高考数学三轮复习冲刺模拟试题13导数的应用一、选择题1．过点(0，1)且与曲线y＝在点(3，2)处的切线垂直的直线的方程为( )A．2x－y＋1＝0 B．2x＋y－1＝0C．x＋2y－2＝0 D．x－2y＋2＝0解析：因为y＝＝1＋，所以y′＝－，从而可知函数在x＝3处的导数值为－，故所求的直线的斜率是2，直线方程为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0.答案：A2．已知g(x)为三次函数f(x)＝x3＋ax2＋cx的导函数，则函数g(x)与f(x)的图象可能是( )解析：因为f′(x)＝ax2＋2ax＋c，所以函数f′(x)的对称轴为x＝－1，故可排除B，C；由A中f′(x)的图象知c＝0，所以f(x)＝x3＋ax2＝x2(x＋a)，因此三次函数f(x)＝x3＋ax2＋cx只有两个零点，而图象A中f(x)的图象与x轴有三个交点，故排除A.应选D.答案：D3．函数y＝x2－ln x的单调递减区间为( )A．(－1，1] B．(0，1]C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)解析：由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由y′＝x－≤0，解得00)，∴f′(x)＝－＋.由f′(x)＝0解得x＝2.当x∈(0，2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．∴x＝2为f(x)的极小值点．答案：D5．已知a≤＋ln x对任意x∈[，2]恒成立，则a的最大值为( )A．0 B．1C．2 D．3解析：设f(x)＝＋ln x，则f′(x)＝＋＝.当x∈[，1)时，f′(x)<0，故函数f(x)在[，1)上单调递减；当x∈(1，2]时，f′(x)>0，故函数f(x)在(1，2]上单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝0，∴a≤0，即a的最大值为0.答案：A二、填空题6．如果曲线y＝x4－x在点P处的切线垂直于直线y＝－x，那么点P的坐标为________．解析：由y′＝4x3－1，得当y′＝3时，有4x3－1＝3，可解得x＝1，此时P点的坐标为(1，0)答案：(1，0)7．设函数f(x)＝x(ex－1)－x2，则函数f(x)的单调增区间为________．解析：因为f(x)＝x(ex－1)－x2，所以f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．令f′(x)>0，即(ex－1)(x＋1)>0，解得x∈(－∞，－1)或x∈(0，＋∞)．所以函数f(x)的单调增区间为(－∞，－1]和[0，＋∞)．答案：(－∞，－1]和[0，＋∞)8．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示，则下列说法中不正确的是________．①当x＝时函数取得极小值；②f(x)有两个极值点；③当x＝2时函数取得极小值；④当x＝1时函数取得极大值．解析：从图象上可以看到：当x∈(0，1)时，f′(x)>0；当x∈(1，2)时，f′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)有两个极值点1和2，且当x＝2时函数取得极小值，当x＝1时函数取得极大值．只有①不正确．答案：①三、解答题9．已知函数f(x)＝ln(ex＋a)(a为常数)是R上的奇函数．(1)求a的值；(2)讨论函数y＝－x2＋2ex－m的零点的个数．解析：(1)因为f(x)＝ln(ex＋a)是奇函数，所以ln(e－x＋a)＝－ln(ex＋a)，所以(e－x＋a)(ex＋a)＝1，所以a(ex＋e－x＋a)＝0，所以a＝0.(2)由已知得＝＝x2－2ex＋m，令f1(x)＝，f2(x)＝x2－2ex＋m，因为f1′(x)＝，当x∈(0，e)时，f1′(x)>0，所以f1′(x)在(0，e]上为增函数；当x∈[e，＋∞)时，f1′(x)≤0，所以f1(x)在[e，＋∞)上为减函数．所以当x＝e时，[f1(x)]max＝f1(e)＝，而f2(x)＝(x－e)2＋m－e2，所以当m－e2>，即m>e2＋时，所求函数零点的个数为0；当m－e2＝，即m＝e2＋时，所求函数零点的个数为1；当m－e2<，即m0，所以f(x)在(1，＋∞)上是增函数．(2)f′(x)＝(x>0)，当x∈[1，e]时，2x2－a∈[2－a，2e2－a]．若a≤2，则当x∈[1，e]时，f′(x)≥0，所以f(x)在[1，e]上是增函数，又f(1)＝1，故函数f(x)在[1，e]上的最小值为1.若a≥2e2，则当x∈[1，e]时，f′(x)≤0，所以f(x)在[1，e]上是减函数，又f(e)＝e2－a，所以f(x)在[1，e]上的最小值为e2－a.若20，此时f(x)是增函数．又f( )＝－ln ，所以f(x)在[1，e]上的最小值为－ln .综上可知，当a≤2时，f(x)在[1，e]上的最小值为1；当2n.则原不等式等价于<，即ln >，即ln －>0.设h(x)＝ln x－，这个函数即为a＝2时的函数f(x)，由(1)知这个函数在(1，＋∞)上是单调增函数，又>1，所以h()>h(1)＝0，所以ln －>0，所以<.。
