第二章 2.1 平面向量的实际背景及基本概念A级 基础巩固一、选择题1．下列说法中，正确的个数是( B )①时间、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一个正实数；③相等向量一定是平行向量；④向量a与b不共线，则a与b都是非零向量．A．1 B．2 C．3 D．4[解析] 对于①，时间没有方向，不是向量，摩擦力、重力都是向量，故①错误；对于②，零向量的模为0，故②错误；③正确，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量；④显然正确．2．下列说法中，不正确的是( D )A．向量的长度与向量的长度相等B．任何一个非零向量都可以平行移动C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同[解析] 很明显选项A，B，C正确，共线向量只与方向有关，方向相同或相反的向量都是共线向量，所以选项D不正确．3．下列命题中正确的个数为( B )①两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同；②若非零向量与共线，则A、B、C、D四点共线；③若非零向量a与b共线，则a＝b；④四边形ABCD是平行四边形，则必有||＝||；⑤a∥b，则a、b方向相同或相反．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个[解析] ①显然错误；②中与共线，只能说明AB、CD所在直线平行或在一条直线上，所以错；③a与b共线，说明a与b方向相同或相反，a与b不一定相等，所以③错；④对；⑤a可能为零向量，则a∥b，但零向量的方向为任意的，所以⑤错．4．某人向正东方向行进100米后，再向正南方向行进100米，则此人位移的方向是( C )A．南偏东60 B．南偏东45C．南偏东30 D．南偏东15[解析] 如图所示，此人从点A出发，经由点B，到达点C，则tan∠BAC＝＝，∴∠BAC＝60，即位移的方向是东偏南60，即南偏东30，应选C．5．命题“若a∥b，b∥c，则a∥c”( C )A．恒成立 B．当a≠0时成立C．当b≠0时成立 D．当c≠0时成立6．下列说法正确的是( C )A．若|a|＝|b|，则a、b的长度相等且方向相同或相反B．若向量、满足||>||，且与同向，则>C．若a≠b，则a与b可能是共线向量D．若非零向量与平行，则A、B、C、D四点共线[解析] A不正确．|a|＝|b|，但a与b方向可任意．B不正确，向量不能比较大小．C正确．D不正确.与平行，则直线AB与CD可能平行，可能重合，则A，B，C，D四点不一定共线，故选C．二、填空题7．零向量与单位向量的关系是__共线__(填“共线”、“相等”、“无关”)．8．等腰梯形ABCD两腰上的向量与的关系是 ||＝|| ．三、解答题9．如图，以12方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中，(1)写出与、相等的向量；(2)写出与模相等的向量．[解析] (1)与相等的向量为、，与相等的向量为．(2)，，．10．如图所示，43的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：(1)与相等的向量共有几个；(2)与平行且模为的向量共有几个？(3)与方向相同且模为3的向量共有几个？[解析] (1)与向量相等的向量共有5个(不包括本身)．(2)与向量平行且模为的向量共有24个．(3)与向量方向相同且模为3的向量共有2个．B级 素养提升一、选择题1．若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为( C )A．平行四边形 B．矩形C．菱形 D．等腰梯形[解析] 由＝⇒BA∥CD且||＝||，又||＝||，故四边形ABCD为菱形. 2．下列说法中错误的是( C )A．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段B．若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量C．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D．方向相反的两个非零向量必不相等[解析] 长度相等方向相反的两个向量为相反向量，一定为共线向量，故C错误．3．等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD相交于点P，点E，点F分别在两腰AD，BC上，EF过点P且EF∥AB，则下列等式正确的是( D )A．＝ B．＝C．＝ D．＝[解析] 由相等向量的定义，显然＝．4．已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列命题中错误的是( B )A．CA B．A∩B＝{a}C．CB D．A∩B{a}[解析] 因为A∩B中还含有a方向相反的向量，所以B错．二、填空题5．如图ABCD是菱形，则在向量、、、、和中，相等的有__2__对．[解析] ＝，＝.其余不等．6．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于__3π__．[解析] 这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π22－π12＝3π．三、解答题7．如图所示，已知四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．(1)与相等的向量有哪些？(2)与共线的向量有哪些？(3)若||＝1.5，求||的大小．[解析] (1)与相等的向量即与同向且等长的向量，有，．(2)与共线的向量即与方向相同或相反的向量，有，，，，，，．(3)若||＝1.5，则||＝||＝||＋||＝2||＝3．8．已知飞机从甲地按北偏东30的方向飞行2000km到达乙地，再从乙地按南偏东30的方向飞行2000km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行1000km到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？[解析] 如图所示，A、B、C、D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，三角形ABC为正三角形，∴AC＝2000km．又∵∠ACD＝45，CD＝1000，∴△ACD为直角三角形，即AD＝1000km，∠CAD＝45．答：丁地在甲地的东南方向，距甲地1000km．C级 能力拔高如图四边形ABCD、CEFG、CGHD都是互相全等的菱形，则下列关系不一定成立的是( C )A．|＝|| B．与共线C．＝ D．与共线[解析] A一定成立，B一定成立，D因与一定不共线，故一定不成立，故选C．。
