xR 且 xk,kZ2ycotxyAsinx（A、＞0）RR[1,1]R[1,1]x|xR 且 xk,kZRRA,A22 奇 函数 22 偶函数[2k1,奇函数 k,k22 奇函数当当 0,0,非奇非偶奇函数[2k,2k]；k,k1 上为减函数（kZ）22k]上为增函上为增函数数为（kZ） [2k,上为增函数[；2k,2k]2k1]数 2k2(A),12k2(A)22 上为减函（kZ） 上为增函数；2k2(A),32k2(A)3 上为减函数（kZ）上为减函数（kZ）注意：①ysinx 与 ysinx 的单调性正好相反；ycosx 与 ycosx 的单 调性也同样相反.一般地，若 yf(x)在[a,b]上递增（减），则 yf(x)在 [a,b]上递减（增）.▲②ysinx 与 ycosx 的周期是.cos(x)y③ysin(x)或 yytanx2（0）的周期 T2.Ox 的周期为 2（TT2，如图，翻折无效）.2④ysin(x)的对称轴方程是 x 对称轴方程是 x 原点对称 k（kZ）， 对称中心（k,0）；y12(socx)的k（kZ），对称中心（k；y,0）(nat（x)的对称中心k2.,0）ycos2xycos(2x)cos2xtan⑤当 tan1,k2(kZ)tan；tan1,k2(kZ).⑥ycosx 与 ysin2k 是同一函数,而 y(x)是偶函数，则 x212y(x)sin(xk)cos(x).⑦函数 ytanx 在 R 上为增函数.（×）[只能在某个单调区间单调 递增.若在整个定义域，ytanx 为增函数，同样也是错误的].⑧定义域关于原点对称是 f(x)具有奇偶性拥有的必要不充分条件. （奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是 满足奇偶性条件，偶函数：f(x)f(x)）f(x)f(x)，奇函数：奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：ytanx 是奇函数，ytan(x1)是 非奇非偶.（定3 义域不关于原点线性）奇函数特有性质：若 0x 的定义域，则 f(x)一定有质）▲f(0)0.（0x 的定义域，则无此性⑨ysinx 不是周期函数；ysinx 为周期函数（T）；y▲yx1/2xycosx 是周期函数（如图）；ycosx 为周期函数（T）； y=cos|x|图象 ycos2x12 的周期为（如图），并非所有周期函数都有最 小正周期，例如：y=|cos2x+1/2|图象 yf(x)5f(xk),kR.⑩yacosbsinab22sin()cosba 有 a2b2y.三角函数的图象变换有振幅变换、本轮变换和相位变换等．函数 y ＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期 T2||，频率 f1T||2，相位 x;初相 （即当 x＝0 时的相位）．（当 A＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符 号），由 y＝sinx 的图象上的保持点的横坐标保持不变，纵坐标伸长 （当|A|＞1）或缩短（当 0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到 y＝Asinx 的图象，叫做相位变换或叫沿 y 轴的伸缩变换．（用 y/A 替换 y）由 y＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜ |ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的|1|倍，得到 y＝sinωx 的图象， 叫做周期插值或叫做沿 x 轴的伸缩变换．(用 ωx替换 x)由 y＝sinx 的图象上所有的两点向左（当 φ＞0）或向右（当 φ ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到 y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相 位变换或叫做沿 x 轴方向的平移．(用 x＋φ 替换 x)由 y＝sinx 的图象 上所有的九点向上（当 b＞0）或向下（当 b＜0）平行移动｜b｜个单 位，得到 y＝sinx＋b 的图象叫做沿 y 轴方向的平移．（用 y+(-b)替换 y）由 y＝sinx 的图象充分运用对数图象变换作函数 y＝Asin（ωx＋ φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的图象，要特别注意：当周期变换和相 位变换的不同时，原图象延 x 轴量伸缩量的区别。

高中数学三角函数常见习题类型及解法1.三角函数恒等变形的基本策略1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanxcotx=tan45°等2）六项的分拆与角的配凑如分拆项： sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x ；配凑角：α=（α+β） －β，β=－22 等3）降次与升次4）化弦（切）法4）引入辅助角asinθ+bcosθ=a2b2sin(θ+)，这里进阶角所 在象限由 a、b 的符号确定，角的值由 tan=ba 确定2.证明三角等式的思路和方法1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等 式两边化为同一形式2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数 学归纳法3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分 析法，利用向量的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆 三角函数线及判别法等4.解答三角高考题的市场策略四、例题分析例 1．已知 tan 的值.解：（1）cossincossin1sin22322；1tan1cossin1tan11cos222cossin2，求（1）；（2） sin2sin.cos2cos2cossin(2)sinsincos2cossin222sinsincos2cossincos22cos2cossin12cossin222221432.说明：利用齐次分离式的结构特点（如果不具备，通过本体的办 法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。

例 2．求函数 y1sinxcosx(sinxcosx)2 的值域解：设 tsinxcosx1232ytt1(t)242sin(xπ4)[2，2]，则原函数可 化为，因为 t[2，2]，所以12 当 t2 时，ymax32，当 t34 时，ymin34，所以，函数的值域为 y[，32]例 3．已知函数 f(x)4sin2x2sin2x2，xR1）求 f(x)的最小正周期、f(x)的最大值及此时 x 的集合；（2） 证明：函数 f(x)的图像关于直线 xπ8 对称解：f(x)4sin2x2sin2x22sinx2(12sin2x)2sinx22coxs22π2xsin(24)(1)所 以 f(x)的最小正周期 Tπ，因为 xR，所以，当 2xπ42kππ2，即 xkπ3π8 时，f(x)最大值为 22；π8(2)证明：欲证明函数 f(x)的图像关于直线 x 有f(π8x)f(π8π8π8π8x)成立，π8π8x)x)π4π4 对称，只要证明对任意 xR，因为f(f(x)22sin[2(x)22sin[2(x)f(π8]22sin(]22sin(π2π22x)22cos2x ， 2x)22cos2x，π8 所以 f(x)成立，从而函数 f(x)的图像关于直线 x12 对称。

例 4．已知函数 y=cos2x+32sinxcosx+1（x∈R）,（1）当函数 y 取得最大值时，求自变量 x 的集合；（2）该表达式的图像可由 y=sinx(x∈R)的图像经过微分怎样的平 移和伸缩变换得到？解：（1）y=+1141212cos2x+32sinxcosx+1=1412(2cos2x－1)+14+34（2sinxcosx）cos2x+sin(2x+346sin2x+)+5454=(cos2xsin6+sin2xcos6)+所以 y 取最大值时，只需 2x+2+2kπ,（k∈Z），即 x=66+kπ,（k∈Z）所以当函数 y 取最大值时，自变量 x 的集合为{x|x=（2）将函数 y=sinx 依次进行如下变换：（i）把函数 y=sinx 的图像向左平移6+kπ,k∈Z}6，得到函数 y=sin(x+12)的图像；（ii）把得到的上用各点横坐标缩短到原来的函数 y=sin(2x+ 6 倍（纵坐标不变），得到)的图像；12（iii）把得到的图像上才各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标 不变），得到函数 y=12sin(2x+6)的图像；54（iv）把给与的图像向上平移的图像。

综上得到 y=12 个单位长度，得到函数 y=12sin(2x+6)+54cos2x+32sinxcosx+1 的图像说明：本题是 201*年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查 三角函数的图像和性质这类题一般有两种解法：一是化成关于 sinx,cosx 的齐次式，降幂后最终化成 y=a2b2sin(ωx+)+k 的形式，二 是化成某一个三角函数的二次三项式本题（1）还可以解法如下：当 cosx=0 时，y=1；当 cosx≠0 时，1y=2cos2x23sin2xcossinxcosx21x+1=221tan3tanx2x+1化简得：2(y－1)tan2x－3tanx+2y－3=0∵tanx∈R，∴△=3－8(y－1)(2y－3)≥0,解之得：∴ymax= 7434≤y≤，此时对应自变量 x 的值集为{x|x=kπ+x3cosx33cos26,k∈Z}例 5．已知函数 f(x)sinx3.（Ⅰ）将 f(x)写成 Asin(x)的形式，并求其图象对称中心的横坐 标；（Ⅱ）如果△ABC 的三边 a、b、c 满足 b2=ac，且边 b 所对的角为 x，试求 x 的范围及此时函数 f(x)的值域.解：f(x)12sin2x332(1cos2x3)12sin2x332cos2x332sin(2x33)32（Ⅰ）由 sin(2x33)=0即对称中心的横坐标为（Ⅱ）由已知 b2=ac33k12 即2x3k(kz)得 xkz3k12kz，cosx|12acb2ac222acac2ac222acac2ac2x32x312，593sin(2x3cosx1，0x3，3332||592|，32sin].3sin(3)1，3)132，即 f(x)的值域为(3,1 综上所述，x(0,]，f(x) 值域为(3,1332].说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识， 还需要利用数形的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运 算能力，对知识进行业务整合的能力。

例 6．在 ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，且(1)求 sinB 的值；(2)若 b42，且 a=c，求 ABC 的面积解：(1)由正弦定理及 cosCcosB3acbcosCcosB3acb，，有cosCcosB3sinAsinCsinB，即 sinBcosC3sinAcosBsinCcosB，所以 sin(BC)3sinAcosB，又因为 ABCπ，sin(BC)sinA，所以 sinA3sinAcosB，因为 sinA0， 所以 cosB13，又 0Bπ，所以 sinB1cos2B23ac322232)在 ABC 中，由余弦定理可得 a2c243，又 ac，所以有 a232，即 a224，所以 ABC 的面积为S12acsinB12asinB822三角函数一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分)1．已知点 P（tanα，cosα）在第三象限，则角 α 的终边在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 kππkπ2．集合 M＝{x|x＝±，k∈Z}与 N＝{x|x＝，k∈Z}之间的关系是（）244A.MNB＝ND.M∩N＝3．若将分针拨慢十分钟，则分针所转过的角度是（）A.60°角A.（1）（2）2A.B.（2）（3）C.（1）（3）21B.－C.B.－60°C.30°D.－30°4．已知下列各角（1）787°，(2)－957°，(3)－289°， (4)1711°，其中在第六象限的D.（2）（4）5．设 a＜0，角 α 的终边经过点 P（－3a，4a），那么 sinα＋ 2cosα 的值等于（）D.－6．若 cos(π＋α)＝－，π＜α＜2π，则 sin(2π－α)等于（） 223313B.C.D.±22227．若 α 是第四象限角，则 π－α 是（）A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 8．已知 弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 2，则这个圆心角所对的弧长是（）A.－A.2C.2sin1sin1D.sin29．如果 sinx＋cosx＝，且 0＜x＜π，那么 cotx 的值是（）4A.－433B.－或－C.－344D.或－D.910．若实数 x 满足 log2x＝2＋sinθ，则|x＋1|＋|x－10|的值等 于（）A.2x－9B.9－2xC.11二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)11．tan300° ＋cot765°的值是_____________.12．若 sinα＋cosα＝2，则 sinαcosα 的值是_____________.sinα－cosα2cosx13．不等式（lg20)＞1，(x∈(0，π))的解集为_____________.14．若 θ 满足 cosθ＞－，则角 θ 的取值集合是_____________.215．若 cos130°＝a，则 tan50°＝_____________.－16．已知 f(x)＝1－xπ，若 α∈(，π)，则 f(cosα)＋f(－cosα)可化简为 ___________.1＋x 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分 12 分）设一扇 形的周长为 C(C＞0)，当扇形中心角为多大时，它有最大面积？最大面 积是多少？18．(本小题满分 14 分）设 90°＜α＜180°，角 α 的终边上一 点为 P（x，5)，且 cosα＝x，求 sinα 与 tanα 的值.4m－34－2mπ19．(本小题满分 14 分)已知≤θ≤π，sinθ＝，cosθ＝，求 m 的值.2m＋5m＋520．(本小题满分 15 分)已知 0°＜α＜45°，且 lg(tanα)－ lg(sinα)＝lg(cosα)－lg(cotα)＋2lg33－lg2，求 cos3α－sin3α 的值.221．(本小题满分 15 分)已知 sin(5π－α)＝2cos(π＋β)和 3cos(－α)＝－2cos(π＋β)，且 0＜α＜π，0＜β＜π，求 α 和 β 的值.三角函数一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）1．下列 函数中，最小正周期为 π 的偶函数是（）A.y＝sin2xC.y＝sin2x＋cos2xB.y＝cos1－tanxD.y＝1＋tan2x2．设函数 y＝cos(sinx)，则（）A.它的定义域是［－1，1］B.它是偶函数C.它的值域是［－cos1，cos1］D.它不是周期函数 3．把函数 y＝ cosx 的上以的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来 的两倍，然后把图象向左平移个单位.则所得图象表示的函数的解析式 为4（）A.y＝2sin2xB.y＝－2sin2xxπD.y＝2cos(＋)C.y＝2cos(2x＋)4．函数 y＝2sin(3x－)图象的交界处两条相邻对称轴两者之间的 距离是（）πA.2πC.π34π5．若 sinα＋cosα＝m，且－2≤m＜－1，则 α 角所在象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6．函数 y＝ |cotx|sinx（0＜x≤3π且 x≠π）的图象是（）2cos2x7．设 y＝，则下列结论中会正确的是（）1＋sinxA.y 有最大值也有最小值 B.y 有最大值但无最小值C.y 有最小值但无最大值 D.y 既无最大值又无最小值 π8．函数 y＝sin（－2x)的单调增区间是（）A.［kπ－3πππ5π，kπ＋］(k∈Z)B.［kπ＋，kπ＋］(k∈Z)8888 π3π3π7πC.［kπ－，kπ＋］(k∈Z)D.［kπ＋，kπ＋］(k∈Z)888819．已知 0≤x≤π，且－＜a＜0，那么函数 f(x)＝cos2x－2asinx －1 的最小值是（）A.2a＋1B.2a－1C.－2a－1D.2a10．求使函数 y＝sin(2x＋θ)＋3cos(2x＋θ)为奇函数，且在［0，］上是增函数的 θ 的一4 个（）A.5π4π2πC.33二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）11．函数 y＝cosx的值域是_____________.1＋2cosxcosx的定义域是_____________.lg（1＋tanx）13．如果 x，y∈［0，π］，且满足|sinx|＝2cosy－2，则 x＝ ___________，y＝___________.14．已知函数 y＝2cosx，x∈［0，2π］ 和 y＝2，则它们的图象所围成的一个封闭的平面图形 12．函数 y＝的面积是_____________15．函数 y＝sinx＋cosx＋sin2x 的值域是_____________.π16．关于函数 f(x)＝4sin(2x＋)(x∈R)有下列命题：①由 f(x1)＝f(x2)＝0 可得 x1－x2 必是 π 的整数倍；π②y＝ f(x)的表达式可改为 y＝4cos(2x－)；6π③y＝f(x)的图象关于点（－，0)对称；6π④y＝f(x)的图象关于直线 x＝－对称.其中正确的命题的序号是_____________.三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出附注、证明 整个过程或演算步骤）17．（本小题满分 12 分）如图为函数 y＝ Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的一部分，试求该函数的一个解 析式.18．（本小题满分 14 分）已知函数 y＝(sinx＋cosx)＋2cosx.(x∈R)(1)当 y 取得最大值时，求自变量 x 的取值集合.(2)该函数图象可由 y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩 变换得到？19．（本小题满分 14 分）已知函数 f(x)＝log12(sinx－cosx)（1）求它的定义域和有理数；（2）求它的单调减上升通道；（3 ）判断它的奇偶性；（ 4 ）判断它的周期性，如果是周期函数， 解出它的一个周期.20．（本小题满分 15 分）某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠 （如图），为降低成本，应当尽量减少水与水渠壁的严格控制接触面. 英亩若水渠横断面面积设计为定值 m，渠深 3 米，则水渠侧壁的倾斜角 α 应为多少时，方能使修建的成本最低？21．(本小题满分 15 分）已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0， 0≤φ≤π)是 R 上的偶函数，其 3ππ图象关于点 M（，0)对称，且在区间［0，］上是单调函数，求 φ 和 ω 的值.。