单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,,第,2,讲 推理与证明,要点知识整合,1,．合情推理与演绎推理,,合情推理包括归纳推理和类比推理．归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理．演绎推理是由一般到特殊的推理，,“,三段论,”,是演绎推理的一般模式．,,前提为真时，由合情推理得到的结论才有可能是正确的．在数学研究中，得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路和方向，,合情推理的过程可表示如下,,2,．直接证明与间接证明,,直接证明是从原命题的条件逐步推得命题结论成立的证明方法，综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方法．,,间接证明的最主要方法是反证法．反证法的证明思路是：先假设原命题不成立，再经过正确的推理得出矛,盾，因此说明假设错误，进而得出原命题正确．,3,．数学归纳法,,对于由归纳法得到的某些与正整数有关的数学命题，先证明当,n,取第一值,n,0,(,例如,n,0,＝,1,或,2,等,),时命题成立，然后假设,n,＝,k,(,k,∈,N,*,，,k,≥,n,0,),时命题成立，证明当,n,＝,k,＋,1,时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从,n,0,开始的所有正整数,n,都成立．,,,题型一,归纳推理,热点突破探究,,典例精析,,,例,1,【,题后拓展,】,归纳推理的一般步骤是：,(1),通过观察个别事物发现某些相同的性质；,(2),从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．,,一般情况下，归纳的个别事物越多，越具有代表性，推广的一般性结论也就越可靠．,,变式训练,1,．观察下列算式，猜测由此表提供的一般法则，用适当的数学式子表示它．,1,＝,1,，,,3,＋,5,＝,8,，,,7,＋,9,＋,11,＝,27,，,,13,＋,15,＋,17,＋,19,＝,64,，,,21,＋,23,＋,25,＋,27,＋,29,＝,125,，,,……,,则这个式子为,________,．,解析：由题目所给等式规律可以看出，等式左边每一行的第一个数的差组成等差数列，即,a,n,－,a,n,－,1,＝,2(,n,－,1),，所以,a,n,＝,n,2,－,n,＋,1,，而每一行的数组成公差为,2,的等差数列，所以第,n,行的第,n,个数为,n,2,－,n,＋,1,＋,2(,n,－,1),，等式右边为,n,3,，所以可以归纳出一个等式如下：,,(,n,2,－,n,＋,1),＋,(,n,2,－,n,＋,1,＋,2),＋,(,n,2,－,n,＋,1,＋,4),＋,…,＋,[,n,2,－,n,＋,1,＋,2(,n,－,1)],＝,n,3,.,,答案：,(,n,2,－,n,＋,1),＋,(,n,2,－,n,＋,1,＋,2),＋,(,n,2,－,n,＋,1,＋,4),＋,…,＋,[,n,2,－,n,＋,1,＋,2(,n,－,1)],＝,n,3,,,题型二,类比推理,,,例,2,【,规律方法,】,类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象其他属性亦类似的一种推理方法．例如拿分式同分数类比、平面几何与立体几何的某些对象类比等．当然类比的结论有可能出现错误．如：在平面内，直线,a,、,b,、,c,，若,a,⊥,b,，,b,⊥,c,，则,a,∥,c,；在空间中，三个平面,α,、,β,、,γ,，若,α,⊥,β,，,β,⊥,γ,，但,α,与,γ,之间可能平行，可能相交．,,变式训练,运用类比猜想，对于空间中的四面体,VBCD,，存在什么类似的结论？用什么法证明？,,,题型三,直接证明与间接证明,,已知数列,{,a,n,},和,{,b,n,},满足：,a,1,＝,λ,，,a,n,＋,1,＝,a,n,＋,n,－,4,，,b,n,＝,(,－,1),n,(,a,n,－,3,n,＋,21),，其中,λ,为实数，,n,为正整数．,,(1),对任意实数,λ,，证明数列,{,a,n,},不是等比数列；,,(2),试判断数列,{,b,n,},是否为等比数列，并证明你的结论．,,,例,3,【,题后拓展,】,,(1),有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可．,,(2),综合法和分析法是直接证明常用的两个方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法来写出证明过程，有时候，分析法和综合法交替运用．,,变式训练,,,题型四,数学归纳法,,,例,4,(,本题满分,12,分,),如图，,P,1,(,x,1,，,y,1,),、,P,2,(,x,2,，,y,2,),、,…,、,P,n,(,x,n,，,y,n,)(0<,y,1,<,y,2,<,…,<,y,n,),是曲线,C,：,y,2,＝,3,x,(,x,≥,0),上的,n,个点，点,A,i,(,a,i,,0)(,i,＝,1,2,3,，,…,n,),在,x,轴的正半轴上，且,△,A,i,－,1,A,i,P,i,是正三角形,(,A,0,是坐标原点,),．,(1),写出,a,1,、,a,2,、,a,3,；,,(2),求出点,A,n,(,a,n,,0)(,n,∈,N,*,),的横坐标,a,n,关于,n,的表达式．,【,题后拓展,】,,(1),本题属,“,归纳,—,猜想,—,证明,”,的类型，解决此类问题猜想很重要．为避免猜想的偏差，可多计算几项，观察规律，使猜想更有把握．,,(2),与正整数有关的等式、不等式等命题的证明可采用数学归纳法，在证明时，其中在由假设,n,＝,k,时命题成,立，推,n,＝,k,＋,1,时命题也成立时，要灵活地构造出归纳假设，设法运用归纳假设．,,变式训练,,已知,x,，,y,∈,R,，且,2,x,＋,3,y,>2,－,y,＋,3,－,x,，那么,(,,),,A,．,x,＋,y,<0,,B,．,x,＋,y,>0,,C,．,xy,<0 D,．,xy,>0,,,例,,方法突破,【,解析,】,设,f,(,x,),＝,2,x,－,3,－,x,.,,因为,2,x,，－,3,－,x,均为,R,上的增函数，,,所以,f,(,x,),＝,2,x,－,3,－,x,是,R,上的增函数．,,又由,2,x,－,3,－,x,>2,－,y,－,3,y,＝,2,－,y,－,3,－,(,－,y,),，,,即,f,(,x,)>,f,(,－,y,),，,∴,x,>,－,y,，即,x,＋,y,>0.,,【,答案,】,,B,【,题后拓展,】,题目不易直接入手，而本题构造函数，,f,(,x,),＝,2,x,－,3,－,x,，利用其单调性判断,x,，,y,的关系．在解决值的大小比较问题时，通过构造适当的函数，利用函数的单调性或图象解决是一种重要的思想方法．,高考动态聚焦,,考情分析,,从近几年高考来看，本讲高考命题具有以下特点：,,1,．推理与证明贯穿高中数学的每一章节，是中学数学的重要内容，在近几年的高考中，归纳推理和类比推理的题目时常出现，且类比推理的题目占多数，考查形式为填空题．,,2,．从近几年的考题分析，可以发现，使用分析法、综合法证明的题目稍多一些，虽然反证法证题体现的较少，但反证法是数学证明的重要方法．,,真题聚焦,1,．,(2010,年高考山东卷,),观察,(,x,2,),′,＝,2,x,，,(,x,4,),′,＝,4,x,3,，,(cos,x,),′,＝－,sin,x,，由归纳推理可得：若定义在,R,上的函数,f,(,x,),满足,f,(,－,x,),＝,f,(,x,),，记,g,(,x,),为,f,(,x,),的导函数，则,g,(,－,x,),＝,(,,),,A,．,f,(,x,) B,．－,f,(,x,),,C,．,g,(,x,) D,．－,g,(,x,),解析：选,D.,由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当,f,(,x,),是偶函数时，其导函数应为奇函数，故,g,(,－,x,),＝－,g,(,x,),．,2,．,(2010,年高考陕西卷,),观察下列等式是：,1,3,＋,2,3,＝,(1,＋,2),2,,1,3,＋,2,3,＋,3,3,＝,(1,＋,2,＋,3),2,,1,3,＋,2,3,＋,3,3,＋,4,3,＝,(1,＋,2,＋,3,＋,4),2,，,…,，,,根据上述规律，第四个等式为,________,．,解析：观察前,3,个等式发现等式左边分别是从,1,开始的两个数、三个数、四个数的立方和，等式右边分别是这几个数的和的平方，因此可得第四个等式是：,1,3,＋,2,3,＋,3,3,＋,4,3,＋,5,3,＝,(1,＋,2,＋,3,＋,4,＋,5),2,＝,15,2,.,,答案：,1,3,＋,2,3,＋,3,3,＋,4,3,＋,5,3,＝,(1,＋,2,＋,3,＋,4,＋,5),2,(,或,15,2,),3,．,(2010,年高考浙江卷,),设,n,≥,2,，,n,∈,N,，,(2,x,＋,),n,－,(3,x,＋,),n,＝,a,0,＋,a,1,x,＋,a,2,x,2,＋,…,＋,a,n,x,n,，将,|,a,k,|(0,≤,k,≤,n,),的最小值记为,T,n,，则,T,2,＝,0,，,T,3,＝,,，,T,4,＝,0,，,T,5,＝,,，,…,，,T,n,，,…,其中,T,n,＝,________.,。