定积分与微积分基本定理教学重点：定积分的概念、定积分的几何意义．求简单的定积分,微积分基本定理的应用教学难点：定积分的概念、求曲边图形面积．一．定积分的概念回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程等问题的解决方法，这几个问题都有什么共同点呢？分割→以直代曲→求和→取极限（逼近 一般地，设函数在区间上连续，分割 用分点将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），以直代曲 在每个小区间上取一点，每份小曲边梯形的面积近似为求和：取极限 如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分记为： 其中成为被积函数，叫做积分变量，为积分区间，积分上限，积分下限思考 定积分是一个常数还是个函数？即无限趋近的常数（时）称为，而不是． 常见定积分曲边图形面积：；变速运动路程；变力做功 理解 本来 面积=底高 路程=速度时间 功=力位移因为都是不规则的，所以都用先分割，再以直代曲，这样就可以相乘了，再求和 ，再取极限二．定积分的几何性质定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，。
思考：根据定积分的几何意义，你能用定积分表示图中阴影部分的面积S吗？求曲边梯形的面积：（两曲线所围面积）； 典例题一、用定义计算定积分例1．计算定积分 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1；性质2（定积分的线性性质）；性质3（定积分的线性性质）；性质4（定积分对积分区间的可加性）； 试从运算过程和几何性质两方面给予解释说明：①推广： ②推广: 三、微积分基本定理思考 ：微积分与导数都应用了无限接近，求极限的方法，这两者之间有什么关系呢？设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（），1、 任意一刻的速度v(t)就是S(t)的导函数2、物体在时间间隔内经过的路程可用速度函数表示为，另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在上的增量来表达，那岂不是有 =？ 对于一般函数，设，是否也有？用的原函数的数值差来计算在上的定积分定理 如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则为了方便起见，还常用表示，即 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．典型题一、基本定积分的计算例1．计算下列定积分：（1）； （2）A变式练习1：计算已知t＞0，若（2x﹣2）dx=3，则t=（ ） A．3B．2C．1D．3或﹣1分析：首先利用定积分求出关于t的方程，然后解一元二次方程求出t，注意t＞0．解答：解：由（2x﹣2）dx=（x2﹣2x）|=t2﹣2t=3，解得t=3后者t=﹣1，因为t＞0；所以t=3；故选A．A变式2cosxdx=（ ） A．0B．1C．2D．3分析：直接利用定积分的运算法则求法求解即可．解答：解：cosxdx=sinx=1﹣0=1．故选：B．计算：=（ ） A．2B．4C．8D．12考点：定积分．菁优网版权所有专题：导数的综合应用．分析：求出被积函数的原函数，分别代入积分上限和积分下限后作差得答案．解答：解：===4．A. 变式3例6已知t＞0，若（2x-2）dx=8，则t=（ ）· 已知（sinx-acosx）dx=2，则实数a等于（ ）B变式1 sin2xdx=（ ） A．0B．﹣C．D．﹣1分析：根据微积分基本定理计算即可解答：解： sin2xdx=dx=（x﹣ sin2x）=（﹣sinπ﹣0﹣0）=，故选：CB变式2 cos2xdx=（ ）典型题二、 分段函数的定积分例题 已知函数，则的值为（ ） A．B．4C．6D．分析：原式分解为x2在区间[﹣2，0]上的积分与x+1在区间[0，2]上的积分之和，再分别用积分公式求出它们的原函数，最后利用定积分的运算法则进行计算，即可得到原式的值．解答：解：==（x2+x+C1）+（+C2），（其中为C1、C2常数）=[（）﹣（）]+[（）﹣（）]=4+=故选DA变式1设f(x)＝则f(x)dx等于( )A变式2 四、用定积分计算围成图形面积。
例2．计算下列定积分：由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0: ( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时（图1.6一3 ) ，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；图1 . 6 一 3 ( 2 ）（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时（图 1 . 6 一 4 ) ，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数； ( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0（图 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积． 图形在x轴下方时，定积分的值计算后加绝对值才等于曲边梯形面积函数值如果有正有负，则计算定积分时应该分开算典型例题】用定积分计算围成图形面积例1（1）由抛物线和直线x=1所围成的图形的面积等于 （ ）利用对称性可以简化运算例题2 求由抛物线与直线及所围成图形的面积.在图形的不同部分函数关系式不一样分几段求1.找出分界点2.写出每一段的函数关系式 例1（2）例题3 如图，阴影部分的面积是 （ ）两条曲线围成图形，一条在另一条上方，函数即为（上方函数-下方函数）A变式1曲线y=x3与直线y=x所围成图形的面积为（ ）分析：先求出曲线y=x3与y=x的交点坐标，得到积分的上下限，然后利用定积分求出第一象限所围成的图形的面积，根据图象的对称性可求出第三象限的面积，从而求出所求．解答：解：曲线y=x3与y=x的交点坐标为（0，0），（1，1），（﹣1，﹣1）曲线y=x3与直线y=x在第一象限所围成的图形的面积是==根据y=x3与y=x都是奇函数，关于原点对称，在第三象限的面积与第一象限的面积相等∴曲线y=x3与y=x所围成的图形的面积为故选BA变式2图中y=3﹣x2与y=2x阴影部分的面积是（ ） A．B．9﹣C．D．分析：求阴影部分的面积，先要对阴影部分进行分割到三个象限内，分别对三部分进行积分求和即可．解答：解：直线y=2x与抛物线y=3﹣x2解得交点为（﹣3，﹣6）和（1，2）抛物线y=3﹣x2与x轴负半轴交点（﹣，0）设阴影部分面积为s，则 ==所以阴影部分的面积为 ，故选C．A变式3 求由曲线与，，所围成的平面图形的面积。
A变式 4求围成的图形面积A变式4如图阴影部分是由曲线y＝，y2＝x与直线x＝2，y＝0围成，则其面积为________B变式 1 例7．求由与直线所围成图形的面积B变式2图中，阴影部分的面积是（ ） A．16B．18C．20D．22分析：从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为（2，﹣2），（8，4）．过（2，﹣2）作x轴的垂线把阴影部分分为S1，S2两部分，利用定积分的方法分别求出它们的面积并相加即可得到阴影部分的面积．解答：解：从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为（2，﹣2），（8，4）．过（2，﹣2）作x轴的垂线把阴影部分分为S1，S2两部分，分别求出它们的面积A1，A2：A1=∫02[]dx=2 dx=，A2=∫28[]dx=所以阴影部分的面积A=A1+A2==18故选B．B变式3. 已知抛物线y=x2-2x及直线x=0,x=a,y=0围成的平面图形的面积为，求a的值．yxo122--1-1ABCD例2图B.变式4 如图，求由两条曲线，及直线y= -1所围成图形的面积．典型题 用几何法求定积分例题 定积分dx的值为（ ） A．B．C．﹣1D．﹣1分析：根据定积分的几何意义，求定积分．解答：解：由定积分的几何意义，dx为图中阴影部分的面积，dx=；故选C．A变式1．计算（1+）dx的结果为（ ） A．1B．C．1+D．1+分析：由定积分的公式和定积分的几何意义计算可得．解答：解：（1+）dx=1dx+dx=1+dx∵由定积分的几何意义可知dx表示圆x2+y2=1在第一象限的面积，即单位圆的四分之一，∴dx=×π×12=，∴（1+）dx=1+，故选：CA变式2计算：（x2+）dx= ．A变式3计算：= π ．分析：根据y=表示x轴上方的半圆，可得 dx=，利用 =2 dx﹣sinxdx，即可求得结论．解答：解：∵y=表示x轴上方的半圆，∴dx=∴=2 dx﹣sinxdx=2×﹣（﹣cosx）=π﹣0=π．故答案为：π分析：首先利用定积分的运算法则将所求转化为和的积分，然后分别求原函数代入求值．解答：解：（x2+）dx==|+=；故答案为：．典型题 定积分的实际应用例题 一物体沿直线以v=t2+3（t的单位：s，v的单位：m/s）的速度运动，则该物体在1～4s间行进的路程是A变式1 一个物体作变速直线运动，速度和时间关系为v（t）=4-t2 m/s，则该物体从0秒到4秒运动所经过的路程为A变式2 若1 N的力能使弹簧伸长1 cm，现在要使弹簧伸长10 cm，则需要花费的功为（ ）（提示：，f为力，x为伸长长度）A变式3.如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，需做功（ ）B变式1 汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。
设汽车以等减速度=1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？B变式2 列车以72km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？B.变式3 物体A以速度在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5m处以的速度与A同向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体A的走过的路程是多少？（时间单位为：s，速度单位为：m/s）小结 1 其中成为被积函数，叫做积分变量，为积分区间，积分上限，积分下限2定积分的几何性质 曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积3定理 如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则，求定积分的关键是求导函数的原函数 4.计算曲边梯形面积技巧 利用对称性可以简化运算在图形的不同部分函数关系式不一样分几段求1.找出分界点2.写出每一段的函数关系式 两条曲线围成图形，一条在另一条上方，函数即为（上方函数-下方函数）5.当原函数很难求，而很容易看出函数的几何意义时，可用几何法求定积分6、定积分的常见应用： 路程与速度、变力做功 。