命题命题命题的形式与等价关系命题的形式与等价关系思考思考：根据初中已学，判断下列语句是否为命题根据初中已学，判断下列语句是否为命题（1）这个数的个位数是）这个数的个位数是5；（2）这个数能被）这个数能被5整除；整除；（3）如果这个数的个位数是）如果这个数的个位数是5，那么这个数能被，那么这个数能被5整除；整除；（4）如果这个数能被）如果这个数能被5整除，那么这个数的个位数是整除，那么这个数的个位数是5；（一）命题的概念(1)命题命题：可判断可判断真假的语句叫命题真假的语句叫命题(proposition)(proposition)，一般一般用陈述句用陈述句(2)真命题真命题：即正确的命题(3)假命题假命题：即错误的命题判断命题的真假应写“真命题、假命题真命题、假命题”，而不写“正确、错误”判断下列语句中判断下列语句中数学命题数学命题的真假，的真假，并说明理由并说明理由 （1）这个数的个位数是）这个数的个位数是5；（2）这个数能被）这个数能被5整除；整除；（3）如果这个数的个位数是）如果这个数的个位数是5，那么这个数能被，那么这个数能被5整除；整除；（4）如果这个数能被）如果这个数能被5整除，那么这个数的个位数是整除，那么这个数的个位数是5；数学中常见命题由数学中常见命题由条件条件和和结论结论组成，关注的是组成，关注的是两个简单两个简单命题间的逻辑命题间的逻辑关系关系题设成立时结论也成立题设成立时结论也成立直接或间接的推理证明直接或间接的推理证明题设成立时结论不成立题设成立时结论不成立举反例举反例（5）作业要按规范做，书写端正）作业要按规范做，书写端正；（6）mx+2=0是一元二次方程；是一元二次方程；(二二)推出关系推出关系1 1、推出关系：若命题、推出关系：若命题成立可以推出命题成立可以推出命题也成立，则就说也成立，则就说由由可以推出可以推出，记作，记作读作读作“推出推出”由条件由条件可以推出结论可以推出结论成立，记作成立，记作由条件由条件不能推出结论不能推出结论成立，记作成立，记作说明：说明：表示表示为条件，为条件，为结论的命题是真命题为结论的命题是真命题表示表示为条件，为条件，为结论的命题是假命题为结论的命题是假命题2 2、与与等价：等价：叫做叫做与与等价等价3 3、推出关系的传递性：、推出关系的传递性：如果如果，那么，那么列举其他具有列举其他具有传递性的符号传递性的符号推理证明就是传递性的应用推理证明就是传递性的应用练习练习(1):y=kx+b图像过一、二、三象限 :k0,b0从集合的角度讲：从集合的角度讲：，就是：，就是：这两个命题什么关系？这两个命题什么关系？命题的形式原命题原命题原命题的原命题的逆命题。逆命题。逆命题逆命题 交换原命题的条件和结论，所得的命题叫做交换原命题的条件和结论，所得的命题叫做 若若，则则若若，则则 把把原原命命题题的的条条件件和和结结论论都都换换成成它它们们的的否否定定形式形式，所得到的命题是原命题的，所得到的命题是原命题的_ 把把原原命命题题的的结结论论的的否否定定作作条条件件，把把条条件件的的否否定定作作结结论论，所所得得到到的的命命题题是是原原命命题题的的_ 否命题。否命题。逆否命题。逆否命题。例：如果例：如果x+y0,那么那么x，y都为正都为正.原命题的否定形式原命题的否定形式原命题：原命题：如果两个数都是整数，如果两个数都是整数，那么这两个数的和为整数那么这两个数的和为整数四四种命题种命题形式的关系形式的关系命题：命题：两个整数的和是整数两个整数的和是整数条件：条件：如果如果两个数都是整数两个数都是整数结论：结论：那么那么这两个数的和是整数这两个数的和是整数逆命题：逆命题：如果两个数的和为整数如果两个数的和为整数那么这两个数都是整数那么这两个数都是整数否命题：否命题：如果两个数如果两个数不都是不都是整数整数那么这两个数的和不为整数那么这两个数的和不为整数逆否命题：逆否命题：如果两个数的和不为整数如果两个数的和不为整数那么这两个数那么这两个数不都是不都是整数整数互否互否互逆互逆互逆否注：注：三种命题中最难写三种命题中最难写 的是否命题的是否命题。2、（1）“或或”的否定为的否定为“且且”，（2）“且且”的否定为的否定为“或或”，（3）“都都”的否定为的否定为“不都不都”。1、要写出一个命题的另外三个命题要写出一个命题的另外三个命题,关键关键是是分清命题的题设和结论分清命题的题设和结论,即把原命题写成即把原命题写成 “若若,则则”两个关注点两个关注点“且”“或”“是”“不是”“所有都是”“不都是”“至少有一个”“一个也没有”“任意一个都不是”“至少存在一个是”“至少有一个不是”“至多n个”“至少n+1个”“一定是”“一定不是”“至少n个”“至多n-1个”求否定，就是求求否定，就是求相应情况的补集相应情况的补集2)原原命题命题：若两数都是整数，则它们的和为整数若两数都是整数，则它们的和为整数。逆命题逆命题：若两数和为整数，则它们都是整数若两数和为整数，则它们都是整数。否命题否命题：若两数不都是整数，则它们的和不为整数若两数不都是整数，则它们的和不为整数。逆否命题逆否命题：若两数和不为整数，则它们不都是整数。：若两数和不为整数，则它们不都是整数。(真真)(假假)(假假)(真真)(真真)四四种命题的真假种命题的真假1)原原命题：若命题：若x=2或或x=3,则则x2-5x+6=0。逆命题：若逆命题：若x2-5x+6=0,则则x=2或或x=3。否命题：若否命题：若x2且且x3,则则x2-5x+60。逆否命题：若逆否命题：若x2-5x+60，则，则x2且且x3。(真真)(真真)(真真)3)原原命题：若命题：若a b,则则 ac2bc2。逆命题：若逆命题：若ac2bc2,则则ab。否命题：若否命题：若ab,则则ac2bc2。逆否命题：若逆否命题：若ac2bc2,则则ab。（假）（假）（真）（真）（真）（真）（假）（假）互为逆否的两个命题同真同假！互为逆否的两个命题同真同假！若若，则，则（2）若其逆命题为真，则其否命题一定为真。若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、逆否命题不一定为真。但其原命题、逆否命题不一定为真。（1）原命题为真，则其逆否命题一定为真。但原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否命题不一定为真。其逆命题、否命题不一定为真。总结：总结：若若A、B是两个命题，是两个命题，AB，B A，那么，那么A、B叫做叫做等价命题等价命题.如果两个命题互为逆否命题，如果两个命题互为逆否命题，那么这两个命题是那么这两个命题是等价命题等价命题若若，则则说明说明当证明某个命题比较困难时，可以证明它当证明某个命题比较困难时，可以证明它的逆否命题来代替证明原命题的逆否命题来代替证明原命题1、写出所要证明命题的逆否命题；、写出所要证明命题的逆否命题；2、证明所写的逆否命题；、证明所写的逆否命题；3、结论：、结论：“由于逆否命题正确，所以原命题正确由于逆否命题正确，所以原命题正确”“正难则反正难则反”（4）对角互补的四边形内接于一个圆）对角互补的四边形内接于一个圆；（5）如果）如果a+b3，那么，那么a 1或或b 2；（6）如果）如果|x+y|=|x|+|y|，那么，那么x,y同号或至少有一个为同号或至少有一个为0；（7）如果）如果AB=，那么，那么A=或或B=；（8）两三角形的面积比等于对应边之比的平方，那么这）两三角形的面积比等于对应边之比的平方，那么这 两个三角形相似两个三角形相似；（9）如果）如果a是整数，那么是整数，那么a2除以除以4的余数是的余数是0或或1；（3）互为补角的两个角不相等）互为补角的两个角不相等；（1）如果）如果A是是B的子集，那么的子集，那么B不是不是A的子集的子集；（2）凡直角三角形都相似）凡直角三角形都相似；判断下列命题的真假，并说明理由判断下列命题的真假，并说明理由 练习练习(假假)(真真)(假假)(假假)(真真)(真真)(假假)(假假)(真真)(1)真命题推理证明(2)假命题举反例小小 结结1 1、会判断命题的真假并证明：、会判断命题的真假并证明：2 2、四种命题形式及相互关系、四种命题形式及相互关系4 4、等价命题等价命题(1)(1)互为逆否的两个命题等价命题，它们同真同假互为逆否的两个命题等价命题，它们同真同假（4真或4假或2真2假）(2)(2)“正难则反正难则反”3 3、几种否定形式几种否定形式（熟记）（熟记）A：三角形内角和为：三角形内角和为180B：三角形外角和为：三角形外角和为360是等价命题吗？是等价命题吗？一、提出假设一、提出假设二、推理论证二、推理论证三、得出矛盾三、得出矛盾四、结论成立四、结论成立以假设为以假设为条件条件，结合已知条件推理，结合已知条件推理，得出与得出与已知条件或是正确命题已知条件或是正确命题相矛盾相矛盾的结论的结论这与这与“.”相矛相矛盾盾所以假设不成立，所以假设不成立，所求证的命题成立所求证的命题成立假设待证命题不成立，或是命题的假设待证命题不成立，或是命题的反面成立。反面成立。反反证证法法证：证：假设假设 若若_时时,则则_,x2+y20与与 x2+y2=0矛盾矛盾,若若_时时,则则_,x2+y20与与 x2+y2=0矛盾矛盾,所以假设不成立所以假设不成立,从而从而_成立。成立。x x、y y至少有一个不为至少有一个不为0 0 x x 0 0 x x2 2 0 0例例 证明：若证明：若x2+y2=0,则则y y 0 0y y2 2 0 0 x x=y=0=y=0。x=y=0。反证法证明反证法证明证：证：假设假设_或或_,由于由于_时时,_,与与(x-a)(x-b)0矛盾矛盾,又又_时时,_,与与(x-a)(x-b)0矛盾矛盾,所以假设不成立所以假设不成立,从而从而_。x=a x=bx=a(x-a)(x-b)=0 x=b(x-a)(x-b)=0 x a且且x b用反证法证明用反证法证明,若若(x-a)(x-b)0,则则x a且且x b.例例 2 2证明证明:1.用用反证法反证法证明（填空）：证明（填空）：在三角形的内角中，至少有一个角不小于在三角形的内角中，至少有一个角不小于60已知已知：如图，如图，是是的内角的内角求证：求证：，中至少有一个角不小于中至少有一个角不小于600.证明证明：假设假设所求证的结论不成立，即所求证的结论不成立，即60，60，60则则1800这于这于矛盾矛盾所以假设，所以假设，所以，所求证的结论所以，所求证的结论成立成立三角形三角形三个三个内角内角的的和等于和等于180不成立不成立假设假设l3l2，即即l3与与l2相交，记交点为相交，记交点为P2.已知：如图，直线已知：如图，直线l1,l2,l3在同一平面内在同一平面内,且且l1l2,l3 l1，l3l2求证：求证：而而l1l2,l3 l1这与这与“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行平行”相矛盾，相矛盾，所以假设不成立，所以假设不成立，即即l3l2证明：证明：l1l3l2P求证求证:若一个整数的平方是偶数若一个整数的平方是偶数,则这个则这个数也是偶数数也是偶数.假设这个数是奇数假设这个数是奇数,可以设为可以设为2k+1,2k+1,证证:则有则有而而不是偶数不是偶数这与原命题条件矛盾这与原命题条件矛盾.例题例题3:1.用反证法证明用反证法证明:若方程若方程ax2+bx+c=0 (a 0)有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根,则则b2-4ac0.2.用反证法证明用反证法证明:在在ABC中中,若若C是是 直角直角,则则B一定是锐角一定是锐角.演练反馈演练反馈判断判断下列命题的真假，并说明理由下列命题的真假，并说明理由补充练习补充练习(4)若实数若实数a与与b的积不是有理数，则的积不是有理数，则a，b至少有一个不是有理数至少有一个不是有理数