弹簧类问题的几种模型及其处理方法陕西省宝鸡市教育局教研室 赵金明学生对弹簧类问题感到头疼的主要原因有以下几个方面： 首先，由于弹簧不断发生形变，导致物体的受力随之不断变化， 加速度不断变化，从而使物体的运动状态和运动过程较复杂 其次，这些复杂的运动过程中间所包含的隐含条件很难挖掘 还有，学生们很难找到这些复杂的物理过程所对应的物理模型以及处理方法根据近几年高考的命题特点和知识的考查， 笔者就弹簧类问题分为以下几种类型进行分析，供读者参考一、弹簧类命题突破要点1 •弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力当题目中出现弹簧时，首先要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应， 在题目中一般应从弹簧的形变分析入手， 先确定弹簧原长位置、现长位置、平衡位置等，找出形变量 x与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，结合物体受其他力的情况来分析物体运动状态2 •因软质弹簧的形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变，因此， 在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不突变3•在求弹簧的弹力做功时，因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计 算，也可据动能定理和功能关系：能量转化和守恒定律求解。
同时要注意弹力做功的特点：弹力做功等于弹性势能增量的负值弹性势能的公式'1 ，高考不作定量要求，可作定性讨论，因此在求弹力的功或弹性势能的改变时， 一般以能量的转化与守恒的角度来求解二、弹簧类问题的几种模型1 •平衡类问题例1 •如图1所示，劲度系数为 k1的轻质弹簧两端分别与质量为 ml、m2的物块拴接，劲 度系数为k2的轻质弹簧上端与物块 m2拴接，下端压在桌面上（不拴接），整个系统处于平在此过程中，衡状态现施力将 ml缓慢竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面m2的重力势能增加了 ， ml的重力势能增加了 分析：上提 ml之前，两物块处于静止的平衡状 态,所以有:y ［；「丄二门「 其中，二、:分别是弹簧k1、k2的压缩量当用力缓慢上提 ml,使k2下端刚脱离桌面时，t I用注八 讥，弹簧k2最终恢复原长，其中，为此时弹簧k1的伸长量2答案：m2上升的高度为 二，增加的重力势能为附叭=—一念 ,m1上升的高度为1 :，增加的重力势能为礙屮屮机啲（冲£客空点评：此题是共点力的平衡条件与胡克定律的综合题， 题中空间距离的变化，要通过弹簧形变量的计算求出注意缓慢上提，说明整个系统处于动态平衡过程。
例2.如上图2所示，A物体重2N , B物体重4N，中间用弹簧连接，弹力大小为 2N，此时吊A物体的绳的拉力为 T , B对地的压力为F,贝U T、F的数值可能是A . 7N , 0 B. 4N , 2N C. 1N, 6N D. 0, 6N分析：对于轻质弹簧来说，既可处于拉伸状态，也可处于压缩状态所以，此问题要分两种 情况进行分析1) 若弹簧处于压缩状态，则通过对 A、B受力分析可得： / II, /」(2) 若弹簧处于拉伸状态，则通过对 A、B受力分析可得：答案：B、D考查学生对问题进行全面分析 若某一种情况物体受力情况和物体所处状态不符，必须排除所以，对这类问题必须经过受力分析结合物体运动状态之后 作出判断平衡类问题总结：这类问题一般把受力分析、 胡克定律、弹簧形变的特点综合起来，考查学生对弹簧模型基本知识的掌握情况 只要学生静力学基础知识扎实， 学习习惯较好，这类问题一般都会迎刃而解，此类问题相对较简单2.突变类问题 例3. (2001年上海)如图3所示，一质量为 11的一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为 线剪断，求剪断瞬时小球的加速度若将图 簧，如 图4所 示，其 他条件 不变， 求剪断 细线12 瞬时小 球的加 速度。
m的小球系于长度分别为11、12的两根细线上，0, 12水平拉直，小球处于平衡状态现将 123中的细线11改为长度相同、质量不计的轻弹点评：此题主要针对弹簧既可以压缩又可以拉伸的这一特点， 的能力有时，表面上两种情况都有可能，但必须经过判断，分析：(1)当剪断细线12瞬间，不仅12对小球拉力瞬间消失，11的拉力也同时消失，此时， 小球只受重力作用，所以此时小球的加速度为重力加速度 g2) 当把细线11改为长度相同、质量不计的轻弹簧时，在当剪断细线 12瞬间，只有12对小球拉力瞬间消失，弹簧对小球的弹力和剪断 12之前没变化，因为弹簧恢复形变需要一个过程如图5所示，剪断12瞬间，小球受重力 G和弹簧弹力，所以有：方向水平向右点评：此题属于细线和弹簧弹力变化特点的静力学问题， 学生不仅要对细线和弹簧弹力变化特点熟悉，还要对受力分析、力的平衡等相关知识熟练应用，此类问题才能得以解决突变类问题总结：不可伸长的细线的弹力变化时间可以忽略不计， 因此可以称为突变弹力轻质弹簧的弹力变化需要一定时间，弹力逐渐减小，称为 渐变弹力”所以，对于细线、弹簧类问题，当外界情况发生变化时(如撤力、变力、剪断) ，要重新对物体的受力和运动情况进行分析，细线上的弹力可以突变，轻弹簧弹力不能突变，这是处理此类问题的关键。
3.碰撞型弹簧问题此类弹簧问题属于弹簧类问题中相对比较简单的一类， 而其主要特点是与碰撞问题类似， 但是，它与碰撞类问题的一个明显差别就是它的作用过程相对较长， 而碰撞类问题的作用时间 极短例4.如图6所示，物体B静止在光滑的水平面上，B的左边固定有轻质的弹簧，与 B质量相等的物体A以速度v向B运动并与弹簧发生碰撞， A、B始终沿统一直线，则A,B组成的系统动能损失最大的时刻是A . A开始运动时 B . A的速度等于v时C. B的速度等于零时 D . A和B的速度相等时分析：解决这样的问题,最好的方法就是能够将两个物体作用的过程细化,明确两个物体在相互作用的过程中，其详细的运动特点具体分析如下：(1) 弹簧的压缩过程：A物体向B运动，使得弹簧处于压缩状态，压缩的弹簧分别对 A、B物体产生如右中图的作用力，使 A向右减速运动，使 B向右加速运动由于在开始的时候，A的速度比B的大，故两者之间的距离在减小，弹簧不断压缩，弹簧产生的弹力越来 越大，直到某个瞬间两个物体的速度相等，弹簧压缩到最短2) 弹簧压缩形变恢复过程：过了两物体速度相等这个瞬间， 由于弹簧仍然处于压缩状态,A继续减速，B继续加速，这就会使得 B的速度变的比A的速度大，于是 A、B物体之间 的距离开始变大，弹簧逐渐恢复形变直至原长。
3 )弹簧的拉伸过程：由于 簧对两物体的弹力方向向内， 弹簧拉伸到最长状态4)弹簧拉伸形变恢复过程：B的速度比A的速度大，弹簧由原长变为拉伸状态此时，弹 使A向右加速运动，B向右减速运动，直到 A、B速度相等时过了两物体速度相等这个瞬间， 由于弹簧仍然处于拉伸状态，A继续加速，B继续减速，这就会使得 A的速度变的比B的速度大，于是 A、B物体之间 的距离开始变小，弹簧逐渐恢复形变直至原长就这样，弹簧不断地压缩、拉伸、恢复形变当外界用力压弹簧时，弹簧会被压缩，从而获得弹性势能，当弹簧开始恢复形变之后， 它又会将所蓄积的弹性势能释放出去， 这个蓄积和释放的过程，弹簧自身并不会耗费能量能量在两个物体和弹簧之间进行传递点评：在由两个物体和弹簧组成的系统的运动中，具有下面的特点：(1)两个物体速度相等时，弹簧处于形变量(压缩或拉伸)最大的状态，弹簧的弹性势能 达到最大2)两个物体不停地进行着加速和减速运动，但加速度时刻在变化，所以有关两个物体运 动的问题不能采用运动学公式来解决 但此模型属于弹性碰撞模型，所以满足包括弹簧在内的系统动量守恒和系统机械能守恒4:机械能守恒型弹簧问题对于弹性势能，高中阶段并不需要定量计算， 但是需要定性的了解， 即知道弹性势能的大小 与弹簧的形变之间存在直接的关系， 对于相同的弹簧，形变量一样的时候，弹性势能就是一 样的，不管是压缩状态还是拉伸状态。
例5.—劲度系数k=800N/m的轻质弹簧两端分别连接着质量均为 m=12kg的物体A、B, 它们竖直静止在水平面上，如图 7所示现将一竖直向上的变力 F作用在A上，使A开始 向上做匀加速运动，经 0.40s物体B刚要离开地面求：⑴此过程中所加外力 F的最大值和最小值⑵此过程中力F所做的功设整个过程弹簧都在弹性限度内，取 g=10m/s2)分析：此题考查学生对 A物体上升过程中详细运动过程的理解 在力F刚刚作 用在A上时，A物体受到重力 mg,弹簧向上的弹力 T,竖直向上的拉力 F 随着弹簧压缩量逐渐减小，弹簧对 A的向上的弹力逐渐减小，则 F必须变大， 以满足F+T-mg=ma当弹簧恢复原长时，弹簧弹力消失，只有 F-mg=ma ;随T777777TJ77图7着A物体继续向上运动，弹簧开始处于拉伸状态，则物体 A的受到重力 mg， 弹簧向下的弹力 T，竖直向上的拉力 F，满足F-T-mg=ma随着弹簧弹力的增大，拉力F也逐渐增大，以保持加速度不变等到弹簧拉伸到足够长，使得 B物体恰好离开地面时，弹簧弹力大小等于 B物体的重力答案：(1)开始时，对于A物体:汽;：工二，得弹簧压缩量是△ x=0.15mB刚要离开地面时，对于B物体仍有：人二 广—二，得弹簧伸长量 △ x=0.15ms=-at2因此A向上运动的位移是 0.3m，由公式： _ 求得：加速度是 3.75m/s2。
所以：开始时刻 F=ma=45N为拉力最小值；B刚要离开地面时 F'-mg-k △ x=ma,得F'=285N 为拉力最大值2)拉力做的功等于系统增加的机械能，始末状态弹性势能相同所以由 .丄 和1 2WF = x 2Ax2 ，可得此过程中拉力做的功等于 49.5J点评：此类题的关键是要分析出最大值和最小值时刻的特点， 必须通过受力分析得出物体运动的详细过程特征，只要把物体做每一种运动形式的力学原因搞清楚了， 这类问题就会迎刃而解所以，学生在平时的训练中，必须养成良好的思维习惯，对于较复杂的物理过程，必 须先分段研究，化一个复杂问题为若干个简单模型， 针对若干个简单的物理情景， 逐一分析出现这一物理情景的力学原因， 当把每一个物理情景都分析清楚了， 整个问题的答案就会水到渠成例6•如图8所示，物体B和物体C用劲度系数为k的弹簧连接并竖直地静置在水平面上 将一个物体A从物体B的正上方距离 B的高度为H0处由静止释放，下落后与物体 B碰撞, 碰撞后A和B粘合在一起并立刻向下运动，在以后的运动中 A、B不再分离已知物体 A、B、C的质量均为M，重力加速度为g，忽略物体自身的高度及空气阻力求：(1) A与B碰撞后瞬间的速度大小。
2) A和B 一起运动达到最大速度时，物体 C对水平地面压力为多大？(3) 开始时，物体 A从距B多大的高度自由落下时，在以后的运动中才能使物体 C恰好离开地面？ I、分析：过程分析法：第一阶段：A自由落体； 型第二阶段：A、B发生碰撞，作用时间极短，时间忽略； -第三阶段：AB成为一体的瞬间，弹簧形变来不及发生改变，弹簧的弹力仍为 .Jmg，小于AB整体重力2mg，所以物体 AB所受合力仍然为向下，物体仍然向 下加速，做加速度减小的加速运动当弹簧的弹力增大到正好为 2mg时，物体 问］AB合力为0,物体继续向下运动第四阶段：弹簧继续被压缩，压缩量继续增加，产生的弹力继续增加，大于 2mg，使得物体AB所受合力变为向上，物体开始向下减速，直至弹簧压缩到最短， AB物体停止运动所以，当物体AB所受合力为0时就是该物体速度最大的时候答案：（1）A自由下落由机械能守恒得:求得'■A与B碰撞，由于碰撞时间极短，由A、B组成的系统动量守恒得：一一一'1 ' ' '' - 1所以求得A与B碰撞后瞬间的速度大小（2） 由前面分析知，A和B 一起运动达到最大速度的时刻，即为物体 AB受合力为0的时 刻：对C受力分析知地面对 C的支持力■' - ? 1。
所以物体C对水平地面压力也为 3mg3） 设物体A从距离B为H的高度自由落下时，在以后的运动中才能使物体 C恰好离开 地面要使C恰好离开地面，意味着当A上升到最高点时弹簧的弹力为 mg，弹簧的伸长量雙 飓为：，A、B相碰结束时刻弹簧的压缩量也为 ■.所以，由A、B物体以及弹簧组成的系统，从A、B相碰结束开始到 A、B上升到最高点的过程中， 系统机械能守恒，初状态A、B的动能全部转化为末状态 A、B的重力势能，弹性势能没有变化所以有：求得 '—2 jt ，求得： 七点评：高中阶段的机械能守恒等式分为： 守恒式”、转移式”和 转化式”三种，对于任何研究对象，无论是单个物体还是系统，都可以采用 守恒式”列等式，选好零势能面，确定初、末状态的机械能，此方法思路简单，但等式复杂，运算量较大转移式”只能针对一个系统， 如两个物体 A、B组成的系统,-二一- ，若A物体机械能减小，B物体的机械能一定增加，且变化量相等， A减小的机械能转移到 B上导致B物体机械能增加 转化式”体现了机械能守恒中机械能从一种形式转化成另外一种形式，在转化过程中总的机械能不变即：丄丄，"―-，若物体或系统动能增加了，势能必然减小，且增加的动能等于减小的势能。
此类模型是涉及弹簧在内的系统机械能守恒， 在这类模型中，一般涉及动能、重力势能和弹性势能，列等式一般采用 转移式”或转化式”5 •简谐运动型弹簧问题弹簧振子是简谐运动的经典模型， 有一些弹簧问题，如果从简谐运动的角度思考， 利用简谐运动的周期性和对称性来处理，问题的难度将大大下降例7•如图9所示，一根轻弹簧竖直直立在水平面上，下端固定在弹簧正上方有一个物块 从高处自由下落到弹簧上端 0,将弹簧压缩当弹簧被压缩了 x0时，物块的速度减小到零 从物块和弹簧接触开始到物块速度减小到零过程中， 物块的加速度大小 a随下降位移大小x变化的图像，可能是下图中的分析：我们知道物体所受的力为弹力和重力的合力， 而弹力与形变量成正比， 所以加速度与位移之间也应该是线性关系，加速度与位移关系的图像为直线 物体在最低点的加速度与重力加速度之间的大小关系应该是本题的难点，借助简谐运动的加速度对称性来处理最方便若物块正好是原长处下落的，根据简谐运动对称性，可知最低点时所受的合力也是 mg,方向向上，所以弹力为 2mg，加速度为g现在，初始位置比原长处要高，这样最低点的位置 比上述情况要低，弹簧压缩量也要大，产生的弹力必定大于 2mg，加速度必定大于 g。
例&如图10所示，一质量为 m的小球从弹簧的正上方 H高处自由下落，接触弹簧后将弹 簧压缩，在压缩的全过程中(忽略空气阻力且在弹性限度内) ，以下说法正确的是A .小球所受弹力的最大值一定大于 2mgB .小球的加速度的最大值一定大于 2gC.小球刚接触弹簧上端时动能最大D •小球的加速度为零时重力势能与弹性势能之和最大解析：本题是一个典型的简谐运动模型问题可参考例 8分析即可6.综合类弹簧问题例9.质量均为m的两个矩形木块 A和B用轻弹簧相连接，弹簧的劲 度系数为k,将它们竖直叠放在水平地面上，如图 13所示，另一质量也是m的物体C,从距离A为H的高度自由下落，C与A相碰，相碰时间极短，碰后 A、C不粘连，当A、C 一起回到最高点时，地面对 B的支持力恰好等于 B的重力若C从距离A为2H高处自由落下，在 A、C 一起上升到某一位置， C与A分离，C继续上升，求:(1) C没有与A相碰之前，弹簧的弹性势能是多少？(2) C上升到最高点与A、C分离时的位置之间距离是多少？ 解：过程分析法v - = mgH(1) C由静止下落H高度即与A相撞前的速度为’1 , ^1 _得出：‘(3) A、C一起压缩弹簧至(2 ) C与 A相撞，由动量守恒定律可得：C二门门「得出：A、C上升到最高点，由机械能守恒定律得:(4) C由静止下落2H高度时的速度为 1 ,则:得出:(5) C与A相撞:沙亠h；,得出：■ :二丁(6) A、C 一起压缩弹簧至 A、C分离，由机械能守恒定律得:lx2wxv^ +E? = 2wgx^ + l 冥 2耀则(7)C单独上升X高度，由机械能守恒定律得:得出:图12例10.如图12所示，质量为 ml的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为 m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为 k, A、B都处于静止状态。
一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩开始时各段绳都处于伸直状态， A上方的一段绳沿竖直方向现在挂钩上升一质量为 m3的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使 B离开地面但不继续上升若将 C换成另一个质量为''■I-'''.'的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次 B刚离地时D的速度的大小是多少？已知重力加速 度为go解：过程分析法(1 )开始时，A、B都静止，设弹簧压缩量为 二」」巧二打识得出:幽gX1=T(2)挂上C由静止释放，由 B刚好离开地面得得出:叫g(3) 挂上C直至B刚好离开地面，由系统机械能守恒得:懈需(X +為)+ 二mzg仗］+阳) 其中丄丄为弹簧弹性势能的增加量(4) 若将C换成D后，当B刚好离开地面时弹簧弹性势能的增加量与前一次相同，得出:1 .A5 + ?M1g(X1 +阳)4■一(觀］+ 旳 +搐］)卩 =(豹］+ 胡3)g(X］ +兀)以上两式联立得出： 综合类弹簧问题总结：Y (2滋l+蚀)上综合类弹簧问题一般物理情景复杂， 涉及的物理量较多，思维过程较长，题目难度较大处理这类问题最好的办法是前面所述的肢解法”，即把一个复杂的问题肢解”成若干个熟悉的简单的物理情景， 逐一攻破。
这就要求学生具有扎实的基础知识，平时善于积累常见的物理模型及其处理办法，并具有把一个物理问题还原成物理模型的能力。