一个优美的结论椭圆内接直角三角形斜边恒过定点的探求达延俊（中央民族人学附属中学100081）定点问题是圆锥曲线中十分重要的研究课题,蕴含着动静依存的辩证关系，深刻体现了数学的魅力！高考数学科解析几何问题中常常涉及此类问题，如2007年全国高等学校统一招生考试山东卷理科第21题，即题目已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在工轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.（I）求椭圆C的标准方程；（II）若直线仁歹=&+加与椭圆C相交于A,B两点（A,B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线Z过定点，并求出该定点的坐标.解（略）：（1）椭圆的标准方程为辛+首=1;（D）直线Z过定点，定点坐标为（#，0）・类似在圆锥曲线中考定点的问题是较为普遍的，在此不——例举.事实证明，圆锥曲线蕴含着许多“动、静”对立统一的辨证关系，在个别特殊情形下成立的结论往往在一般情形也成立•为此，笔者在想，若将上述试题中“椭圆C的右顶点”改为椭圆上另一个定于不同的两点M,N，且以MN点Q.求证:直线MN恒过工轴上（ID）以MN为直径的圆经是否恒过定点（彳，一*）・解析（1）#+首=1;（皿）设AM的斜率为茶则：k（x—2），即y=kx+1—2k.将其代入椭圆方程，得工？+2[_kjc+（1—2上）]$-2护+碌（1一2厂工+8加一8kz一8k—4=丫十無％yM=匕m4-1—2^=^X-2k=-2/-4&+11+2段将上述两式中的&均换为-—2段+4^+42+kz所以—yN42数学通报2013年43数学通报2013年4&2—4b—21+2k2-），即段+3上一14加一4上_22k2-3k-2X1+2疋疋+3b—1|一2段一碌+12k2一3b—21+2k2=-+〔°护+8/—182—2k+2+（—4/一2炉+18段+—2）］/［（1+2k2）（2k2一3—2）］=_比+3〃一1|6疋十3怡__2护一3〃一2兀（1+20）（2段一3走一2）k2+3^1.3kzzzx-4—2k2-3k-22k2-3k-23k2段一3&—2mk^十3加&—m+2族2—3nk「-2n2kz—3&—2（m+2n}k2+（3加—?>7i）k—（7/2+2n）所以,加+2九=093m—3n—3.解得加2—则直线MN的方程为夕=一笳二養1A2 ▽段+3—113 2k2-3k-23,1护+概一1/2\＞十了=_2段_3&_2任_可）所以直线MN经过定点（彳，一*）・易验证，当©=0,2,—寺或怡不存在时，上述结论均成立,故直线MN恒过定点（f扌）•注：这是一个十分优黄的£于推广，充分体现了形式美、均学化特征，可与很多初等数学冲以下呈现笔者探究这一结参考.解析设AM的方程为工入椭圆方程，得b2（m2y2+2?nny+沖）+a（62m2+a2）yz+2trmbzy-\-b2n0，设M（q,NO?,yz）,i—2mnb2»+厂阳又my^=x-'njt~\~a2n所以，序亦疋+於（工2一2吃0，即（62m2+a2）x2—2a2nr+a">0,①+竝=沪azn2—a2b2m2b2m2+a2，又AS?=（心—Ho,y}—:£o，）2—）o），由・AN=0,得Q（久2—Ho，加—歹0）=0，即XiXZ—Ho（Hi+夂2）+云+）號=0胡以上四式代入并整理aF—a2甘m2_2疋池0bzm2+a2b2mz+ab2n2—a2b2.2mnb2（2b2m2+a2b2m2+a2'为=a2n2—a2b2m2—2a2nrQ4b2n2—a2+2mnb2yQ+b2mz少（方2云+b2yl—a2b2）m2-b2n2—2a27tzo+a2xl—a2b2+46数学通报2013年#数学通报2013年真，！”的启发下，笔者也尝试着自然而然、水到渠成地求解本题.解析首先，将待求参数上从略显复杂的式子中解放出来（俗称为“分离变量”法），即原问题等价于◎停佟为正数）（*）恒成立・所以，只需求〃=年+刃（如了为正数）的最V2x+y大值即可.因为在解题过程中，一般是“能用整式，就不用分式”，所以化右边的“分式”为“整式”（即去分母），得又，能用“有理式”，一般就不用“无理式”，所以化右边“无理”为“有理”（即去根号），得2/工+/，=工+夕+2J'hj,细心观察上述等式，由于我们的目标是求«的最大值，所以应该把u作为参数“保留下去”，从工,了中选择一个作为主元，借助一元二次方程有实数根的条件，可建立U的不等式,这极有可能为“求U的最大值”创造有利条件•以77为主元，整理得（2^—1）2—277・岛+（/—1）歹=0・上式可以看成是以77为主元的一元二次方程.由于该方程必须有正数解△=（—273^）2—4（2/—：又4y>0,所以1一（2/—那么是可以取得至分条件）这只须令3=0,反求得:y即当y=4z>0时心=*|所以怡的取值范围是［鲁.正如数学家加德纳说:“数寻求越来越简单的方法证明7值得指出的是，这里所谓的“简特殊的技巧和书写过程的简乍题的思维过程是自然的、简单E础的・大道至简，师法自然•“變是清楚的”，用最简单的方法可才是数学之精髓.参考文献1章建跃•中学数学教学概论（笫2版学出版集团，20082章建跃•注重通性通法才是好数学2011,12,21（上接第42页）因为点（文0,旳）不在直线工=my+n上，所以mva+X一如工0,c2y0\。