第13讲 抽象函数 1．(2017年江西南昌二模)已知函数f(x)＝sin x－x，则不等式f(x＋2)＋f(1－2x)<0的解集是( )A. B.C．(3，＋∞) D．(－∞，3)2．下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是( )A．f(x)＝x3 B．f(x)＝3xC．f(x)＝x D．f(x)＝x3．已知函数f(x)满足：f(1)＝2，f(x＋1)＝，则f(2015)＝( )A．2 B．－3 C．－ D.4．给出下列三个等式：f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(x＋y)＝f(x)f(y)，f(x＋y)＝.下列函数中，不满足其中任何一个等式的是( )A．f(x)＝3x B．f(x)＝sin xC．f(x)＝log2x D．f(x)＝tan x5．已知奇函数y＝f(x)的导函数f′(x)<0在R上恒成立，且x，y满足不等式f(x2－2x)＋f(y2－2y)≥0，则x2＋y2的取值范围是( )A．[0,2 ] B．[0,2] C．[1,2] D．[0,8]6．定义在R上的函数y＝f(x)满足f(3－x)＝f(x)，f′(x)<0，若x13，则( )A．f(x1)>f(x2) B．f(x1)1时，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)<－2.10．设f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，且对任意a，b∈[－1,1]，当a＋b≠0时，都有>0.(1)若a>b，比较f(a)与f(b)的大小；(2)解不等式f2x－1⇒x<3.故选D.2．B 解析：由f(x＋y)＝(x＋y)3，f(x)f(y)＝x3·y3＝(xy)3，得f(x＋y)≠f(x)f(y)，所以A错误；由f(x＋y)＝3x＋y，f(x)f(y)＝3x·3y＝3x＋y，得f(x＋y)＝f(x)f(y)．又函数f(x)＝3x是定义在R上的增函数．故选B.3．C 解析：方法一，由条件知，f(2)＝－3，f(3)＝－，f(4)＝，f(5)＝f(1)＝2，故f(x＋4)＝f(x)(x∈N*)．∴f(x)的周期为4，故f(2015)＝f(3)＝－.方法二，严格推证如下：f(x＋2)＝＝－，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝f(x)，即f(x)的周期为4.故f(4k＋x)＝f(x)(k∈N*)，即f(2015)＝f(3)＝－.4．B 解析：选项A，函数满足f(x＋y)＝f(x)f(y)；选项C，函数满足f(xy)＝f(x)＋f(y)；选项D，函数满足f(x＋y)＝.5．D 解析：因为函数y＝f(x)为奇函数，所以f(x2－2x)≥f(2y－y2)．由函数y＝f(x)的导函数f′(x)<0在R上恒成立，知函数y＝f(x)在R上为减函数，所以x2－2x≤2y－y2，即(x－1)2＋(y－1)2≤2.故的最小值为0，最大值为直径2 .从而x2＋y2的最小值为0，最大值为直径的平方8.6．A 解析：由f(3－x)＝f(x)知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．因为f′(x)<0，所以当x<时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减．因为x13，即>，所以可知x1距离对称轴x＝较近．故选A.7．2 解析：设h(x)＝f(x－1)＋x2.由h(x)＝f(x－1)＋x2为奇函数，得h(－x)＝－h(x)，即f(－x－1)＋x2＝－f(x－1)－x2，所以f(－x－1)＝－f(x－1)－2x2.由g(x)＝1－f(x＋1)，得g(－3)＝1－f(－2)＝1－[－f(1－1)－2×12]＝1＋f(0)＋2，又f(0)＝－1，所以g(－3)＝2.8. 解析：f(－x)＝－x3＋2x＋e－x－＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．因为f′(x)＝3x2－2＋ex＋e－x≥3x2－2＋2＝3x2≥0，所以函数f(x)是增函数．又f(a－1)＋f(2a2)≤0，即f(a－1)≤－f(2a2)＝f(－2a2)．所以a－1≤－2a2,2a2＋a－1≤0.解得－1≤a≤.9．解：(1)令x1＝x2>0，代入，得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0.故f(1)＝0.(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1.由于当x>1时，f(x)<0，∴f<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)0时，由f(|x|)<－2，得f(x)9；当x<0时，由f(|x|)<－2，得f(－x)9，即x<－9.因此不等式的解集为{x|x>9，或x<－9}．10．解：设－1≤x10.∵x1－x2<0，∴f(x1)＋f(－x2)<0.∴f(x1)<－f(－x2)．又f(x)是奇函数，∴f(－x2)＝－f(x2)．∴f(x1)b，∴f(a)>f(b)．(2)由f1＋c2.解得c>2，或c<－1.∴c的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．。
