B . 60 C. 120 D. 135广东实验中学 2015—2016 学年（上）高二级模块二考试理 科 数 学本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分 150 分，考试用时 120 分钟注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区 域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔 和涂改液.不按以上要求作答的答案无效4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回第一部分选择题（共 60 分）一、(每题 5 分，共 60 分)1．一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是( )A.球B.三棱锥C.正方体D.圆柱2．直线3 x +y +1 =0的倾斜角是( )A.300 0 0 03．若P是平面a外一点，则下列命题正确的是（ ）A.过P只能作一条直线与平面a相交 B.过P可作无数条直线与平面a垂直C.过P只能作一条直线与平面a平行 D.过P可作无数条直线与平面a平行4．点(1,-1)到直线x -y +1 =0的距离是( )A．1 3B．2 2C．22D．3 225．已知两个不同的平面a、 b 和两条不重合的直线 m、 n，有下列四个命题①若m // n, m ^a，则n ^a②若m ^a,m ^ b,则a//b③若m ^a,m // n, n Ì b,则a^ b④若m //a,a b=n,, 则m // n其中正确命题的个数是（ ）A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个6．设直线A.2l : 2 x -my -1 =0 ， l : ( m -1) x -y +1 =0 .若 l // l 1 2 1B. -1 C. 2 或 -12，则 m 的值为（ ） D. 1 或-21 2 2 7．已知正四棱柱ABCD -A B C D1 1 1 1中，AA1=2 AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为（ ）A.1010B.1 3 10 3C. D.5 10 58．若变量 x, y 满足 x +5 y +13 =0（ -3 £x £2，且x ¹1），则y -1x -1的取值范围是( )A.k ³3 3 3 3 或k £- 4 B. - 4 £k £ C. £k £4 D. - 4 4 4 4£k £49．如图，定点 A 和 B 都在平面 a内，定点 P Ïa,PB ^a,C 是 a内异于 A 和 B 的动点，且 PC ^ AC.那么，动点 C 在平面 a内的轨迹是( )PA.一条线段，但要去掉两个点 C.一个椭圆，但要去掉两个点B.一个圆，但要去掉两个点 D.半圆，但要去掉两个点ABa10．若直线 l ：y＝k(x－4)与直线 l 关于点(2，1)对称，则直线 l 恒过定点( ) A.(0，4) B.(0，2) C.(－2，4) D.(4，－2)C11.若三棱柱的一个侧面是边长为 2 的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为600的菱形，则该棱柱的体积等于（ ）A.2B.2 2C.3 2D.4 212.如图，在体积为 2 的三棱锥 A—BCD 侧棱 AB、AC、AD 上分别取点 E、F、G， 使 AE : EB=AF : FC=AG : GD=2 : 1，记 O 为三平面 BCG、CDE、DBF 的交点，则三 棱锥 O—BCD 的体积等于（ ）AA．1 1 1B． C．9 8 7D．27EFGBOCD第二部分非选择题（90 分）二、 填空题(每题 5 分，共 20 分)13．某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是14．过点 A(2，3)且垂直于直线 2x＋y－5＝0 的直线方程为15．如图四棱柱ABCD -A B C D 中， AA ^ 面 ABCD ，四边1 1 1 1 1形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD =3BC，过A , C , D 1三A1 D1点的平面记为 a ， BB 与 a 的交点为1Q，则以下四个结论：B1C1①QC∥A D; ② B Q =2QB ; 1 1③直线 A B 与直线 CD 相交； 1④四棱柱被平面a 分成的上下两部分的体积相等. 其中正确的有QA DB C16．已知DABC中，顶点A(-2，1)，点 B在直线l：x +y - 3 =0上，点C在x轴上，则DABC周长的最小值.三、解答题（共 6 大题，共计 70 分）17.（本题 10 分）如图，在四面体 ABCD 中，CB=CD，AD⊥BD，点 E，F 分别是BAB，BD 的中点．求证：（1）直线 EF∥面 ACD；FE^（2）平面 EFC面 BCD．18．（本题 12 分）根据所给条件求直线的方程：CDA（1）直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距相等；（2）直线过点(5，10)，且到原点的距离为 5.19. （ 本 题 12 分 ） 如 图 ， 三 棱 锥 P -ABC 中 ， PC ^ 平 面PABC , PC =3, ÐACB =p2.D, E分别为线段 AB , BC 上的点，且CD =DE = 2, CE =2 EB =2.CEBAD题（19）图（1）证明： DE ^平面PCD；（2）求二面角A -PD -C的余弦值.20. （本题 12 分）如图，直三棱柱ABC -A B C 1 1 1中，AC ^ AB，AB =2 AA1，M是AB的中点 A MC1 1是等腰三角形， D 为 CC 的中点， E 为 BC 上一点．1（1）若 DE ∥平面 A MC1 1，求CEEB；（2）求直线BC和平面A MC1 1所成角的余弦值．第 20 题图21.（本题 12 分）已知函数 f ( x ) =x +ax的定义域为 ( 0, +¥) ，且f (2) =2 +22. 设点 P 是函数图象上的任意一点，过点 P 分别作直线 y =x 和 y 轴的垂线，垂足分别为 M 、N .（1）问：| PM | ×|PN |则说明理由；是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，（2）设 O 为坐标原点，求四边形 OMPN 面积的最小值.22.（本题 12 分）如图，在边长为 4 的菱形 ABCD 中，∠DAB＝60°，点 E，F 分别在边 CD， CB 上，点 E 与点 C，D 不重合，EF⊥AC，EF∩AC＝O.沿 EF 将△CEF 翻折到△PEF 的位 置，使平面 PEF⊥平面 ABFED.当 PB 取得最小值时，请解答以下问题：（1）求四 棱锥 P-BDEF 的体积；（2）若点 Q 满足AQ =lQP ( l>0)，试探究：直线 OQ 与平面 PBD 所成角的大小是否一π定大于 ？并说明理由． 4广东实验中学 2015—2016 学年（上）高二级模块二考试数学（理科）答案及评分标准一、选择题1～12 DCDDD ACABB BD 二、填空题13.103p14. x－2y＋4＝0 15. ①②16.2 13三、解答题17.（本题 10 分）证明：（1）∵E，F 分别是 AB，BD 的中点． ∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF∥AD ． ——2 分 ∵ EF∥AD ，EF Ë 面 ACD，AD Ì 面 ACD，——3 分B∴直线 EF∥面 ACD．——4 分（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD． ——5 分 ∵CB=CD，F 是 BD 的中点，∴CF⊥BD． ——6 分FDE又 EF∩CF=F ，EF、CFÌ面 EFC——7 分CA∴BD⊥面 EFC． ——8 分∵BDÌ面 BCD， ——9 分∴面 EFC⊥面 BCD． ——10 分18.（本题 12 分）x y解：(1)若截距不为 0，设直线的方程为 ＋ ＝1， ——1 分a a－3 4∵直线过点(－3，4)，∴ ＋ ＝1，解得 a＝1. ——2 分a a此时直线方程为 x＋y－1＝0. ——3 分若截距为 0，设直线方程为 y＝kx，4代入点(－3，4)，有 4＝－3k，解得 k＝－ ， ——4 分3此时直线方程为 4x＋3y＝0. ——5 分综上，所求直线方程为 x＋y－1＝0 或 4x＋3y＝0. ——6 分(2)由题意知，当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为 x－5＝0.——8 分 当直线斜率存在时，设其方程为 y－10＝k(x－5)，即 kx－y＋(10－5k)＝0.——9 分|10－5k| 3由点到直线的距离公式，得 ＝5，解得 k＝ . ——10 分1＋k2 4此时直线方程为 3x－4y＋25＝0. ——11 分4 综上知，所求直线方程为 x－5＝0 或 3x－4y＋25＝0. ——12 分19．（本题 12 分）（1）证明：∵PC ^平面 ABC, DE Ì 平面ABC, ∴PC ^ DE,① ——2 分又∵CD =DE =2, CE =2 ,∴ CD2+DE2=CE2∴ CD ^ DE ② ——4 分由①、②，CD PC =C,CD , PC Ì 平面 PCD, ∴ DE ^平面PCD——6 分（2）过 A 作AH∥DE交 CD 于 H，则AH ^平面PCD，过 H 作 HM^ PD,连接 AM，则ÐAMH 为二面角 A -PD -C所成的平面角. ——8 分在RtDAHC中，AH =2 3 2AC =2 4, ——9 分∵DDMH∽DDCP,∴MH PC 3 2= Þ MH =HD PD 4 11——10 分3 2∴ tan ÐAMH =AHMH= = 11 Þ cos ÐAMH = 3 236——11 分4 11故二面角A -PD -C的余弦值为36. ——12 分20.（本题 12 分）（1）取 BC中点为 N，连结MN , C N1， ——1 分∵ M , N 分别为 AB , CB 中点 ∴ MN ∥ AC ∥ A C1 1，∴A , M , N , C 1 1四点共面， ——3 分且平面BCC B Ç1 1平面A MNC1 1C N1又 DE Ì平面 BCC B ，且 DE ∥平面 A MC ∴ DE ∥ C N1 1 1 1 1∵ D 为 CC 的中点，∴ E 是 CN 的中点， ——5 分 1∴CE 1=EB 3． ——6 分（2）连结 B M ，因为三棱柱 ABC -A B C 1 1 1 1为直三棱柱，1 10 ∴AA ^1平面ABC∴AA ^ AB1，即四边形ABB A1 1为矩形，且AB =2 AA1∵M是AB的中点，∴B M ^ A M 1 1，又A C ^1 1平面ABB A1 1，∴A C ^ B M ，从而 B M ^平面 A MC ，∴ MC 是 B C 在平面 A MC 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1内的射影，∴B C1 1与平面A MC1 1所成的角为∠B C M1 1——9 分又B C1 1∥BC，∴直线 BC 和平面 A MC 所成的角即 B C 与平面 A MC1 1 1 1 1 1所成的角 ——10 分设AB =2 AA =21，且三角形A MC1 1是等腰三角形，∴A M AC1 1 12 ，则 MC12 ， B C1 16∴MC 6cos ÐB C M = 1 =B C 31 1∴直线BC和平面A MC1 1所成的角的余弦值为63． ——12 分21.（本题 12 分）解：（1）∵ f (2) =2 +a 2=2 +2 2，∴ a = 2 . ——1 分设 点 P 的 坐 标 为 ( x ,0y ) ， 则 有 y =x + 0 0 0x20， x >0 ， 0——2 分由 点 到直线的距离公式可知 ：| PM |=| x -y | 0 021= , | PN |=x ， ——4 分 x0故有 | PM | ×|PN |=1 ，即 | PM | ×|PN |为定值，这个值为 1.——5 分（2）由题意可设 M (t , t )，可知 N (0, y ) .0∵ PM 与直线 y =x 垂直，∴ kPM×1=-1，即y -t0x -t0=-1，0 2 2 22 0 P -BFE解得 t =12( x +y ) ，又 y =x + 0 0 0 0x2 2 ，∴ t =x + .2 x0 0——8 分∴ SDOPM=1 2+ ，2 x 2 20S1 2= x +DOPN 0——10 分∴ SOMPN=SDOPM+SDOPN1 1= ( x + ) + 2 ³1 + 2 , 2 x 20当且仅当 x =1 时，等号成立. 0——11 分∴ 此时四边形 OMPN 面积有最小值 1 + 2 . ——12 分22. （本题 12 分）解：（1）∵平面 PEF⊥平面 ABFED，平面 PEF PO ^ EF ,∴ PO ^平面ABFED,平面 ABFED=EF,PO Ì 平面 PEF——1 分不妨设CE =x，在RtDPOB中，PB2 =PO 2 +OB 2=32x2-6 x +16，——3 分当且仅当x =2，即 E 为 CD 中点时，PB 取得最小值. ——4 分1 (2 +4)V = × × 3 × 3 =3 3 2（2）令 AC 与 BD 的交点为 M，∵AQ =lQP——5 分，所以 Q 段 AP 上， ——6 分设 OQ 与平面 PBD 的交点为 N，则 N 段 PM 上，过 O 作OH ^ PM于 H，则 可证OH ^ 平面PBD,——8 分ÐONH为 直线 OQ 与平面 PBD 所成的角， ——9 分∵ RtDPOM 是等腰三角形，∴ÐPMO =ÐMPO =p4， ——10 分∴ ÐONH > ÐPMO 或 ÐONH > ÐMPO （三角形外角大于内角） ——11 分即ÐONH >p4π，所以直线 OQ 与平面 PBD 所成角一定大于 . ——12 分4。