《应用数理统计》吴翊

完整版)《应用数理统计》吴翊_习题解答第一章数理统计的基本概念P26 12设总体x的分布函数为f (x)，密度函数为f (x) , X , X，…，X为X的子样，求最大顺序统计量X与1 2 n (n)最小顺序统计量 X 的分布函数与密度函数1)< x …，X < x} = [F (x)]n °解：F (x)= P{X < x}= P{X < xn i 1f (x)=[F (x)] = n[F(x)]"Tf (x).F (x)= P{X < x}= 1 -p{x >x, X >x,…，X >x}.1 i 1 2 n=1 - P {X > x}P {X > x}…P {X > x}1 2 n=1 -[1 -P{X1 < x}][l-P{X2 < x}]…[1-P{X < x}]=1 -[1 - F (x)]nf (x)=[F (x)] = n[1-F(x)]"-1 f (x) ° 13设总体X服从正态分布n(12,4)，今抽取容量为5的子样X , X，…，X，试问:1 2 5(i) 子样的平均值X大于13的概率为多少？(ii) 子样的极小值(最小顺序统计量)小于10的概率为多少？(iii) 子样的极大值(最大顺序统计量)大于15的概率为多少？解：x 〜N (12,)，n = 5， X 〜N〔12,4I 5丿(i)P & > 13}= 1 — P攵<13}= 1 — PX -12 13 -12=1 -013 -12:/丿=1-0(1.12)= 1 -0.8686 = 0.1314 •(ii)令 X = min {X , X , X , X , X }， X = max {x , X , X , X , X } •min 1 2 3 4 5 max 1 2 3 4 5p{x < 10}=1 - p{x > 10}=1 - p{x > 10, X > 10,…,X > 10}min min 1 2 5=1-n p {x > 10}=1—n [1 - p {x < 10}]=1 - [1 - p {x < 10}]5 •i =1 i =1•••Y = 〜N (0,1)，X-1210-12=PX -12 一〕<<-1222> =P {Y <-1}2P{X < 10}= P<=1 - P{Y < 1}= 1 -0(1) = 1 -0.8413 = 0.1587 •P{x < 10} = 1 -\1 — 0.15871 «1 -0.4215 = 0.5785 -min(iii)P{x > 15}= 1 -P{x < 15} = 1 -P{x < 15, X < 15,…，X < 15}= 1 -H P{x < 15} = 1 -「P{x < 15}]5 -max max 12 5 ii=1P{x > 15}= 1 -0.933195 〜1 -0.7077 = 0.2923 -max1.4 试证：(i) :S(x — a )2 =K(x — X) + n (X — a)对任意实数a成立。

并由此证明当a = X时，K(xi i=1ii)证明：ii i =1 i =1y(x — X)= ^x2 — nX2，其中 X = K£xi i n ii =1 i =1 i =1(i) y (x — a 匕= y(x — x + x — aii)=艺「(x -X) + 2(x -XXX-a)+(X-a) 1a）达到最小i =1 i =1 i =1—X)+ 2 (X — a)y (x — X)+ n (X — a ) = K (x — X)+ 2 (x — a )(nx — nx )+ n (X — a )ii=1=K (Xii i =1 i =1y (-)> (- )= x — x< + n\x — a

5x，2x为正态总体x ~ N（卩,nb2）的样本，令d=丄yix-d，试证ini=1E(d)=D(d)=1-二（兀丿证明：① x ~ N（d b2），则 x - d 〜N（0, b2）.E(d)=Eni=1eIx -』=iyle-2b 2 dy = J+8 ye-2b 2 dy =-8 '兀 b 0且2b 2--ni；b = fb.E (d )=丄丫ni=1② E(x -d)2 =D(x -d)+E2(x -d)=b2・ i i idIx -』=eVx -卩iib)— E2 lx — di.D(d)=D=丄Dn2d =丄• n\-2〕b 2 =I" 1n2l兀丿l兀丿Q 2 oQ211 =丄瓦dIx丿n2 ii=116设总体X服从正态nC，“), X，X，…，X为其子样，X与S2分别为子样均值及方差•又设X与1 2 N N+1X , X，…，X独立同分布，试求统计量Y = X”+1一 X，3 的分布1 2 ” S ” +1解：由于x和X是独立的正态变量,”+1-(b 2)X〜N卩,——，XI ”丿1E(X — X )= E(X )— E(X )* —卩=0 •” +1 ” +1D(X — X)= D(X )+ D(X)= b2 °”+1 ” +1 ”— (” +1 A—X 〜N 0, b 2 °I ”丿”+1〜N(卩，b2),且它们相互独立。

则X”+1X”+1 - 〜N(0,1) °b ' ” +1b2 b2n+1「X — X J n / nS 2T = n+1b n +1 n —1 b 2而壘〜X 2 (” — 1)，且盛与X—X相互独立，m 〜(”-1) •解：…— b 2-X〜N卩,一 ，Y〜N卩1 n -\ "1 丿 \b 2，,—2 ”丿2，X -卩与Y-卩相互独立,121-7 设 T 〜t(n)，求证 T2 〜F (1, ”) •证明：又t分布的定义可知，若u〜N(0,1)，V〜X 2(n)，且U与V相互独立，则T =壬〜t (n)，这时，T 2 =竺，其中，U 2 - X 2 (1)° JVn V.n由F分布的定义可知，T 2 =型~〜F (1, n) •Vn19设x， X，…，X和Y，Y，…，Y分别来自总体N (卩,b 2)和N (卩，b 2),且相互独立，a和p是两个已 1 2 n1 1 2 n2 1 2知常数，试求a(X —片)+卩© — J的分布，|n S2 + n S2 (a2 p2'、n + n — 2 I n n 丿1 2 ' 1 2 7其中S2 =丄为(X — X)， S2 =丄艺(Y -Y)°1 n i 2 n i1 i =1 2 i=1小b 20,一，Y —卩〜N( 、小b 20 —(n丿2I n丿129X — ^ 〜N1卜 )J ( a 2(5 2 R 20 2a \X —卩丿+卩V —卩丿〜N 0, + -—1 2 ( n n12『竺+匪]ll - n2 丿^TST -咒2(n — 1),与算〜咒2(n — 1)，且S2与S2相互独立,5 2 1 5 2 2 1 2n S 2 n S 21 1 + 2 2 〜咒2 In + n — 2/ -52 52 1 2nS2 n S2 /( q屮 1 1 + 2 2 ■ \n + n — 2丿 'l 5 2 5 2 1 2〜 t (n1+ n — 2)，2a(X — J+pC — y )1 2iIn S2 + n S2 "a2 +色] i n n丿、1 2 yP68〜 N (0，1) .〜 t (n + n — 2 ) .12第二章 参数估计(续)2.13设总体X服从几何分布：P{x = k}= p(1 — p)k-1, k = 1,2,., 0< p < 1，证明样本均值X二1工X 是 n ii=1E(X )的相合、无偏和有效估计量。

证明：T总体X服从几何分布, .・.E(X)=丄，D(X)= 口p p 21 ・.・E (X )= Ef 1 工 x :=1E=1 - n -丄=丄=E (X )l ni=1 i 丿ni. ] i 丿i=1n p p样本均值X =1工X是E(X)的无偏估计量nii=12 D (X )= Df 1 工 x :=—D1 1 — p n 1 — p一 ol n i=1 i 丿n2l i=1 i ；n2 p2np2ln f (X ； p) = ln p (1 — p)x1-1 = ln p + (X — l)ln (1 — p)1 L 」 1d ln f (X ； p ) 1 X — 1 1 1 — X1 = — — —1—=—卜 十切 p 1 — p p 1 — pQ 2ln f (X」p ) = — 1 + 1 — X期2 p2 (1 — p)2I(p )=- E1dp 21 * X]-1 p2 (1 - p )2_』 1丄1 - X一-\-齐+百)1 + 1 1 - pp2 (1-p A p——+ E (X —1) — — +p 2 (1 - p )2 1 p 2 (1 - p )21 1 (1 - p )+ p 1 ^+ " p2 (1 - p ) p p2 (1 - p ) p2 (1 - p )V p丿(X )- n - / (p ) 1 - p-n -np2p41p2 (1 - p )1。

样本均值X 是 E(X )的有效估计量.nii-13°证法一：・・・ limD (X)- lim1^ - 0，0 < p < 1.nT8 nT8 np 2.样本均值X -1区X是E(X)的相合估计量 nii-1证法二:=1, D (X )=•.•lim D (X )- lim Ln T8 n T8 n丄-0. 样本均值X 是 E(X )的相合估计量-1(p 丿 n ii-1 证法三：由大数定律知，样本的算术平均值是依概率收敛于总体均值的， 即对于任给 £> 0，有 lim p]X - E(X ) > U- 0.n T8因此，样本均值X-1区X是E(X)的相合估计量nii-1综上所述，样本均值X 是 E(X )的相合、无偏和有效估计量.niIAE 卜E 卜 E 用］E ［X ］九 11 九2 九2 九2.14设总体X服从泊松分布P （九）,X , X，…，X为其子样.试求参数0=九2的无偏估计量的克拉美一1 2 n一劳不等式下界解：0=九2 g （九）=九2 . g '（九）=2九P {x = k }=匕 e—九.k = 01,2,. k!Inf （X ；九）=X In九一InX !—九.1 1 1a ln f （X ；九）X 41 = 4 — 1 .a九 九a 2ln f （X ；九）X...参数0 -九2的无偏估计量的克拉美 劳不等式下界为:[g ‘⑴]2 =（2“ = 4= =—人3 = —0 2。

nI I 九 = 1a九2 九2 n nn祝2.19设总体X服从泊松分布P （九）,九〉0 , X , X，…，X为来自X的一个样本.假设九有先验分布,1 2 n其密度为 h（X）=e—X, X > 00, X<0 '求在平方损失下x的贝叶斯估计量解：X服从泊松分布P（九）=冷e-九,x -1,2,…，nx ! ii九的先验分布密度为h（九）=广八，.0, X< 0给定九，样本的分布列为：x，…,x |X）=nP（x IX）2 n ' ii=1疋 xe - nx九nxe—n九Hx !ii=1x -1,2,…，n； X > 0i, X<0X的后验概率密度为:g(Xlx, x，…，x )=12 ng (x, x，…，x |X)h(X)12 ng (x, x，…，x0 1 2 n|X）h（X）d 九'X> 0X< 0从而在平方损失下， X 的贝叶斯估计为:X = E（Xlx, x，…，x ）1 1 2 n=卜九g (X|0)卜 X g C,x, x，…•, x 丿dX L1 2 n J+8 g vx, x0 1 2+8x |X)h(X)dX沁 x jX)h(X)dX nJ+8X・X空-nX • e-XdX+8 X nxe-nX+8 X nxe -(n+1)x d X00 H xi ! J+8X nx +1e-(n+1)X d X-e-x d XHx !其中，ii=1J+8X nx +1e-(n+1)x d X = — J+80 n +1 0+8 - J +8 e-(n+1)x d X nx+100X nx +1d e-(n+1)xX nx +1e -(n+1)X n +1 -1[0 -(nx + 1)J+8 e-(n+1)xX n；d X] = J+8X n；e-(n+1)X d Xn +1 - 0 」 n +1 0将(**)式代入(＊)式得：nx + 1 J+8X n；e-(n+1)X d X _ ,x )= n+ 1 0 =巴±!,n J+8X n；e-(n+1)X d X n + 10X = E(X | x, x ,（＊*）即为在平方损失下 X 的贝叶斯估计量。

第三章 假设检验P13132 一种元件，要求其使用寿命不得低于 1000（小时）.现在从一批这种元件中随机抽取 25 件，测得其寿 命平均值为950（小时）已知该种元件寿命服从标准差Q = 100 （小时）的正态分布，试在显著水平005 下确定这批元件是否合格解：本题需检验H :卩\卩，H :卩<卩.0 0 1 0:元件寿命服从正态分布，c已知，0当H成立时，选取统计量u = —~生，其拒绝域为V = {u < u }.0 c - Jn a0其中 X = 950 ,卩=1000, n 二 25 , b = 100.00则 u 二 950 -1000 一2.5. 10^/25查表得u =—1.645，得u 卩0 0 1 0:钢索的断裂强度服从正态分布，b已知，0当H成立时，选取统计量u = _比，其拒绝域为V = {u > u }。