2023课标版(文理)数学高考第一轮专题练习选修4-5不等式选讲第7页共7页夯基础考点练透1. ［2020 全国卷II］已知函数 ra)= |x-a2|+ A-2a+l|.(1) 当^2时，求不等式 M ^4的解集：(2) 若/V)彡4,求3的取值范围.2. ［2022南昌市模拟］己知函数 M = \x-a: +尤(1)当5=1时，求不等式f(x) <2的解集：⑵若对任意xeR，都有f(x)多2恒成立，求实数a的取值范围.3. ［2021安徽马鞍山5月三模］已知函数/U) = |2对3 .(1〉解不等式 Ax)+rtx-3)<8;(2)己知关于x的不等式+ 在［-1,1］上有解，求实数a的取值范围.4. ［2021洛阳市三模］己知a，b，c都是正实数.⑴若求⑽⑽的最小值；⑵若 a>b>c,且 a+2/H-3c=l,求证：a2+8Z/+27c2 4.⑵因为 Ax) = |A-a2| + |A-2^1 彡 |a2-2a+l| = (a-l)2,当且仅当(ra) (r2a+l) <0 时等号成立，故当(扩1)2多4, 即丨扩11 >2时，f(x)多4,所以当a^3或 « 时，fix) >4.当-1 ).2. (1)因为 3=1，所以 /(-¥)= X-l +X,当 吋，f(x)=x-l+x=2x-l^2,所以当 K1 时，A-v）=1-a^a=1^2,所以 KI.综上,不等式 M <2的解集为（―,.（2）/U） = |A-a| +x=［2x~a'x - a’X cz,当x^a^,M=2x-a在［a，+~）上单调递增，当众a吋，/tr）=a，（求分段函数的最值时，需要把每一段上的最 值求出，再比较大小） 所以函数/tr）的最小值是a,所以必2,即实数a的取值范围为［2, +~）.3. (1)函数 /'(x)= 2妗3|，则不等式 f(x) +Aa-3)彡8,即 |2a+3| + |2广31 彡8.解法•（零点分段法）|2^3| + |2^3|<8等价于x<~2^ 或 H-x-?或-2x-3-2x + 3< 8 (2% + 3_2x +3< 8pv〉營，12x4-3 4- 2x-3 < 8,解得-2-,2由函数发a）的图象（图略）可得发U）彡0的解集为-2<^2},所以原不等式的解集为U -2彡a<2}.⑵当戌［-1,1］时，不等式f（x） + \^a\彡奸5,即|洵|彡2-义所以|脚|彡2-x在［-1，1］上有解，则名 2-x 在［-1，1］上有解，即-2^a<2-2x 在［-1，1］上有解.又（2-2^）_=2-（-2）=4,所以-2^a<4,所以实数a的取值范围为［-2, 4］.4-⑴.K.•士+解法一 bc+^2^r2-ac^—^2 lac • -^-=2, ac m ac三式相加，可得心加< + »6,:.ab^bc^ac^,当且仅当a=b=c=\时等号成立，（多次用基本不等式时注意它们取等号的条件必须一致〉故当a=b=c=\时，al^bc^ac取最小值3.解法二 ab^bc^sc=^(ab^bc^ac)(吉 + 士 + 士) =|(3+^ + ^ + ^ + ^4-^ +I • ^)=3,当且仅当a=b=c=\吋等号成立，故ab^bc^ac的最小值为3.^^+2JFl+2(2) Va>b>c>0, l) I 2A-1 I .两边同时平方，整理得3/-(2a+4)^l-a2^0.(等式或不等式两边同时平方是去绝对值符号的有效方法之一)易知0, 2是方程3Y-(2a+4)A+l-a2=0的两个根.pQ+4 _ ?所以*解得沪1.ll-a2 = 0,⑵f(x)^\x-2a\^\(x^a)-{x-2ci) | = |3a|，当(A+a) (x~2a) <0吋等号成立.(绝对值三角不等式中等号成立的条件需要注明)因为对任意的xGR.Hx) + A-2a| ^a2-4a恒成立，所以|3a|^a2-4a.(解绝对值不等式时，对绝对值内表达式的正负进行讨论，去掉绝对值符号〉当必0时，3a>a-4a,解得0彡a彡7:当X0时,-3a>a2-4a，此时满足条件的a不存在.综上可得，实数a的取值范围是[0, 7].6. ⑴当 ff(x) ^x~2.(2x~ltx >pf(x)=\ J\l~2x,x <-,画出函数/tr)与〆x)的图象如图D 1所示.令 2a-1=|a-2,解得 a=2,由图D 1知，当K2时，函数f\x)的图象恒在g(x)图象的上方，/.不等式f(x) >g(x)的解集为(-~，2).⑵由^(^2)=5^(a-2)-2,知函数g(x-2)的图象恒过点(2, -2)，当5=0时，结合(1)中Ax)的图象知，的图象恒在Ax)图象的下方，不满足题意： 当 a>0 吋，由 ^(5-2)>/(5),得 15a-2>9,解得 a>^.当X0时，由^(|-2)>A|),得-¥^2>0,解得Xj.(利用函数的单调性将抽象函数不等式转化为具体的不等式求解〉综上所述，实数的取值范围为(-~，-^) U (||，+co).7. (1)解法•(基本不等式法)[G-1) + (_f+1) + U+1)]2=(a-1)2+(7+1)2+(2H4)2+2[Cv-1)(戶1) + (，1) (^-l) + (z+l)1)]彡 3[(rl)2+(，l)2+(z+l)2]，因为政肉=1，所以[(广l) + (r4) + (z+l)]2=4.故(aH)2+(戶•1)2+U4)2g，当且仅当广1=戶1=豺1，即J—z=-^t等号成立.所以(广1)2+(戶1)2+(#1)2的最小值为解法二(柯西不等式法)(rl)2+(川)2+(川)2,也士'叶也2守土恐>(5-1+.了+2+1)2 =音，当且仅当x-\=y¥\=z+\y即尸~|，2F_i时等号成立.所以(rl)2+⑽2+(对I)2的最小值为f(2)解法一(基木不等式法)[(x-2) + (广1) + (^) ]2=(x-2)2+ (r-1)2+ (z-a) 2+2 [ (a-2)(广 1) +(广 1) (z-a) + (z-a) (-r-2)]<3 [(广 2)2+(广 l)2+(ca)2]，故由己知得(广2)2+(广1)2+(^02^^,当且仅当x=^t y=^, 时等号成立.因此Crf)2+(广1)2+(^?)2的最小值为由题设知解得我-3或^-1.解法二(柯囲不等式法)因为(x-2)2+(^l)2+(^)2^,所以[(a-2) 2+ (广 1) 2+ (z~a)2] (12+12+12)彡 1.根据柯西不等式等号成立条件，当x-2=y-\=z-a,即｛ ［(x-2)2+ (广 1)2+ (z-a)2］ (12+12+12) = (x-2+y-l+z-a) 2= (a+2)2 成立.所以(a+2)2^l成立，所以a<-3或a>~l.8. (1)®当^-2时，A^)=y-A-10,函数/U)在(-~，-2］上单调递减，此时函数/U)的值域为［-4, +~);② 当-20, Z?>0,当且仅当^=777,即^5,垆3时等号成立.。