第三章第三章 跳跃随机过程跳跃随机过程 本章主要内容本章主要内容泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质泊松过程的泊松过程的0-1律律复合泊松过程过程复合泊松过程过程一一 泊松过程的基本性质泊松过程的基本性质1 计数过程计数过程计数过程 称实随机过程Nc(t),t0是计数过程，如果Nc(t)表示直到t时刻为止发生的某随机事件数性质 Nc(t)是非负整数 ,()0ct Nt0,()()ccst NtNs 0,()()ccst NtNs 表示时间间隔t-s内发生的随机事件数实例1.交换台的呼叫次数2.放射性裂变的质点数3.发生故障而不能工作的机器数4.通过交通路口的车辆数5.来到某服务窗口的顾客数.以上实例中的呼叫,质点,机器,车辆,顾客等也统一叫做随机点计数过程的另一种表示1,)0()0nnctT TnNnItt计数过程的轨道性质(a)零初值性，状态空间是0及自然数(b)样本轨道是单调不减，右连续(c)轨道间断点跳跃的高度永远是1复习泊松过程复习泊松过程 定义定义Poisson过程过程 T=R+，S=N*若随机过程若随机过程 N(t),t0 满足满足().0)0Na0,()()()(.()st N tN stsb 1122101012()2,0,.()(),()(),()(),().)nnnnnN tN tN tcnttttN tN tN tN tN tr v s 相互相互独立独立的随机变量序列的随机变量序列称称N(t)是参数为是参数为 的的Poisson过程过程.定理 设 N(t),t0 是参数为 的Poisson 过程，则21)(),0,(),0,(,)min(,),0(,)min(,),0NNNNmtt tDtt tRs tsts t s tCs ts t s t0,()poissonst N tt 对服从参数为的分布)2Poisson过程的到达时间与到达时间间隔分布设 N(t),t0 是参数为 的Poisson过程，则N(t)表示时间区间0,t)内到达的随机点数.到达时间(序列)iT令表示第i个随机点的到达时刻,则称,1,2,nT n 为Poisson过程的到达时间序列.到达时间间隔(序列)1nnnTT令它表示第n-1个随机点与第n个随机点的到达时间间隔,则称,1,2,nn为Poisson过程的到达时间间隔(序列)显然有12nnT,2,1n1T2T3T1nTnT1n0t21nnnTT计数过程的另一种表示1,)0()0nnctT TnNnItt给出上述定义以后，我们自然需要回答下列问题(1):关于Poisson过程中的这两个序列的概率分布,(2):计数过程与泊松过程的关系，有以下结论引理引理 (到达时间序列分布)设N(t),t0 是参数为的Poisson过程,则其到达时间,1,2,nT n 1(),0()(1)!0,0nntTtetftnt服从分布,密度为证明证明的分布函数,0时tnT()0nTFt 时0t()nTnFtP Tt)(ntNPtnT第n个随机点的到达时刻tnkkekt!)(再求导数1()()()!nkkttTk nk ntktfteekk)!1()()!1()(!)(11nteektektnttnkknktk1(),0()(1)!0,0nntTtetftnt所以到达时间序列的密度函数为本题目还可以用特征函数证明.定理定理4.1.1 如果计数过程如果计数过程Nc(t)的到达时间间隔的到达时间间隔 是独立同分布于参数为是独立同分布于参数为 的指数分布，则计数过程的指数分布，则计数过程Nc(t)一定是一个参数为一定是一个参数为 的泊松过程的泊松过程.,1,2,nn00分析分析：要证明该定理只需要证明泊松定义中的第二：要证明该定理只需要证明泊松定义中的第二第三条满足即可第三条满足即可.证明：证明：由引例知由引例知(,)nTn故其概率密度函数为故其概率密度函数为1()0(1)!nnnxTfxxexn于是于是1()()()cnnnnnP NtnP TtTP TtT ()nyTDfxedxdy其中其中(,):,(0,),(0,)Dx yxtxy xy()!ntten以上证明了以上证明了Nc(t)服从参数为服从参数为的泊松分布，下证平稳的泊松分布，下证平稳的独立增量性的独立增量性.即对于任意的即对于任意的0s0,从从B口进入口进入A教室的教室的学生数为学生数为NB(t),从从C口进入口进入A教室的学生数为教室的学生数为NC(t)，假设假设NB(t)和和NC(t)是两个分别服从参数为是两个分别服从参数为 和和 的的 独立的泊松过程。
试讨论下面三个实际问题：独立的泊松过程试讨论下面三个实际问题：问题问题1 在一个固定的在一个固定的3分钟内没有学生进入分钟内没有学生进入A教室的教室的 概率有多大？概率有多大？问题问题2 学生到达学生到达A教室的时间间隔的均值是多大？教室的时间间隔的均值是多大？问题问题3 已知一个学生进入了已知一个学生进入了A教室，那么他（她）是教室，那么他（她）是从从C口进入的概率有多大？口进入的概率有多大？B=0.5C=1.5。