2018版高考数学一轮总复习 第10章 计数原理、概率、随机变量及分布列 10.3 二项式定理模拟演练 理[A级 基础达标](时间：40分钟)1．[2017·抚州模拟]若n展开式的二项式系数之和为128，则展开式中x2的系数为( )A．－21 B．－35 C．35 D．21答案 C解析 由已知得2n＝128，n＝7，所以Tr＋1＝Cx2(7－r)·r＝C(－1)rx14－3r，令14－3r＝2，得r＝4，所以展开式中x2的系数为C(－1)4＝35，故选C.2．若C＋3C＋32C＋…＋3n－2C＋3n－1＝85，则n＝( )A．6 B．5 C．4 D．3答案 C解析 C＋3C＋…＋3n－2C＋3n－1＝[(1＋3)n－1]＝85，解得n＝4.3．[2017·邵阳市模拟](1＋3x)n的展开式中x5与x6的系数相等，则x4的二项式系数为( )A．21 B．35 C．45 D．28答案 B解析 ∵Tr＋1＝C(3x)r＝3rCxr，由已知得35C＝36C，即C＝3C，∴n＝7，因此，x4的二项式系数为C＝35，选B.4．[2017·广州测试]使n(n∈N*)展开式中含有常数项的n的最小值是( )A．3 B．4 C．5 D．6答案 C解析 Tk＋1＝C(x2)n－kk＝Cx2n－5k，令2n－5k＝0，得n＝k，所以n的最小值是5.5．(x2＋x＋1)(x－1)6的展开式中x4的系数是( )A．－10 B．－5 C．5 D．10答案 D解析 x2Cx2(－1)4＋xCx3(－1)3＋Cx4(－1)2＝10x4，所以x4的系数为10，选D.6．[2017·广西适应性测试]6展开式中不含x的项的系数为________．答案 －20解析 6展开式中不含x的项为C(xy)3·3＝－20y3，故不含x的项的系数为－20.7．若(1＋x)(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a1＋a2＋…＋a7的值是________．答案 125解析 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a8＝－2.又∵(1－2x)7展开式中第r＋1项Tr＋1＝C(－1)r2rxr，a0＝C(－1)020＝1，a8＝C(－1)727＝－128，∴a1＋a2＋…＋a7＝125.8．若n的展开式的第7项与倒数第7项的比是1∶6，则n＝________.答案 9解析 由题知，T7＝C()n－66，Tn＋1－6＝Tn－5＝C·()6n－6.由＝，化简得6＝6－1，所以－4＝－1，所以n＝9.9．已知n(n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含x的项．解 由题意知，第五项系数为C·(－2)4，第三项的系数为C·(－2)2，则有＝，化简得n2－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去)．(1)令x＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1.(2)通项公式Tr＋1＝C()8－rr＝C(－2)rx.令－2r＝，得r＝1，故展开式中含x的项为T2＝－16x.10．[2017·三亚模拟]已知fn(x)＝(1＋x)n.(1)若f2011(x)＝a0＋a1x＋…＋a2011x2011，求a1＋a3＋…＋a2009＋a2011的值；(2)若g(x)＝f6(x)＋2f7(x)＋3f8(x)，求g(x)中含x6项的系数．解 (1)因为fn(x)＝(1＋x)n，所以f2011(x)＝(1＋x)2011，又f2011(x)＝a0＋a1x＋…＋a2011x2011，所以f2011(1)＝a0＋a1＋…＋a2011＝22011，①f2011(－1)＝a0－a1＋…＋a2010－a2011＝0，②①－②得2(a1＋a3＋…＋a2009＋a2011)＝22011，所以a1＋a3＋…＋a2009＋a2011＝22010.(2)因为g(x)＝f6(x)＋2f7(x)＋3f8(x)，所以g(x)＝(1＋x)6＋2(1＋x)7＋3(1＋x)8.g(x)中含x6项的系数为C＋2C＋3C＝99.[B级 知能提升](时间：20分钟)11．若5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为( )A．－40 B．－20C．20 D．40答案 D解析 令x＝1，得(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1.∴5的通项为Tr＋1＝C·(2x)5－r·r＝(－1)r·25－r·C·x5－2r.令5－2r＝1，得r＝2.令5－2r＝－1，得r＝3.∴展开式的常数项为(－1)2×23·C＋(－1)3·22·C＝80－40＝40.12．[2017·淮北模拟]已知在n的展开式中，第6项为常数项，则展开式中所有的有理项共有( )A．5项 B．4项 C．3项 D．2项答案 C解析 Tr＋1＝Cxr＝Crx，由第6项为常数项 ，得当r＝5时，＝0，得n＝10.令＝k∈Z，则10－2r＝3k，即r＝5－k，故k应为偶数．又0≤r≤10，故k可取2,0，－2，即r可取2,5,8.故第3项，第6项与第9项为有理项，选C.13．[2017·河南测试]9的展开式中，不含x的各项系数之和为________．答案 －1解析 9的展开式中不含x的项为C(2x)09＝9，令y＝1得各项系数之和为(3－4)9＝－1.14．[2017·武汉模拟]已知n.(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．解 (1)∵C＋C＝2C，∴n2－21n＋98＝0.∴n＝7或n＝14，当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.∴T4的系数为C423＝，T5的系数为C324＝70，当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.∴T8的系数为C727＝3432.(2)∵C＋C＋C＝79，∴n2＋n－156＝0.∴n＝12或n＝－13(舍去)．设Tk＋1项的系数最大，∵12＝12(1＋4x)12，∴∴9.4≤k≤10.4，∴k＝10.∴展开式中系数最大的项为T11，T11＝C·2·210·x10＝16896x10.。
