问题：问题：),()(lim xfxfnn 若若？),()(lim xfxfnn dxxfdxxfbanban)()(lim？)(lim)(limlim 00 xfxfxxnxxn )()(xfxfn.Dx,|)()(|,0 )1(xfxfDxNnNn都有都有若若.|)()(|,0 )2(xfxfDxNnmNmn都有都有等价于下列等价于下列3条之一条之一：.0|)()(|suplim )3(xfxfnDxn).()(1xsxukk一致收敛于一致收敛于 ,),()()1(Dxx sxsn 有有,0,0 )2(DxpNmN .|)()()(|21 xuxuxupmmm.0|)()(|suplim )3(xsxsnDxn等价于下列等价于下列3条之一条之一：好用！好用！2 一致收敛函数列一致收敛函数列和函数项级数的性质和函数项级数的性质定理定理8.lim)(lim,)(lim,),(),(),()(0000nnxxnnxxnaxfaxfnxfbxxaDxf 则则上一致收敛于上一致收敛于在在)()(xfxfn)(limlim)(limlim00 xfxfnxxnnnxx 则则即即证证存在证明证明nna lim )1()()(xfxfn.|)()(|,0 xfxfDxpNnNpnn都有都有因为因为一、一致收敛函数列的性质一、一致收敛函数列的性质.|)()(|,0 xfxfDxpNnNpnn都有都有|pnnaa从而从而,|)()(|lim0 xfxfpnnxx.lim,lim Aaannnn 设设存在存在。
证明证明Axfxx)(lim )2(0)()(xfxfn有有及及,Aan,3/|,3/|)()(|,0 AaxfxfDxNnNnn及及有有特别特别,3/|,3/|)()(|11 AaxfxfNN及及|)(|Axf|)()()(|1111AaaxfxfxfNNNN|)(|)()(|1111AaaxfxfxfNNNN 11)(lim 0 NNxxaxf,3/|)(|,|0,0,0110 NNaxfxx有有当当,333|)(|,|0,0,00 Axfxx有有当当即即Axfxx)(lim 0证毕)()(xfxfn)(limlim)(limlim00 xfxfnxxnnnxx 则则特别，如果特别，如果连续，即连续，即在在0)(,xxfnn),()(lim 00 xfxfnnxx)(lim)(lim00 xfxfnnxx 则则),(0 xf 即即f(x)在在x0也连续即有：也连续即有：定理定理9 若若)()(xfxfn上上连连续续也也在在连连续续，则则其其极极限限函函数数在在且且IxfIxfnn)()(,Ix 定理定理9的逆否命题：的逆否命题：若各项连续的若各项连续的fn(x)，其极限函数，其极限函数f(x)在在I上不连续，上不连续，则则.)(f(x)xfnI如如,1,1(,)(xxxfnn .1 ,1,1 ,0)(xxxf其极限函数：其极限函数：在在x=1不连续，不连续，.)(f(x)xfnI所以所以定理定理10 若若)()(xfxfn连续，则连续，则在在且且Ixfnn)(,baIx.)(lim)(limdxxfdxxfnbannnba 证证即极限号与积分号可交换。
即极限号与积分号可交换由定理由定理9知，知，f(x)在在I也连续，也连续，故故 fn,f 均可积)()(xfxfn由由),/(|)()(|,0 abxfxfIxNnNn 有有有有故故,Nn|)()(|)()(|dxxfxfdxxfdxxfbanbaban dxxfxfban|)()(|.)()(abab.)(lim)(lim dxxfdxxfnbannnba 即即证毕dxxfnnba)(lim 定理定理9、10的条件只是充分的：的条件只是充分的：1,0,0 1)(22 x f(x)xnnxxfn,0)(100)(10 dxxfxf连续、可积，且连续、可积，且，在在但但 1022101)(dxxnnxdxxfn而而)1ln(212nn .)(010dxxf 即定理即定理9、10的条件不满足，但结论也可能成立的条件不满足，但结论也可能成立P41.例例1 1/1 ,0/1)2/(1 ,22)2/(10 ,2)(xnnxnxnaanxxnaxfnnnn,0)()(lim,1,0 xfxfxnn时时显然显然|)()(|sup 10 xfxfnx，又又,)21(nnanf)()(xfxfn当且仅当当且仅当.0lim nna,2)(10nadxxfnn 而而0)()(1010 dxxfdxxfn,2)(10nadxxfnn 当且仅当当且仅当.02lim nann则则取取,1 naf(x)xfn )(但定理但定理10的结论成立。
的结论成立则则取取,nan f(x)xfn )(21)(10 dxxfn这时这时不收敛于不收敛于0)(10 dxxf定理定理10的结论不成立的结论不成立说明定理说明定理10的条件是的条件是充分但不必要的充分但不必要的)()(xfxfn当且仅当当且仅当.0lim nna定理定理11（可微性）（可微性）设设 fn(x)为定义在为定义在a,b上的函数列，若上的函数列，若即极限号与求导符号可交换即极限号与求导符号可交换注意：在本定理条件下，可推出注意：在本定理条件下，可推出)()(xfxfn).(lim)(lim ,0 xfdxdxfdxdbafbaffbaxnnnnnnn一致收敛，则上在上有连续的导数，且在的每一项的收敛点，为证证,)(0Axfn设设,)(baxg(x)xfn dttfxfxfbaxxxnnn 0)()()(,0Adttgxx 0)(xxnndttgAxf0)()(lim),(lim)(xfxfnn 记记 xxdttgAxf0)()(则则).()()(0 xgdttgAxfxx ).(lim)(lim xfdxdxfdxdnnnn即在本定理条件下，推出在本定理条件下，推出 )()(xfxfn，xxdttgxfxf0)()()(0|)()()()(|)()(|000 xxnnndttgtfxfxfxfxf xxnndttgtfxfxf0|)()(|)()(|00).()(lim()(xgxfxfnn xxnnndttfxfxf0)()()(0 banndttgtfxfxf|)()(|)()(|00证：证：，由由)()(00 xfxfn,2/|)()(|,0 0011 xfxfNnNn有有由由,)(baxg(x)xfn ,)(2|)()(|,0 22abtgtfbatNnNn有,|)()(|,max,0 21 xfxfbaxNnNNNn有有)()(xfxfn即即证毕。
证毕定理定理11的条件只是充分的：的条件只是充分的：P42.例例2),1ln(21)(22xnnxfn ,1)(22xnnxxfn ,0)(,0)(lim xfxfnn即极限函数即极限函数1,0,0 1)(22 x f(x)xnnxxfn又又 0)(lim xfnn但但.)(xf 即定理即定理11的条件不满足，但结论也可能成立的条件不满足，但结论也可能成立上也连续上也连续则其和函数在，则其和函数在收敛，且每一项都连续收敛，且每一项都连续上一致上一致在区间在区间若函数项级数若函数项级数,)(babaxun 定理定理12 (连续性）连续性）二、一致收敛函数项级数的性质二、一致收敛函数项级数的性质上也连续上也连续则其和函数在，则其和函数在收敛，且每一项都连续收敛，且每一项都连续上内闭一致上内闭一致在区间在区间若函数项级数若函数项级数),(),()(babaxun babannnndxxudxxuxubaxu,)()()(,)(都连续，则都连续，则上一致收敛，且每一项上一致收敛，且每一项在在若函数项级数若函数项级数定理定理13 (逐项求积）逐项求积）).)()(,)()(,)(0 xudxdxudxdbaxuxubaxbaxunnnnn上一致收敛，则上一致收敛，则在在且且的收敛点，的收敛点，为为连续的导函数，连续的导函数，上每一项都有上每一项都有在在若函数项级数若函数项级数定理定理14 (逐项求导）逐项求导）注意注意:级数一致收敛并不能保证可以逐项求导级数一致收敛并不能保证可以逐项求导.例如，级数例如，级数 22222sin22sin1sinnxnxx在任何区间在任何区间,ba上都是一致收敛的上都是一致收敛的.逐项求导后得级数逐项求导后得级数,cos2coscos22 xnxx.,发散的发散的都是都是所以对于任意值所以对于任意值因其一般项不趋于零因其一般项不趋于零x所以原级数不可以逐项求导所以原级数不可以逐项求导例3 证明：函数项级数 上一致收敛，并 讨论其和函数在 上的连续性、可积性与可微性。
2,1 ),ln(11)(223 nxnnxun 1,0)(在xun 1,0例4 证明：函数 在（1，+）上有连续的各阶导函数xnnxu1)(1 作作 业业P44.2,4 5,7 9(1)。