第10章,结构动力计算基础,10-1 动力计算概述,一、 结构动力计算的特点 动（力）荷载与静（力）荷载: 静荷载：大小、方向、作用位置不随时间变化的荷载 动荷载：大小、方向、作用位置随时间变化的荷载结构将发生振动) 注意：多数实际荷载并不是静荷载；不能忽略惯性力影响时，则应看成是动荷载 动力计算与静力计算的区别:,根据达朗伯原理，动力计算可化为静力平衡问题来处理 这是一种形式上的平衡，是一种动平衡，是在引进惯性力的条件下的平衡 注意两个特点：（1）力系中要包括惯性力； （2）是瞬间的平衡，荷载、位移、内力等都是时间的函数二、动力荷载的分类,第一类周期荷载 ：荷载随时间作周期性的变化t,,,,P,非简谐性的周期荷载,简谐荷载：是时间t 的正弦或余弦函数,简谐荷载是典型的 周期荷载机器转 动部分引起的荷载 属于简谐荷载,各种爆炸荷载属于这一类,第二类冲击荷载：荷载在很短的时间内急剧增大或减小地震荷载和风荷载是随机荷载的典型例子,第三类随机荷载：荷载在将来任一时刻的数值 无法事先确定某次地震波时程,三、动力计算中体系的自由度,在动力计算中，一个体系的自由度是指为了确定运动过程中任一时刻全部质量的位置所需要的独立几何参数的数目。
实际结构都可说具有无限个自由度 常用的简化自由度方法 集中质量法： 即 把连续分布的质量集中为几个质点这样就可以把一个原来是无限自由度的问题简化成为有限自由度的问题举例）,,,m,mm梁,m,+m梁,,,,,,,,,,I,I,2I,m,+m柱,厂房排架水平振时的计算简图,,,,水平振动时的计算体系,质点体系自由度的几种情况,a 梁式杆（不计轴变）,自由度为1,自由度为2,自由度为1,自由度为2,自由度与质点体 系的数目无关,c 考虑轴变的桁架杆,b 弹簧支撑:,自由度为2,自由度为2,弹簧和桁架杆不影 响体系的自由度,例题：确定体系的自由度,m1,m2,m3,自由度为1,自由度为3,自由度为2,自由度为4,10-2 单自由度体系的自由振动,达朗伯原理 dAlemberts principle,,,ky(t),,y(t),k,弹性力,与位移方向相反； 惯性力,与加速度方向相反FP(t),,,,,,FP(t),必须明确的是,由牛顿第二定律得:,整理得:,体系在动荷载、弹性力和惯性力的共同作用下处于动态平衡一、自由振动微分方程的建立,自由振动：由初始干扰 即初始位移或初始速度，或初始位移和初始速度共同作用下所引起的振动。
振动模型（无阻尼）：,刚度法：体系在惯性力作用下处于动态平衡柔度法: 质体的动位移等于质体在惯性力作用下的静位移柔度系数,单位力作用下的位移,由刚度系数和柔度系数互为倒数可知，两种方法建立的振动微分方程是等价的对于超静定结构，刚度系数容易确定，常用刚度法； 对于静定结构，柔度系数容易确定，常用柔度法重力对动力位移的影响,,,,,,,yG,yd,重力对动力位移没有影响，体系在静力平衡位置做振动.,二、自由振动微分方程的解,二阶线性齐次微分方程,初始条件,通解,动力位移,,振动是由两部分所组成： 一部分是单独由初始位移y0 （没有初始速度）引起的， 质点按 规律振动;,另一部分单独由初始速度v0（没有初始位移）引起的，质点按 规律振动总动力位移,将,改写为,初始相位角,振幅,三、自振频率和周期,周期,频率,圆频率 (角频率),完成一次振动需要的时间,单位时间内完成振动的次数,2个单位时间内完成振动 的次数,先明确几个定义,计算公式的几种形式,自振周期的特性,（1）自振周期只与体系的质量和刚度有关，与外界因素无关2）自振周期与质量的平方根成正比，与刚度的平方根成反比3）自振周期相近的体系，动力性能基本一致。
例1：列振动方程，求自振周期和频率解,(1)超静定刚架，采用刚度法,(2)画质体发生单位位移时的弯矩图3)取隔离体，列平衡方程，求刚度系数,(4),EA=,,体系,,,,,,EI,EI,EI,EI,l,l,m,解,(3),(2) 建立振动方程,(1),例2: 建立图示体系的振动方程,求体系的自振频率和周期,例3: 求图示伸臂梁体系的自振远频率和周期,解,(1)静定梁，采用柔度法,(2)画质体单位力下的弯矩图3)弯矩图自乘，求柔度系数4),例4：求自振周期和频率解：,例5： 列振动方程，求自振频率产生单位转角位移需要的力偶,转动惯量,A,,,注：具有共同的自由度时，各质点的质量或转动惯量才能相加例6 ： 求自振频率四、阻尼对自由振动的影响,考虑阻尼力必要：按照无阻尼的理论自由振动将是按照周期函数的规律进行不停的振动；实际结构的振动将在阻尼力作用下逐渐衰减 阻尼存在：振动周围介质（空气、液体）的阻力 ，支承部分的摩擦、材料内部的摩擦等 阻尼力性质：对质点运动起阻碍作用从方向上看，它总是与质点的速度方向相反从数值上看，阻尼力与质点速度成正比（Voigt假定），称粘滞阻尼力粘滞阻尼理论：阻尼力与速度成正比，与速度方向相反。
阻尼系数，N/m/s,令,引入初始条件,没有周期性因子,,前两种情况下的动位移具有衰减的性质,不具有波动的性质.,阻尼过大,由于外界干扰积聚的能量均用于消耗阻尼,没有多余的能量再引起的振动,初始条件,低阻尼振动是一个衰减的周期运动,衰减函数,周期函数,阻尼对自振特性的影响,影响小,可以忽略,阻尼对振幅的影响,阻尼越大,衰减速度越快,相隔一个周期的振幅比值不变,,,,振幅的对数衰减率,,若两个振幅相隔n个周期，则,通过实测振幅,可以测定阻尼比,【例1】,解：,取整数n=5，经过5个周期（1.5s)以后，振幅可降到初始位移的5%以下例2】,在横梁处加98kN，刚架发生的侧移0.5cm突然释放，结构做自由振动测得周期为1.5s，一个周期后横梁的侧移为0.4m求：质体的质量、对数衰减率、阻尼比和阻尼系数、5周后的振幅.,解：,质体的质量m,对数衰减率,阻尼比和阻尼系数,5周后的振幅,10-3 单自由度体系的受迫振动,受迫振动（强迫振动）：结构在动力荷载作用下的振动刚度法 ：体系在主动力、约束力、惯性力作用下处于动态平衡柔度法：体系在主动力、惯性力作用下产生的位移等于实际位移一、单自由度体系受迫振动微分方程的建立,建立图示体系的受迫振动方程,解,刚度法,柔度法,质体动位移以向下为正,建立图示体系的受迫振动方程，各杆EA相同,P(t),,建立图示体系的受迫振动方程，各杆EI相同,二、简谐荷载作用下结构的动力反应,二阶常系数非齐次方程,齐次通解,非齐次特解,特解代入方程,得,非齐次通解,零初始条件,考虑稳态振动,动力系数,最大动位移（振幅）为：,,,,最大静位移,增加,增加,共振,增加,降低,动力系数的讨论,（刚性方案）,（柔性方案）,增大刚度,减小刚度,,,减小振幅的方法,,,减小,,减小,,,增大,,减小,非齐次特解,代入方程，得,故,分母为零失效,令非齐次特解,,共振时动力位移会突然增大吗?,非齐次通解,零初始条件,共振时，位移是随时间逐渐增大。
时间越短，位移越小；对于转速高的机器，在启动或停车的过程中，应迅速通过共振区利用共振振幅突出大的特点，不断改变机器的转速，可以测定自振频率三者同时达到最大值 为负数时，位移和惯性力与动荷载方向相反惯性力与位移总是同向动荷载、动位移、惯性力三者的关系,例1,试求刚架在动荷载作用下的质体振幅和柱端剪力和弯矩幅值解,（1）质体振幅,（2）柱端剪力和弯矩,在挑梁上有一电动机，扰力,的幅值为 F=4.9kg，转数为n=1200转/分，质量为m=123kg梁截面转动惯量为I=78cm4，弹性模量为E=2.1106kg/cm2，长为l=1m试求梁端最大动位移和动弯矩图解,（1）自振圆频率,例2,（2）频率比,（3）静位移和动力系数,（4）梁端最大动位移,,（5）固定端最大动弯矩,动内力是动荷载和惯性 力共同作用下产生的.,惯性力幅值,动荷载幅值,,问：梁的最大(小)弯矩？？,注意：最大(小)动弯矩与最大(小)弯矩的区别 前者表示在动荷载作用下的最大弯矩，后者表示在动荷载和质量块重量作用下的弯矩最小弯矩幅值图,最大弯矩幅值图,动力微分方程为,刚度法(当力不作用在质点上时的处理),等效动荷载,当荷载不作用在质体上时,只需求出等效动荷载写在等号右侧即可，用等效动荷载幅值求出最大静位移。
m,,,,,,2a,2a,a,已知: ，EI=常数试求：质体振幅和动弯矩幅值图解（1）质体振幅,（2）动弯矩幅值图,例3(注：力不作用在质点上),,m,,,l/2,已知:EI=常数试求：质体和梁两端转角的位移幅值解（1）质体振幅,l/2,,例4,（2）两端的转角位移振幅,力不作用在质点上时，体系没有统一的动力系数,三、 一般荷载作用下结构的动力反应将动荷载分成一系列瞬时冲量2）质体以这个速度作为初速度,开始 作自由振动t时刻的动位移为,（3）将时刻t之前的每一个瞬时冲量的反应进行叠加,（1）突加荷载,（2）短时荷载,（3）线性渐增荷载, 1< <2；,如果升载时间很短( tr < T/4)， 接近2，相当于突加荷载；,如果升载时间很长( tr 4T)， 接近1，相当于静荷载四、阻尼对简谐荷载下受迫振动的影响,振动方程,通解,非齐次特解,代入方程,齐次通解,按自振频率振动（瞬态振动），由于阻尼的作用，很快消失,按荷载频率振动（稳态振动）,,,只考虑稳态振动,写成单项式,振幅,相位差,（1） / 对的影响,/ <<1时，1，F(t) 可作为静力荷载F处理/ 1时， 0， 做极微小的振动，动位移 0 。
/ =1的附近，阻尼对影响明显 大、小0.75< / <1.3共振区,阻尼大大减小了受迫振动的位移，因此, 为了研究共振时的动力反映, 阻尼的影响是不容忽略 共振区以外阻尼对的影响较小，按无阻尼计算 的最大值并不发生在/ =1处由于比较小，实际中取,（2） / 对的影响, 位移与动荷载同步 最大位移处，动荷载与弹性 力平衡讨论三个典型情况, 与弹性力相比,阻尼力和惯性 力都很小动荷载的作用相当于静载, 动荷载振动很慢 位移滞后动荷载900 动荷载与阻尼力平衡共振时,增大阻尼,可以降低位移, 位移与动荷载反向,滞后1800 与惯性力相比,弹性力与阻尼 力很小 动荷载振动很快 动荷载与惯性力平衡机器工作转速n=800转/分，动载幅值P=3T，地基刚度k=134103T/m，机器同基础重量为Q=156T，阻尼比=0.2求振幅a解,【例】,小 结,受迫振动的中心问题是确定质量的最大动位移和结构的最大动内力（包括结构自振频率及其影响） 结构在一般动力荷载作用下的特解，可用冲量法来推导，得到杜哈梅积分解答 简谐荷载是最常见也是最简单的动力荷载，要熟练掌握其动力响应的计算方法区分动荷载和惯性力作用点及作用线都相同（内力和位移的动力系数一致），以及动荷载不全作用于质量上(系数不一)。