二次根式二次根式本章内容第第5章章二次根式和它的化简二次根式和它的化简本课内容本节内容5.15.1.1 二次根式二次根式说一说说一说 如果一个数的平如果一个数的平方等于方等于4，那么把这，那么把这个数叫做个数叫做4的一个平的一个平方根方根.1.4 的平方根是什么意思？的平方根是什么意思？由于由于22=4，(-2)2=4，而其他数的平方不会等于而其他数的平方不会等于4，因此，因此4的平方根有且只有的平方根有且只有两个：两个：2与与-2.4 的平方根有哪些？的平方根有哪些？注意：注意：a(a0)的平方根是的平方根是a 2.2的算术平方根有哪些？的算术平方根有哪些？与与 ，其中，其中 叫做叫做2的算术平方根的算术平方根.22-2注意：注意：a(a0)的算术平方根是的算术平方根是a 3.0的平方根有哪些？的平方根有哪些？0 的平方根有且只有的平方根有且只有一个：一个：0.4.负实数有没有平方根？负实数有没有平方根？由于任何实数的平由于任何实数的平方都等于正数或方都等于正数或0，因此，因此负实数没有平方根负实数没有平方根.可以说明：可以说明：每一个正实数每一个正实数a有且只有两个平方有且只有两个平方根，其中一个平方根是正实数，记做根，其中一个平方根是正实数，记做 ，称它为，称它为a的算术平方根；另一个平方根是的算术平方根；另一个平方根是 a.-a00=0.,0的平方根记做的平方根记做 a 我们把形如我们把形如 的式子叫做的式子叫做二次根式二次根式，符号，符号“”叫做叫做二次根号二次根号，简称为，简称为根号根号，根号下的数叫做，根号下的数叫做被开方被开方数数.由于在实数范围内，负实数没有平方根，由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只因此只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义内有意义.二次根式的定义：二次根式的定义：举举例例例例1 当当x是怎样的实数时，二次根式是怎样的实数时，二次根式 在实数范围内有意义？在实数范围内有意义？1-x解解 由由 x-10，解得解得 x 1.因此，当因此，当x1时，时，在实数范围内有意义在实数范围内有意义.1-x 在本套教材中，我们都是在实数范围在本套教材中，我们都是在实数范围内讨论二次根式有没有意义，今后不再每内讨论二次根式有没有意义，今后不再每次写出次写出“在实数范围内在实数范围内”这几个字这几个字.注意注意22=24=20=21=3217=13222222=2（）是是 的的算算术术平平方方根根，根根据据算算术术平平方方根根的的意意义义，是是一一个个平平方方等等于于 的的非非负负数数，因因此此有有探究探究结论结论 对于非负实数对于非负实数a，由于，由于 是是a的一个平方根的一个平方根，因此因此a2 =0 .aa a()()()()举举例例例例2 计算：计算：22 1 5 2 2 2 ()()()()；()().()().2 1 5=5解解 ()()()()；222 2 2 2=2 2 =4 2=8()()().()()().在下面横线上填写适当的数：在下面横线上填写适当的数：做一做做一做由于由于22=4，因此，因此 ，即，即 =；4=222由于由于32=9，因此，因此 ，即，即 =；9=323由于由于42=16，因此，因此 ，即，即 =；16=424由于由于52=25，因此，因此 ，即，即 =；25=525由于由于1.52=2.25，因此，因此 ，即，即 =；2.25=1.521.523451.5这个猜测正确吗？这个猜测正确吗？根据上述结果，根据上述结果，当当a0时，你猜测时，你猜测 =.2aa(a0)结论结论由于由于a的平方等于的平方等于a2，因此，因此a是是a2的一个平方根的一个平方根.2=0 .aa a()()2a =a.又由于已知又由于已知a0，因此，因此 由此得出：由此得出：探究探究13这个猜测正确吗？这个猜测正确吗？根据上述结果，根据上述结果，当当a0时，你猜测时，你猜测 =.2a-a(a0)22=()()-24=()()-217=()()-21=3-结论结论由于由于-a的平方等于的平方等于a2，因此，因此-a是是a2的一个平方根的一个平方根.2a =a.-又由于已知又由于已知a0，因此，因此 由此得出：由此得出：)0(2aaa综上可得：综上可得：)0()0(2aaaaaa动脑筋动脑筋22?()与与有有区区别别吗吗aa2.从取值范围来看从取值范围来看:a0a取任何实数取任何实数1.从运算顺序来看从运算顺序来看:2a2a先开方先开方,后平方后平方先平方先平方,后开方后开方3.从运算结果来看从运算结果来看:2a2a2a2a=a00()()()-a a=a=a a 1.当当x是怎样的实数时，下列二次根式是怎样的实数时，下列二次根式 有意义？有意义？练习练习 1 2-x ()()；2 +5x ()()；3 1-x ()()；4 3-x ().().答案：答案：x2答案：答案：x-5答案：答案：x1答案：答案：x3 2.计算：计算：2 1 7()()()()；2 2 2 3()()()()；22 3 3 ()()；2 4 0.1 ()().()().答案：答案：7答案：答案：12答案：答案：0.149 答答案案：3.计算：计算：2 1 7 ()()；2 2 8 ()()；23 3 5 ()()；2 4 0.01 ().().答案：答案：7答案：答案：8答案：答案：0.0135 答答案案：小结与复习小结与复习a1.定义：定义：我们把形如我们把形如 的式子叫做二次根式，符号的式子叫做二次根式，符号“”“”叫做二次根号，简称为根号，根号下的数叫做被开方叫做二次根号，简称为根号，根号下的数叫做被开方数，被开方数数，被开方数a0.2.性质：性质：（1）（2）2 =0 .aa a()()()()20=0()()()-a aaaa a 中考中考 试题试题例例 （2010年北京中考年北京中考）若二次若二次 根式有意义，根式有意义，则则x的取值范围是的取值范围是_.21-x答案：答案：12x结结 束束。