一•累加法(适用于：a = a + f (n))n +1 n例：已知数列｛a ｝满足a = a + 2n +1，a = 1，求数列｛a ｝的通项公式 n n+1 n 1 nn.练习：1.数列｛ an ｝中，若a1=1, an+1-a n=2n,求通项an.2.数列｛ a ｝中，若a.=1，a -a =2n,求通项an 1 n+1 n3.已知数列｛a ｝满足a = a + 2x3» +1，a = 3，求数列｛a ｝的通项公式n n +1 n 1 n4•设数列｛a ｝满足a = 2，a — a = 3 - 22n-1，求数列｛a ｝的通项公式n 1 n+1 n n二•累乘法(适用于4二f (n))an例：数列｛ an ｝中，若 a1=1，(n +1)a= nann+1得：a—n+1 =nann +1a2a—3 =—9-^4 =a3a23式相乘得：al-l 丿v ixr •an134求a1解：由(n + 1)a 二 nan+1a12 = a21n.a n — 1 n— an-1・ 1・・a =—nn练习：1)数列｛ an ｝中，若 a1=2，an+n.三． 倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例1.已知数列｛。
｝满足a =n n +1熬,a1 = 1，求数列｛an｝的通项公式n练习：1.数列｛a ｝中，若an二 2,丄 1an+1=+ 4(n g N),求 anan2.数列｛ an ｝中，anfO，且满足a】n+1$一,(n e n),求 an+ 3an3.数列｛ a ｝中，a 二 1, an1n+12a n -a + 2n, 求 an 通项公式n4.数列｛ a ｝中,a = 1,a 丰 0,且a + 2a - a - a = 0(n > 2,n g N),求 a .n 1 n n n n -1 n-1 n二 c - a + d,(c 丰 1)c, d为常数 n四•构造如a二a +常数的数列（适用于an+1 n方法：九厂C an+d,设可化成an+i+X=C（an+X）,用待定系数法得：n+1=C an+(C-1)X(c_1)x=dx= d例：数列｛ an ｝中，若a1=6, an+1=2an+1,求数列｛ an ｝的通项公式解： an+1+1=2a n+2, 即 an+1+1=2(an+1)设b = a +1, 则b = 2 b 则数列｛ b ｝是等比数列，公比是2,首项b = a +1 = 7,n n n n-1 n i i・•・ b = 7 - 2n-i,即a +1 = 7 - 2“一1nna — 7 - 2n-1 一 1, (n e N)n练习：1.数列｛ a ｝满足a +1=3a +2,求an n+1 n n2.数列｛ a ｝满足S +a=2n+1,求a n n n n五．构造形如 a — ka + 一次或二次函数的数列n +1 n例：已知数列｛a ｝满足a — 2a + 3n2 + 4n + 5, a — 1，求数列｛a ｝的通项公式。
n n +1 n 1 n解：设 a + x(n +1)2 + y (n +1) + z — 2(a + xn + yn + z)n +1 n六•构造形如a - ka +指数的数列n +1 n例： 已知数列｛a ｝满足a — 2a + 3x5n，a — 6，求数列｛a ｝的通项公式n n +1 n 1 n解：设 a + xx 5n+1 — 2(a + xx 5n)n +1 n练习1.已知数列｛a ｝满足a — 3a + 5x2” + 4，a — 1,求数列｛a ｝的通项公式n n +1 n 1 n解：设 a + x x 2n+1 + y — 3(a + x x 2n + y)n +1 nn5a — — , a1 6 n+1-3 an +(2)I七•构造形如b - a -a的数列n n +1 n例：数列｛ a 冲，若 a1= 1，a =3,a +2 + 4 a - 5a =0 (n e N),求 an 1 2 n+2 n+1 n ' " n解： a + 4 a - 5a =0 得： a － a = - 5(a － a )n+2 n+1 n n+2 n+1 n ＋i n设 b = a － an n ＋i n ，则数列｛ bn ｝是等比数列，公比是-5，首项b = a2- a1 = 2,「•a —a =2・(-5)n-1n＋i n即 a —a =2・(-5)2ia —a =2・(-5)23 2a —a =2・(-5)34 3a — a =2・(-5)n-2n n —i各式相加得：an —a =2・[(-5)+(-5)2+(-5)3 (-5) n-1]即：a —a「2・1 —( — —1n 1 1 — (—5)...a = 1 + 1-(-5) n-1，即 a n 34 — (—5) n—1=—，(n e N)八•构造形如b = a 2的数列。
nn例：正数数列｛ a ｝中，若 a = 5, a 2 = a 2 — 4(n e N), 求an 1 n+1 n n解：设b = a 2,则b = b — 4,即b — bn n n+1 n=-4n+1数列｛b ｝是等差数列，公差是-4,・bn即an・•. ann二 25 + (n — 1) - (—4)二 29 — 4n2 二 29 — 4n=J29 — 4n,(1 < n < 7, n e N)=a 2 = 251九•构造形如b二lg a的数列nn例：正数数列｛ a ｝中，若al=10，且lg an 1 n二 Ilga ,(n > 2, n e N),求 a .n —1 n=1，/.可设b = lg a , lg a 2 n nn—1・b是等比数列，公比为1, b = lg10 = 1n 2 111・.b = 1- ( )n-1 = ( )n-1, (n e N)n 2 2 .解：由题意得：b1i ,b 2n—1即 lg an丄—,n-1 ,a 二 10(2)"n练习：数列｛ an ｝中，若 a1=3,a=a 2 ,n是正整数,n+1 n求数列｛ an ｝的通项公式对无穷递推数列 消项得到第n + 1 与 n项的关系例：已知数列｛a ｝满足a = 1, a = a + 2a + 3a + + (n — 1)a (n > 2)，求｛a ｝的通项公式。
n 1 n 1 2 3 n —1 n练习•设数列｛"满足叮3a2 + 32 a3 +…+ 1 an = 3，a e N* •求数列（an ｝的通项;裂项相消法1a =a +n+1 n n(n +1)『Sn- 1)(2n +1) ； J：!等情形可以构造b =an n＋1即 b =丄 一 ；b =丄( 一 )；b = \：n +1 — i n n n n +1 n 2 2n — 1 2n +1 n从而求出求出数列前n-1项的和Tn-1,1 1 1▼ = (1 — ) ; T = 2,n e N), n 1 n 、n-1求数列｛ an ｝的通项公式。