第一章勾股定理1、勾股定理定义：直角三角形的两直角边长的平方和等于斜边的平方如果用a, b和c分 别表示直角三角形的两直角边稱边，那么a2+b2=c2.勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边2. 勾股定理定义的应用：(1)已知直角三角形的两边求第三边(在 AABC中，ZC = 90则c =xa2 + b2 ,b = \：c2 一a2 , a = \c2 一b2 )(2) 已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边(3) 利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题例.在 RtA ABC 中，ZC=901) 若 a=5，b=12,则 c= ；(2) b=8, c=17，则 ABC= 3. 勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4S + S = S ，4 x - ab + (b - a) = c2，化简A 正方形EFGH 正方形ABCD 2可证方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S = 4 x— ab + c 2 = 2ab + c 22大正方形面积为S = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 所以a2 + b2 = c24. 勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
5.勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数叫做勾股数(注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka, kb, kc同样也是勾股数组常见勾股数：3,4,5； 6,8, 10； 9,12,15； 5,12,137 24 25 , 8 15 17注:勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过'数转 化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：(1) 首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；(2) 验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若C2=a2+b2，贝仏ABC是以NC为直角的直角三角形若C2>a2+b2,贝仏ABC是以NC为钝角的钝角三角形；若C2
例：有一圆柱形食品盒，它的高等于16cm，底面直径为20cm,蚂蚁爬行的速度为2cm/s.如 果在盒外下底面的A处有一只蚂蚁，它想吃到盒外对面中部点B处的食物，那么它至少需要多少时间？(结果保留n)(2)平面图形中的长短问题在求平面图形中某条线段的长时，可以通过设未知数，构建方程求解例•如图，矩形纸片ABCD的长AD=9 cm,宽AB=3 cm,将其折叠，使点D与点B重合，那么折 叠后DE的长是多少？练习(一) 判断三角形:1.已知A ABC的三边a、b、c满足(a - b)2 + (b — c)2二0，则A ABC为 三角形2. 在 A ABC 中，若 a 2= ( b + c ) ( b - c ),则 A ABC 是 三角形，且/ 90°3. 在 A ABC 中，AB=13，AC=15，高 AD=12,则 BC 的长为 4. 已知*a — 6 + 2b — 8 + (c —10)2 = 0,则以a、b、c为边的三角形是 5. 已知|x —12| + |x + y — 25|与z 2 —10 z + 25互为相反数，试判断以x、y、z为三边的三 角形的形状6•已知：在 A ABC 中，三条边长分别为 a、b、c，a = n2 — 1，b =2 n，c = n2 +1( n >1) 试说明：Z C= 90°。
7.若 A ABC 的三边 a、b、c 满足条件 a 2 + b2 + c2 + 338 = 10a + 24b + 26c，试判断 A ABC的形状二) 、实际应用：1. 梯子滑动问题：(1) 一架长2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m (如图)，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动 米(2) 如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米,如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 1米，(填“大于”，“等于”，或“小于”)(3) 如图，梯子AB斜靠在墙面上，AC丄BC，AC=BC，当梯子的顶端A沿AC方向下滑x米时，梯足B沿CB方向滑动y米，则x与y的大小关系是( )A. x 二 y B. x > y C. x < y D.不能确定(4) 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多1 m,当他把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为 米2.爬行距离最短问题:1.如图，一块砖宽AN=5 cm,长ND=10 cm, CD上的点F距地面的高FD=8 cm,地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，要爬行的最短路线 cm2. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm , A和B 是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程 分米?3. 如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从点A爬到点B，则它走过的路程最短为（ ）A. <3a B. 1 + J2）a C. 3a D^ 5aA 20Q（三）求边长:1.(1)在 Rt NABC 中,a、b、c 分别是 Z a、Z b、Z c的对边，Z c=90°①已知：a =6, c =10,求b ；②已知：a =40, b =9，求c ；2.如图所示，在四边形 ABCD 中，ZBAD=90° , ZDBC=90° , AD=3, AB=4, BC=12，求CD。
四）方向问题:1.有一次，小明坐着轮船由A点出发沿正东方向AN航行，在A点望湖中小岛M,测得ZMAN=30°,当他到B点时，测得ZMBN=45°, AB = 100米，你能算出AM的长吗？2•—轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km, 米.⑴ 此时轮船离开出发点多少km?⑵ 若轮船每航行1km,需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?（五）利用三角形面积相等:1.如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个得到，可得△ ABC，则边AC上的高为（）3 k 3 丘 3 三 4 wA. 2 B. 5 C. 5 D. 52 10 5 5（六）折叠问题:1.如图，在长方形ABCD中，将A ABC沿AC对折至A AEC位置，CE与AD交于点F1）试说明：AF=FC； （2）如果 AB=3，BC=4，求 AF 的长2.如图，在长方形ABCD中，DC=5，在DC边上存在一点E,沿直线AE把厶ABC折叠, 使点D恰好在BC边上，设此点为卩，若厶ABF的面积为30,求折叠的AAED的面积3•如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6 cm, BC=8 cm,现将直角边AC沿直线 AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？4.如图，ZB=90°, AB=BC=4，AD=2，CD=6("△ACD是什么三角形？为什么？(2)把厶ACD沿直线AC向下翻折，CD交AB于点E,若重叠部分面积为4,求D'E的长。