广东省广州市番禺区 2016-2017 学年高二数学下学期期末考试试题理班别________________ 姓名 ________________ 学号 ________________第Ⅰ卷一．选择题：（共 12 小题，每小题5 分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项 ）1．设集合 M { m Z | 3 m 2} ， N { n Z | 1≤ n≤ 3}，则M N （）A． 0，1 B． 1，0 1， C ． 0，1，2 D． 1，0，1，22. 复数3 2i2 3i（）开始A． i B． i C． 12 13i D．12 13i3. 函数f1x(x) 2 的图像（）x2x=1，y=1，k=0A．关于原点对称 B．关于 x轴对称C． 关于 y轴对称 D．关于直线y x轴对称s= x-y，t =x+y2 y 2x4. 双曲线16 32 y2 r 2 r的渐近线与圆( 3) ( 0)x 相切，则rx=s，y=t（） A． 3 B.2 C.3 D.6k=k+15. 从 20 名男同学， 10 名女同学中任选3 名参加体能测试，则选到的 3 名同否 学中既有男同学又有女同学的概率为（）k≥ 39 10 19A． B． C． D．29 29 296. 已知函数 f (x) x2 bx c 的两个零点2029x1, x满足 x1 x 3，集合2 2是输出 (x，y)A m f (m) 0 ，则（ ）结束 A．? m∈A，都有 f ( m＋ 3)>0 B ．? m∈A，都有 f ( m＋3)<0C．? m0∈A，使得 f ( m0＋ 3) ＝0 D ．? m0∈A，使得 f ( m0＋3)<07.执行如右图所示的程序框图，输出的结果为（）A． 2，2 B． 4，0 C． 4， 4 D． 0， 88. 三角形中， ,则（ ）A． B.C. D.x y 09. 若 x，y满足约束条件 x y 3 0, 且 z 2x y的最大值为 9．则实数 m 的值为（）0 x mA．12 B. 1C. 2 D. 310. 已知抛物线2C : y 8x 的焦点为 F ，准线与 x 轴的交点为 K ，点 A在 C 上且，且△ AFK 的面积为 8，则( )A. B. C. D.11. 设函数 , 则使得 f (x) f (2 x 1)成立的 x 的取值范围是（）A． B ．1, 1,3C ．1 1 ,3 3D ．1 1, ,3 312. 矩形 P1P2P3P4 纸长宽比为 2 :1， A,B,C,D 为各边中点。
现进行 如下折叠操作：先将矩形沿折痕 AC 折起一定角度；再将AP1B , BP2C, C P3 D, DP4A分别沿折P1B P2痕 AB, BC,CD,DA 折起，使得四点P1, P2 , P3, P4 重合为一点， 记为 P 针对所得到的几何体有以下说法：A C①所得到的几何体是三棱锥； ②所有的面是全等的三角形③所有的二面角中 恰有 3 个是060 的二面角其中 正确 的有（ ）P4DP3A. ①②③ B. ② C.③ D. ①②第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分第（ 13）题- 第（21）题为必考题，每个考生都必须作答第（22）题- 第（23）题为选考题，考生根据要求作答二．填空题：（本大题共 4小题，每小题 5分）13. 已知 { a } 为等差数列， Sn 为其前 n 项和，若 a1 6 ， a3 a5 0 ，则 S6 = _______..n2 1(1 2x ) 1x814.的展开式中常数项为 ．（用数字作答）15. △ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 2cos C( a cosB+b cos A) c.则 C =__ ______．16. 在△ABC 中，0CAB 90 ，点 M ， N 满足 AM 2MC ， BN NC ．若 MN xAB y AC ，则 x y ．三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分 12 分）（换数列，已经有了）数列的前项和为，满足 ,.（Ⅰ）求证： ；（Ⅱ）是否存在常数，使得数列为等比数列？若存在求出；若不存在则说明理由18. （本小题满分 12 分）某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取 100 件作为样 本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图频率分布直方图：（Ⅰ）求直方图中 a 的值；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为， 这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布2N (200,12.2 ) ，试计算数据落在(187.8,212.2) 上的概率．参考数据：若2Z ~ N( , )，则 P( Z ) 0.6826 ，P( 2 Z 2 ) 0.9544 ．（Ⅲ）设生产成本为 y ，质量指标为 x ，生产成本与质量指 标之间满足函数关系y0.4x, x 205,假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试计算生产该食品的0.8x 80,x 205,平均成本．19. （本小题满分 12 分）如图，在三棱柱 ABC A1B1C 中，侧棱 AA1 底面ABC， AB AC 2 AA1 ， BAC 120 ， D, D1 分CDA BP别是线段BC,B C 的中点， P是线段 AD 的中点．1 1（Ⅰ）在平面 ABC 内，试作出过点 P 与平面 A1BC 平C1D1行的直线 l ，说明理由，并证明直线 l 平面 ADD1 A1 ；A1B1（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线 l 交 AB于点 M ，交 AC 于点 N ，求二面角A A M N 的余弦值．120. （本小题满分 12 分）设, 直线, 两直线交点为 .（Ⅰ）求点 P轨迹 C的方程（Ⅱ）设，M 是曲线 C上(x 轴上方 ) 一点且 MF2 与 x 轴垂直，直线 MF1 与曲线 C的另一个交点为 N ，且 ( 0)MF1 F N ，求 。
121. （本小题满分 12 分）已知函数 f (x) xln x x ，a2g (x) x ax( a R) . 2（Ⅰ）若 f (x) 和 g(x) 在(0, ) 有相同的单调区间，求 a的取值范围；（Ⅱ）令 h(x) f ( x) g( x) ax （ a R ），若 h( x) 在定义域内有两个不同的极值点．（i ）求 a 的取值范围；（ii ）设两个极值点分别为 x1， x2 ，证明：2x x e ．1 2请考生在第 22、23 二道题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑22．（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程1已知直线 l 经过点 ,1)P( ，倾斜角26，圆 C 的极坐标方程为 2 cos( ) ．4（Ⅰ）写出直线 l 的参数方程，并把圆 C 的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设 l 与圆 C 相交于 A, B 两点，求点 P 到 A,B 两点的距离之积．23．（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲1 4已知 a b 1，对 a,b (0, ), 2x 1 x 1 a b（Ⅰ）求1a＋4b的最小值；（Ⅱ ）求 x 的取值范围。
2016-2017 学年度第二学期广东仲元中学高二年级理科期末测试题数学（理）试题答案一．选择题：共 12 小题，每小题5 分，共 60 分题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B A A A D A B C D B A D二．填空题：本大题共 4小题，每小题5分13. 6 ； 14.57 ； 15. ； 16.13；三. 解答题：写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 解：（Ⅰ）由 , 得则⋯ 4 分（Ⅱ）由上问可以知道该数列奇数项偶数项分别成等比数列，公比为，要想整个数列成等比数列，当且仅当前 3项成等比数列即可在中令 ,则, 即则,所以．⋯ 12 分18. 解：（Ⅰ） a 0.033．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2Z ~ N (200,12.2 ) ，从而P (187.8 Z 212.2) P(200 12.2 Z 200 12.2) 0.6826（III ）由题设条件及食品的质量指标的频率分布直方图，得食品生产成本分组与频率分布表如下：组号 1 2 3 4 5 6 7分组66,70 (70,74] (74,78] (78,82] (82,92] (92,100] (100,108]频率 0.02 0.09 0.22 0.33 0.24 0.08 0.02根据题意，生产该食品的平均成本为70 0.02 74 0.09 78 0.22 82 0.33 92 0.24 100 0.08 108 0.02 84.52．19. 解:如图, , // , 2 在平面 内过点 作直线⋯ 分 ABC P l BC因为l 在平面 A1BC 外, BC 在平面 A1BC 内, 由直线与平面平CDA BN P ME行的判定定理可知 , l // 平面 A1BC . ⋯ 2 分C1FD1由已知 , AB AC , D 是 BC 的中点 , 所以 , BC AD ,则直A1B1线l AD .因为AA 平面 ABC , 所以 A A1 直线l . 又因为AD, AA1 在平面 ADD1A1 内, 且 AD 与 A A1 相交 ,1所以直线平面 ADD1A1 ⋯ 5 分解法一 :设（Ⅰ）中的直线l 交 AB于点 M ，交 AC 于点 N ，连接A P ,过A作 AE A1P于 E ,过E 作 EF A1M 于 F ,连接 AF .1由 知, MN 平面 AEA1 , 所以平面 AEA1 平面 A1MN .所以 AE 平面 A1MN ,则A1M AE .所以A M 平面 AEF ,则A1M AF .1故 AFE为二面角A A M N 的平面角 (设为). ⋯ 8 分1设AA1 1,则由 AB AC 2 AA1, BAC 120 , 有 BAD 60 , AB 2, AD 1 .又 P为AD 的中点 , 所以 M为AB的中点 , 且1AP , AM 1,2在5Rt AA P 中 , A1P ; 在12Rt A AM 中, A1M 2 .1从而 ,AEAA AP1A P115,AFAA AM1A M112, ⋯ 10 分所以sinAEAF25.所以22 2 15cos 1 sin 15 5.故二面角A AM N 的余弦值为1155⋯ 12 分ZC解法二 : DN P设（Ⅰ）中的直线l 交 AB于点 M ，交 AC 于点 N ，AMB设AA 1 A A E BC A . , , , 如图过 作 平行于 以为坐标原点 分 1 1 1 1 1 1别以A1E, A1D1 , AA1 的方向为x轴, y轴, z轴的正方向 , 建立空C1A1D1YB1间直角坐标系 Oxyz ( 点 O与点 A1 重合 ). ⋯ 6 分则, A 0,0,1 .X因为P为AD 的中点 , 所以 M , N 分别为AB, AC 的中点 , 故3 1 3 1M , ,1 , N , ,1 ,2 2 2 23 1A M , ,1 , A1 A 0,0,1 , NM 3,0,0 ⋯ 7 分12 2设平面AA M 的一个法向量为n1 x1, y1,z1 , 则1n AM,1 1n A A,1 1即n A M1 1n A A1 10,0,故有3 1x , y, z , ,1 0,1 1 12 2x , y, z 0,0,1 0,1 1 13 1x y z从而 1 1 12 20,取 x1 1, 则y1 3 , 所以 n1 1, 3,0 ⋯ 9 分z10.设平面A MN 的一个法向量为n2 x2 ,y2,z2 , 则1n A M2 1,n A M 0,2 1即 故有3 1x , y ,z , ,1 0,2 2 22 2n NM2,n NM20,x ,y ,z 3,0,0 0,2 2 2从而3 1x y z2 2 22 20,3x 0.2取 y2 2 ,则z2 1, 所以 n2 0,2, 1 . ⋯ 11 分设二面角A AM N 的平面角为, 又为锐角 ,1n n则 1 2cosn n1 21, 3,0 0,2, 1 152 5 5.故二面角A AM N 的 余弦值为1155⋯ 12 分20. 解：（I ）两直线方程分别为,相乘得到整理得到： (⋯ 6 分2 2x y（Ⅱ） ( ,0), ( ,0)F2 m F m ，设M (m, y)代入方程 11 2 24m 3m中，可以得到y32mMF21。
做 NN1垂直 x轴，垂足为N1 ，则MF1F2 , F1NN1 相似，则NN，那么3mNN ，12F F1 2同样N F1 1，那么2mN F1 ⋯ 8 分1m(2 ) 3m所以 N( , ) ，⋯ 10 分22 2x y代入方程 1中，得到 ( 1)( 3 7) 0 ，解得2 24m 3m73⋯ 12 分21. 解：（Ⅰ） f (x) x ln x x ．函数 f ( x) 的定义域为(0, ) ， f '(x ) ln x ，当 x 1时， f '(x ) 0 ；当 0 x 1时， f '( x) 0 .所以 f (x) 在 (0,1) 上单调递减，在 (1, )上单调递增．a a2 2g(x) x ax (x 2x) (a R) 若在 (0,1) 上单调递减，在 (1, )上单调递增，2 2则a 0．（Ⅱ）（i ）依题意，函数 h(x) 的定义域为(0, )， h'( x) ln x ax ，所以方程 h '(x) 0在 (0, ) 有两个不同根．即方程 ln x ax 0在 (0, ) 有两个不同根，转化为，函数 y ln x 与函数 y ax的图象在 (0, )有两个不同交点，如图．可见，若令过原点且切于函数 y ln x图象的直线斜率为k ，只需 0 a k .令切点A(x ,ln x ) ，所以0 0k y'|x x01x0，又kln x0x0，所以1 ln x0x x0 0，解得x e，于是0k1e，所以0 a1e.（ii ）由（ i ）可知 x1 ， x2 分别是方程 ln x ax 0的两个根，即ln x ax ， ln x2 ax2 ，不妨设x1 x2 ，作差得1 1x1ln a( x x )1 2x2，即ax1lnx2x x1 2，原不等式2x x e 等价于1 2ln x ln x 2，即 a( x1 x2 ) 2，即1 2lnx (x x )1 1 2x x x2 1 2，x令 1x2t ，则t 1， lnx 2(x x )1 1 2x x x2 1 2，即 lnt2(t 1)t 1，F (t) lnt设2(t 1)t 1， t 1，2(t 1)F '(t) 02t(t 1)，∴函数 F (t) 在 (1, )上单调递增，∴ F (t) F (1) 0 ，即不等式 lnt2(t 1)t 1成立，故所证不等式2x x e 成立．1 222. 解：（I ）直线l 的参数方程为1x t cos2 6y 1 t sin6，即1 3x t2 21y 1 t2（ t为参数）⋯ 2 分由 2 cos( )4得 cos sin ，所以2 cos sin . ⋯ ⋯ 4 分得2 2x y x y ，即1 1 12 2(x ) (y ) . ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 5 分2 2 2（II ）把1 3x t2 2 1y 1 t 2代入1 1 12 2(x ) ( y ) ，得2 2 22 1 1t t 0 ，⋯ 8 分2 41PA PB t t . ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 10 分1 24（23）解：∵ a 0， b 0 且 a b 1∴1 4 1 4 (a b)( )a b a bb 4a b 4a5 5 2 9，a b a b当且仅当 b 2a时等号成立，又 a b 1，即1 2a ,b时，等号成立， 3 3故1 4a b的最小值为9 ，⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 5 分因为对a,b (0, ) ，使1 4a b2x 1 x 1恒成立，所以 2x 1 x 1 9， ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 7 分当 x 1时， 2 x 9， ∴ 7 x 1，⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 8 分当11x时， 3x 9， ∴211x ， ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 9 分2当1x时， x 2 9，∴212x 11，∴ 7 x 11⋯ ⋯ 10 分。