南昌二中物理竞赛教程浅谈光学中的成像问题光在同一种均匀介质中传播时遵循光的直线传播规律，若从一种介质进入另一种介质，在其介面上要同时发生反射与折射现象，其光线分别遵循光的反射定律与光的折射定律，这就是几何光学的三大传播规律在高中物理竞赛的过程中，经常会遇到有关物体成像问题光学中的成像问题可归结为两类：一类是反射成像，也就是反射光直接相交成像（实像），或反射光延长线相交成像（虚像 ）；另一类是折射成像，也就是折射光直接相交成像（实像），或折射光延长线相交成像（虚像 ） 现将光学竞赛中涉及的成像问题作一归类分析.一、 反射镜与反射成像反射镜遵循光的反射定律，如果反射面是平的我们就称是平面镜，如果反射面是球面的一部分，这种镜叫球面镜反射面如果是凹面的叫凹面镜，简称凹镜；反射面是凸面的叫凸面镜，简称凸镜它们有共同的成像规律：成像公式：=（为球面镜的曲率半径）像的长度放大率：这些公式只适用于近轴光线成像的符号法则与透镜类似，即实物为正值，虚物为负值；实像为正值，虚像为负值；凹镜的焦距f>0，凸镜的焦距f<0而对于平面镜可看作是球面镜的一个特例，即曲率半径R=∞这样，我们可得到平面镜成像的简单公式：二、 折射镜与折射成像棱镜与透镜的成像规律遵循光的折射定律，属于折射镜。
这里只谈薄透镜成像的规律薄透镜是一种理想化的物理模型，它们两表面的曲率中心之间的距离大于它两个顶点之间的距离对近轴光线，其成像规律与球面镜相似成像公式： 其中透镜的焦距( 、是二球面的半径，n是透镜的折射率)像的长度放大率：、的符号法则：实物为正值，虚物为负值；实像为正值，虚像为负值；凸透镜的焦距f>0，凹透镜的焦距f<0三、 光具组成像 各个光学元件组成的光光系统称为光具组解物体通过光具组成像这类问题的总原则是：物体通过前一光学元件所成的像就是后一光学元件的物，遇到平面镜、球面镜等反射镜，就考虑光线折回后再成像这一点具体地说，可有以下几个结论：1、后一次成像的物距（有正负）等于前后两光具的距离（总为正）与前一次成像的像距（有正负）之差，即2、最终成像位置由最后一个光具所成像的位置决定表示最终成像在最后光具沿主轴的正向侧，表示最终成像在最后光具的反向侧3、最终成像的虚实，由最后一次成像决定，为实像，为虚像4、总放大系数等于各次放大系数的乘积，即5、最后成像正倒的确定：先根据单次成像时，实物成实像与虚物成虚像为倒立，实物成虚像与虚物成实像为正立的原则确定正、倒立的总次数，再根据倒立了偶数次则最终成像正立、倒立了奇数次则最终成像倒立确定最终成像的正倒情况。
如果各光学元件之间的距离，那么整个光具组的总焦距f与各个光学元件的焦距f1、f2、f3之间存在如下的关系：我们就可应用整个光具组成像法解决成像问题四、 应用举例例1：一平行光沿薄平凸透镜的主光轴入射，经透镜折射会聚于透镜后f=48cm处，透镜的折射率为n=1.5若将此透镜的凸面镀银，物置于平面前12cm处，求最后所成像的位置分析与求解：根据透镜的焦距公式，而r1=∞, 解得凸球面的半径r2=24cm.凸面镀银后，相当于有三个光学元件组合成像，即先通过透镜折射成像，再经球面镜反射成像，最后再经透镜折射成像先经透镜成像，得再经凹面镜成像， 得最后又经透镜成像 ，，即最后成像在透镜前24cm处 此题还有另外一种解法由于三个光学元件之间的间距为0，设整个光学系统的总焦距为f，则有，得光具的总焦距为f=8cm.再由成像公式，，得例2：在焦距为15cm的会聚透镜左方30cm处放一物体，在透镜右侧放一垂直于主轴的平面镜，试求平面镜在什么位置，才能使物体通过此系统所成的像距离透镜30cm?分析与求解：设平面镜与透镜的距离为d，物距,焦距， 得由平面镜成像时，最后又经透镜成像， 解得若成实像， 此时d=30cm若成虚像， 此时d=20cm例3：设有两个薄凸透镜o1和o2，其焦距分别为f1=20cm，f2=30cm，两者共轴，相距d=35cm，在主光轴上透镜o1左方100cm处垂直于主轴放一长为4cm的物体，求最终成像的位置、大小和虚实情况。
分析与求解：物体先经透镜o1成像，物距,焦距由， 得放大率再经透镜O2成像，，焦距由，得放大率最终成像的总放大率，像长为1.5cm倒立的虚像，像在透镜O2左方15cm处例4、一平凸透镜焦距为f，其平面上镀了银，现在其凸面一侧距它2f处，垂直于主轴放置一高为Ｈ的物，其下端在透镜的主轴上1、用作图法画出物经镀银透镜所成的像，并标明该像是虚、是实2、用计算法求出此像的位置和大小 分析与求解：1. 用作图法求得物，的像及所用各条光线的光路如图预解16-5所示说明：平凸薄透镜平面上镀银后构成一个由会聚透镜和与它密接的平面镜的组合，如图所示．图中为的光心，为主轴，和为的两个焦点，为物，作图时利用了下列三条特征光线：（1）由射向的入射光线，它通过后方向不变，沿原方向射向平面镜，然后被反射，反射光线与主轴的夹角等于入射角，均为反射线射入透镜时通过光心，故由透镜射出时方向与上述反射线相同，即图中的．（2）由发出已通过左方焦点的入射光线，它经过折射后的出射线与主轴平行，垂直射向平面镜，然后被反射，反射光线平行于的主轴，并向左射入，经折射后的出射线通过焦点，即为图中的．（3）由发出的平行于主轴的入射光线，它经过折射后的出射线将射向的焦点，即沿图中的方向射向平面镜，然后被反射，反射线指向与对称的点，即沿方向。
此反射线经折射后的出射线可用下法画出：通过作平行于的辅助线，通过光心，其方向保持不变，与焦面相交于点，由于入射平行光线经透镜后相交于焦面上的同一点，故经折射后的出射线也通过点，图中的即为经折射后的出射光线上列三条出射光线的交点即为组合所成的点的像，对应的即的像点．由图可判明，像是倒立实像，只要采取此三条光线中任意两条即可得，即为正确的解答2.计算物经组合所成像的位置、大小解法一：按光具组整个系统成像计算像的位置和大小由于三个光学元件之间的间距为0，设整个光学系统的总焦距为这三个光学元件分别是两个透镜和一个平面镜根据，其中，∞解得光具组的总焦距再由成像公式，得 总的放大率，像高为物高的解法二：按陆续成像计算物经组合所成像的位置、大小物经透镜成的像为第一像，取，由成像公式可得像距，即像在平向镜后距离处，像的大小与原物相同，第一像作为物经反射镜成的像为第二像第一像在反射镜后处，对来说是虚物，成实像于前处像的大小也与原物相同，第二像作为物，而经透镜而成的像为第三像，这时因为光线由右方入射，且物（第二像）位于左方，故为虚物，取物，由透镜公式可得像距 上述结果表明，第三像，即本题所求的像的位置在透镜左方距离处，像的大小可由求得，即 ，像高为物高的。
例5、两个薄透镜L1和L2共轴放置，如图所示已知L1的焦距f1＝f，L2的焦距f2＝－f，两透镜间距离也是f小物体位于物面P上，物距u1＝3f1）小物体经这两个透镜所成的像在L2的＿＿＿＿边，到L2的距离为＿＿＿＿，是＿＿＿＿像（虚或实）、＿＿＿＿像（正或倒），放大率为＿＿＿＿2）现在把两透镜位置调换，若还要给定的原物体在原像处成像，两透镜作为整体应沿光轴向＿＿＿＿边移动距离＿＿＿＿这个新的像是＿＿＿＿像（虚或实）、＿＿＿＿像（正或倒），放大率为＿＿＿＿分析与求解：（1）由题意知：，f1=f 得而，得放大率所以像成在L2的右边，到L2的距离为f，像的放大率为1，是倒立的实像2）根据光路可逆原理及共轭成像的规律，物距应为f，最终的像距为3f整个光具组应向左移动2f，成倒立等大的实像一道光学竞赛试题的解法探析2004年第21届全国中学生物理竞赛预赛题试卷第6题，此题涉及有关单球面折射成像问题而原试卷评分标准中的分析与解答显得非常繁琐，计算任务艰巨，学生在应试时很难解答完整笔者参加了这次预赛试题的评卷工作，发现很多学生对该题没有解答，有的同学只是乱画了一些光路图，没有形成正确的解题的思维程序。
本文就从不同的角度谈谈该题的一些解法原题（2004年第21届全国中学生物理竞赛预赛题试卷第6题）一种高脚酒杯，如图1所示．杯内底面为一凸起的球面，球心在顶点O下方玻璃中的C点，球面的半径R = 1.50cm，O到杯口平面的距离为8.0cm．在杯脚底中心处P点紧贴一张画片，P点距O点6.3cm．这种酒杯未斟酒时，若在杯口处向杯底方向观看，看不出画片上的景物，但如果斟了酒，再在杯口处向杯底方向观看，将看到画片上的景物．已知玻璃的折射率，酒的折射率．试通过分析计算与论证解释这一现象．一、利用单球面折射成像公式直接求解光在单球面上从一种介质折射进入另一种介质时，其成像公式可表示为：式中和分别为物距和像距，和分别是物方和像方的介质的折射率，为球面的半径，其中、和都含有符号如图2所示，并且我们这样来规定它的符号法则：①以球面顶点（O）为参考点②都以实际光线进行方向做为参考方向，如果该距离与实际光线方向一致，那么该距离为“+”，反之为“负”在图2中，C为球面的球心，根据符号法则以球面顶点O为参考原点，因为S点在球面的左方，故实际光线方向应该是由左到右为距离的正方向物距为OS与实际光线参考方向相反，取负号；像距为OS`与实际光线参考方向相同，取正号；而球面半径为OC方向与实际光线参考方向相反，取负号。
1．未斟酒时的成像规律杯底凸球面的两侧介质分别为玻璃和空气，其折射率分别为： 物距 由单球面成像公式得： 解得，像距为“正”的7.9说明像在符号法则的正方向如图3所示，由此可见，未斟酒时，画片上景物所成实像在杯口距O点7.9cm处．已知O到杯口平面的距离为8.0cm，当人眼在杯口处向杯底方向观看时，该实像离人眼太近，所以看不出画片上的景物．2．斟酒后的成像规律杯底凸球面两侧介质分别为玻璃和酒，其折射率分别为： 物距 由单球面成像公式得： 解得像距为“负”的13cm说明像在符号法则的负方向如图4所示由此可见，斟酒后画片上景物成虚像于S＇处，距O点13cm．即距杯口21cm虽然该虚像还要因酒液平表面的折射而向杯口处拉近一定距离，但仍然离杯口处足够远，所以人眼在杯口处向杯底方向观看时，可以看到画片上景物的虚像．二、利用近轴光线成像规律求解1．未斟酒时的成像规律图预解7－1杯底凸球面的两侧介质的折射率分别为n1和n0＝1．在图5中，P为画片中心，由P发出经过球心C的光线PO经过顶点不变方向进入空气中；由P发出的与PO成a 角的另一光线PA在A处折射．设A处入射角为i，折射角为r，半径CA与PO的夹角为q ，由折射定律和几何关系可得： 在△PAC中，由正弦定理，有 考虑近轴光线成像，a、i、r都是小角度，则有 由以上各式中的n0、n1、R的数值及，可得 因此有 由上式及图5可知，折射线将与PO延长线相交于，即为P点的实像．画面将成实像于处．在△CA P＇中，由正弦定理有 又有 考虑到是近轴光线，可得：又有由以上各式并代入数据，可得 由此可见，未斟酒时，画片上景物所成实像在杯口距O点7.9cm处．已知O到杯口平面的距离为8.0cm，当人眼在杯口处向杯底方向观看时，该实像离人眼太近，所以看不出画片上的景物．2．斟酒后的成像规律杯底凸球面两侧介质分别为玻璃和酒，折射率分别为n1和n2，如图6所示。
考虑到近轴光线有： 代入n1和n2的值，可得由此我们知道 由上式及图6可知，折射线将与OP延长线相交于，即为P点的虚像．画面将成虚像于处．计算可得： 又有由以上各式并代入数据得 ＝13cm由此可见，斟酒后画片上景物成虚像于P＇处，距O点13cm．即距杯口21cm ．虽然该虚像还要因酒液平表面的折射而向杯口处拉近一定距离，但仍然离杯口处足够远，所以人眼在杯口处向杯底方向观看时，可以看到画片上景物的虚像．- 10 -用心 爱心 专心。