习题四1．下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足就求出定理中的数值1） [－1，1.5]（2） [－2，2]（3） [0，3]（4） [0，3]2．下列函数在给定区间上是否满足拉格朗日定理的所有条件？如满足就求出定理中的数1） [，a] a＞0（2） [1，2]（3） [－1，0]3．函数与在区间[1，2]上是否满足柯西定理的所有条件？如满足就求出定理中的数值4．若4次方程有4个不同的实根，证明的所有根皆为实根5．用拉格朗日定理证明：若，且当x＞0时＞0，则当x＞0时，f（x）＞0提示：对任给的x0 ＞0，f（x）在[0，x0]上满足拉格朗日定理的条件6．证明不等式|sinx2－sinx1|≤|x2－x1|提示：设f（x）＝sinx7．证明：若函数f（x）在[x0，x0+δ]上连续，在（x0，x0+δ）内可导，且（A为常数），则f（x）在x0处的右导数存在且等于A提示： （0＜Δx＜δ，x0＜＜x0＋Δx＝8．利用罗彼塔法则求下列极限：（1） （2）（3） （4）（5） a≠0（6） a＞0，n为正整数（7） （8） m＞0（9） （10）（11） （12）9．求下列函数的增减区间：（1） （2）（3） （4）（5） （6）10．证明函数y＝x－ln（1＋x2）单调增加。
12．求下列函数的极值：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）13．利用二阶导数，判断下列函数的极值：（1） （2）（3） （4）14．求下列函数在给定区间上的最大值与最小值；（1） [－2，2]（2） [－1，2]（3） [，1]（4） [0，4]15．欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方形开口容器，怎么做法所用材料最省？16．欲用围墙围成面积为216平方米的一块矩形土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大的尺寸，才能使所有建筑材料最省？17．欲做一个容积为300立方米的无盖圆柱形蓄水池，已知池底单位造价为周围单位造价的两倍问蓄水池的尺寸应怎样设计才能使总造价最低？18．一工厂A与铁路的垂直距离为A公里，它的垂足B到火车站C的铁路长为B公里，工厂的产品必须经火车C才能转销外地，现已知汽车运费为M元/吨公里，火车运费为N元/公里（M>N）为使用运费最省，准备在铁路上另修一小站M作为转运站，问转运站应修在离火车站C多少公里外处，才能使运费最省（参看1.5的例1）？19．在一条公路的一侧有某公社的A，B两个大队，其位置如图4-38所示。
公社欲在公路旁边修建一个堆货场M，并从A、B两个大队各修一条直线大道通往堆货场M，欲使A、B到M的大道总长为最短，堆货场M应修在何处？20．以汽船拖载重相等的小船若干只，在两港之间来回运送货物已知每次拖4只小船一日能来回16次，每次拖7只则一日能来回10次，如果小船增多的只数与来回减少的次数成正比，问每日来回多少次，每次拖多少只小船能使运货总量达到最大？21．甲船以每小时20公里的速度向东行驶，同一时间乙船在甲船正北82公里处以每小时16公里的速度向南行驶，问经过多少时间两船最近？22．对物体的长度进行了n次测量，得n个数x1，x2，…，xn现在要确定一个量x，使得它与测得的数值之差的平方和为最小，x应是多少？23．某厂生产某种商品，其年销售量为100万件，每批生产需增加准备费1000元，而每件的库存费为0.05元如果年销售率是均匀的，且上批销售完后，立即再生产下一批（此时商品库存数为批量的一半），问应分几批生产，能使生产准备费及库存费之和最小？24．某商店每年销售某种商品a件，每次购进的手续费为b元，而每件的库存费c元／年若该商品均匀销售，且上批销售完后，立即进下一批货，问商应分几批购进此种商品，能使所用的手续费及库存费总和最少？25．确定下列函数的凹向及拐点？（1） （2）（3） （4）（5） （6）26．求下列曲线的渐近线：（1） （2） （3） （4）（5） （6）（7） （8）。