2,3,10， ， 的指数函数的图像.3.体会指数函数是一类重要的函数模型．第五节 指数与指数函数[考纲] 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为1 12 3①正分数指数幂：a n ＝ am(a＞0，m，n∈N*，且 n＞1)；－ n②负分数指数幂：a ＝ m＝ (a＞0，m，n∈N*，且 n＞1)；an1．有理数指数幂(1)分数指数幂mnm1 1nam③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质s①ar· as＝ar＋(a＞0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．2．指数函数的图像与性质y＝ax a＞1 0＜a＜1图像定义域值域性质 当 x＞0 时，y＞1；x＜0 时，0＜y＜1R(0，＋∞)过定点(0,1)当 x＞0 时，0＜y＜1；x＜0 时，y＞1在 R 上是增函数在 R 上是减函数[常用结论]指数函数的图像与底数大小的关系如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx 的图像，底数 a，b，c，d 与 1 之间的大小关系为 c＞d＞1＞a＞b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)的图像越高，底数越大．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×” )4(1) (－4)4＝－4．2 1(2)(－1)4＝(－1)2＝ －1．(3)函数 y＝2x－1 是指数函数．(4)若 am＜an(a＞0 且 a≠1)，则 m＜n．( )( )( )( )3．(教材改编)若函数 f(x)＝ax(a＞0，且 a≠1)的图像经过点 Pç2，2÷，则 f(－1)等于( )A． 2[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．化简[(－2)6]－(－1)0 的结果为( )A．－9 B．7 C．－10 D．91B [原式＝(26)2－1＝8－1＝7.]æ 1öè ø2 B． 2C．14D．4B [由题意知 ＝a2，所以 a＝ ，所以 f(x)＝ç ÷ ，所以 f(－1)＝ç ÷ ＝ 2.]1 22 2æ 2öx æ 2ö－1è 2 ø è 2 ø4．函数 y＝ax－a(a＞0，且 a≠1)的图像可能是( )A B C DC [令 y＝ax－a＝0，得 x＝1，即函数图像必过定点(1,0)，符合条件的只有选项 C．]5．指数函数 y＝(2－a)x 在定义域内是减函数，则 a 的取值范围是________．(1,2) [由题意知 0＜2－a＜1，解得 1＜a＜2.]指数幂的化简与求值1．(2019· 济宁模拟)下列各式中成立的是( )A．çm÷ ＝n7m71æ n ö7è ø3C． 4 x3＋y3＝(x＋y)4B． 12D．3(－3)4＝ －33 39＝ 39＝(93)2＝96＝33＝ 3，故选 D.]D [ 311 1 132．若 a＞0，b＞0，则化简ab－1＝________.3．化简ç－ 8 ÷ 3＋0.002 2－10( 5－2)－1＋3π0＋ ＝________.æ 8 ö3－16 [原式＝ç27÷ ＋5002－ ＋3＋2 1æ 27ö－ － 5è ø 92 110 5è ø 5－2 9＝ ＋10 5－10( 5＋2)＋3＋4 59 9＝－16.]2＋x 2＝3，则x2＋x 2＋2x2＋x－2＋31 1－4．若 x3 3－＝________.[由 x2＋x 2＝3 得 x＋x－1＋2＝9.x2＋x 2＝(x2＋x 2)(x＋x－1－1)＝3×6＝18.x2＋x 2＋2 18＋2 21 12 －5所以 x＋x－1＝7.同理由 x＋x－1＝7 可得 x2＋x－2＝47.3 3 1 1－ －3 3－＋x－2＋3 ＝ 所以 x2 47＋3＝5.][规律方法] 指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解题．易错警示：运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．指数函数的图像及应用【例 1】 (1)函数 f(x)＝ax－b 的图像如图所示，其中 a，b 为常数，则下列结论正确的是 ( )A．a＞1，b＜0B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0D．0＜a＜1，b＜0(2)已知函数 f(x)＝3＋a2x－4 的图像恒过定点 P，则点 P 的坐标是________．(3)若曲线 y＝|3x－1|与直线 y＝k 只有一个公共点，则实数 k 的取值范围为________．(1)D (2)(2,4) (3){0}∪[1，＋∞) [(1)由 f(x)＝ax－b 的图像可以观察出函数 f(x)＝ax－b 在定义域上是减少的，所递减以 0＜a＜1.函数 f(x)＝ax－b 的图像是在 f(x)＝ax 的基础上向左平移得到的，所以b＜0.(2)令 2x－4＝0 得 x＝2，且 f(2)＝4，则点 P 的坐标为(2,4)．(3)函数 y＝|3x－1|的图像是由函数 y＝3x 的图像向下平移一个单位后，再把位于 x 轴下方的图像沿 x 轴翻折到 x 轴上方得到的，函数图像如图所示．(1)画指数函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)的图像，应抓住三个关键点： (1，a)，(0,1)，ç－1，a÷.(1)函数 y＝ (a＞1)的图像大致是( )当 k＝0 或 k≥1 时，直线 y＝k 与函数 y＝|3x－1|的图像有唯一的交点． ][规律方法] 指数函数图像应用的 4 个技巧æ 1öè ø(2)已知函数解析式判断其图像一般是取特殊点，判断所给的图像是否过这些点，若不满足则排除．(3)对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论．(4)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像，数形结合求解．xax|x|A B C D(2)函数 f(x)＝2|x－1|的图像是( )A B C D(3)已知 a＞0，且 a≠1，若函数 y＝|ax－2|与 y＝3a 的图像有两个交点，则实数 a 的取值范围是________．æ 2ö(1)B (2)B (3)ç0，3÷ [(1)y＝í 又 a＞1，故选 B．(3)①当 0＜a＜1 时，如图①，所以 0＜3a＜2，即 0＜a＜ ；ìax，x＞0，î－ax，x＜0，(2)函数 f(x)＝2|x－1|的图像可由 y＝2|x|的图像向右平移 1 个单位得到，故选 B．23②当 a＞1 时，如图②，而 y＝3a＞1 不符合要求．图① 图②所以 0＜a＜ .]23指数函数的性质及应用►考法 1 比较指数式的大小4 2 1【例 2】 已知 a＝33，b＝95，c＝1213，则( )A．b＜a＜cC．b＜c＜aB．a＜b＜cD．c＜a＜b4 2 2 1 2 2A [因为 a＝33＝93＞95＝b，c＝1213＝113＞93＝a，所以 c＞a＞b.故选 A．]►考法 2 解简单的指数方程或不等式ìæ1öx【例 3】 (1)设函数 f(x)＝íè2øïç ÷ －7，x＜0，ïî x，x≥0，若 f(a)＜1，则实数 a 的取值范围是( )A．(－∞，－3)C．(－3,1)B．(1，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)ì4x，x≥0，(2)已知实数 a≠1，函数 f(x)＝íî2a－x，x＜0，若 f(1－a)＝f(a－1)，则 a 的值为________．æ1öa æ1öa æ1ö－3(1)C (2) [(1)当 a＜0 时，不等式 f(a)＜1 可化为ç2÷ －7＜1，即ç2÷ ＜8，即ç2÷ ＜ç2÷ ，因为20＜ ＜1，所以 a＞－3，此时－3＜a＜0；当 a≥0 时，不等式 f(a)＜1 可化为 a＜1，所以 0≤a＜1.1 æ1öaè ø è ø è ø è ø12(2)当 a＜1 时，41－a＝21，解得 a＝ ；当 a＞1 时，代入不成立．故 a 的值为 .](2)已知 0≤x≤2，则 y＝4x－ －3·2x＋5 的最大值为________．2 2 îa0＋b＝0，故 a 的取值范围是(－3,1)．故选 C．1 12 2►考法 3 与指数函数有关的函数的值域或最值问题a【例 4】 (1)已知函数 f(x)＝ax＋b(a＞0， ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则 a＋b＝________.123 5 ìa－1＋b＝－1，(1)－ (2) [(1)当 a＞1 时，函数 f(x)＝ax＋b 在[－1,0]上为增函数，由题意得íìa－1＋b＝0，无解．当 0＜ a＜ 1 时，函数 f(x)＝ ax＋ b 在 [－ 1,0]上为减函数，由题意得 íîa0＋b＝－1，解得ìïa＝ ，2所以 a＋b＝－ .1íïîb＝－2，32(2)y＝ (2x)2－3·2x＋5.令 t＝2x，由 0≤x≤2 得 1≤t≤4，又 y＝ t2－3t＋5＝ (t－3)2＋ ，∴当 t＝1 时，y 有最大值，最大值为 .]121 1 12 2 252►考法 4 复合函数的单调性、值域或最值【例 5】 函数 f(x)＝ç2÷æ1öè ø2－x ＋2x＋1的递减区间是________，值域是________．(－∞，1] ç4，＋∞÷ [令 u＝－x2＋2x＋1，则 u＝－(x－1)2＋2.æ1öu又 y＝ç2÷ 在 R 上是减函数，则函数 f(x)＝ç2÷ 的递减区间为函数 u＝－x2＋2x＋1 的因为 u≤2，则 f(x)≥ç2÷ ＝ ，即函数 f(x)的值域为ê4，＋∞÷.]æ1 öè ø－x2＋2x＋1æ1öè ø è ø增区间．由此函数 f(x)的递减区间为(－∞，1]．2æ1ö 1 é1 öè ø 4 ë ø[规律方法] 指数函数性质应用的常考题型及求解策略常考题型比较幂值的大求解策略(1)能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小 小．(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小解简单指数不等式探究指数型函数的性质先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致易错警示：在研究指数型函数单调性时，当底数与 “1”的大小关系不明确时，要分类讨论．(1)(2019· 信阳模拟)已知 a＝ç5÷－1，b＝ç5÷－1æ3öè ø3æ3öè ø4，c＝ç2÷－3æ3öè ø4，则 a，b，c 的大小关系是( )A．c＜a＜bC．b＜a＜cB．a＜b＜cD．c＜b＜a(2)(2019· 长春模拟)函数 y＝4x＋2x＋1＋1 的值域为( )A．(0，＋∞)C．[1，＋∞)B．(1，＋∞)D．(－∞，＋∞)æ3ö 4æ27ö 43 － 14 － 1æ3öæ3öæ27ö－ 1(3)由题意知，函数 u＝－x2＋ax＋1 在区间(－∞，3)上是增加的，则 ≥3，即 a≥6.(3)已知函数 y＝2－x2＋ax＋1 在区间(－∞，3)上是增加的，则 a 的取值范围为________．(4)函数 y＝2－x2＋2x 的值域为________．－ 3 － 1è ø ＝è ø(1)D (2)B (3)[6，＋∞) (4)(0,2] [(1)c＝ç2÷ ç 8 ÷ ，则4è ø ＞è ø ＞è øç5÷ ç5÷ ç 8 ÷ ，即 a＞b＞c，故选 D.(2)y＝4x＋2x＋1＋1＝(2x)2＋2·2x＋1，令 t＝2x，则 t＞0，∴y＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2＞1，故选 B．a2(4)－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，则 0＜y≤2.即函数 y＝2－x2＋2x 的值域为(0,2]．]。
