2019-2020年高三数学9月月考试题 理（含解析）【试卷综析】试题试卷结构稳定，考点分布合理，语言简洁，设问坡度平缓，整体难度适中. 注重基础. 纵观全卷，选择题、填空题比较平和，立足课本，思维量和运算量适当.内容丰富，考查了重点内容,渗透课改，平稳过渡.针对所复习的内容进行考查，是优秀的阶段性测试卷.一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，总分40分；每个小题仅有一个最恰当的选项，请将你的答案填涂在答题卡上）【题文】1、已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝[3，＋∞)，则图中阴影部分所表示的集合为A．{0，1，2} B．{0，1} C．{1，2} D．{1}【知识点】Venn图表达集合的关系及运算．A1 【答案解析】C 解析：由已知中阴影部分在集合A中，而不在集合B中，故阴影部分所表示的元素属于A，不属于B（属于B的补集）,即（CRB）∩A={1，2}．故选C．【思路点拨】由已知中U为全集，A，B是集合U的子集，及图中阴影，分析阴影部分元素满足的性质，可得答案．【题文】2、设复数，在复平面内的对应点关于一、三象限的角平分线轴对称，，则A. B. C. D. 【知识点】复数的代数表示法及其几何意义．L4 【答案解析】C 解析：∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于一、三象限的角平分线轴对称，z1=1+2i，∴z2=2+i，∴z1z2=（1+2i）（2+i）=5i，故选：C．【思路点拨】先求出z2=2+i，再计算z1z2．【题文】3、下列说法正确的是A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B．命题“∀x≥0，x2＋x－1＜0”的否定是“∃x0＜0，x＋x0－1≥0”C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为假命题D．若“”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题【知识点】复合命题的真假；四种命题间的逆否关系；命题的否定。
A3【答案解析】D 解析：对于A：否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故A错误；对于B：否定是“∃x0≥0，x02+x0﹣1≥0”，故B错误；对于C：逆否命题为：若“sin x≠sin y，则x≠y”，是真命题，故C错误；A，B，C，都错误，故D正确，故选：D．【思路点拨】通过复合命题的定义，四种命题的关系，命题的否定，逐项进行判断．【题文】4、若，则下列结论正确的是A. B. C. D. 【知识点】不等式比较大小．E1 【答案解析】D 解析：如图所示，当x∈（2，4），x2＞2x＞4．而log2x＜2．综上可得：x2＞2x＞log2x．故选：D．【思路点拨】如图所示，当x∈（2，4），x2＞2x＞4．而log2x＜2．即可得出【题文】5、设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)＋2．当0≤x<2时，f(x)＝1，则f(xx)＝A.xx B.2014 C．xx D．xx【知识点】抽象函数及其应用；函数的值．B1【来.源：全,品…中&高*考*网】【答案解析】C 解析：因为f（x+2）=f（x）+2，所以f（xx）=f（xx）+2=f（xx）+4=…=f（0）+xx，而当0≤x＜2时，f（x）=1，则f（xx）=1+xx=xx．故选C．【思路点拨】根据递推式f（x+2）=f（x）+2进行递推，结合当0≤x＜2时，f（x）=1，从而可求出所求．【题文】6、已知函数的图象如右图所示，则函数图象大致为 A B C D【知识点】函数的图象B1 【答案解析】C 解析：根据函数图象可知当x＜0时，切线的斜率小于0，且逐渐减小，当x＞0时，切线的斜率大于0，且逐渐增加，故选C．【思路点拨】根据导数的几何意义：表示切线斜率，结合原函数图象可得切线斜率的变化情况，从而可得正确选项【题文】7、设函数，关于函数有以下四个结论：①值域为[0，1]；②是周期函数；③是单调函数；④是偶函数；其中正确的结论个数为： A．0 B．1 C．2 D．3 【知识点】命题的真假判断与应用．A3 【答案解析】C 解析：解：∵函数D（x）=，∴D（x）值域为{0，1}，故①错误；∵D（x+1）=D（x），∴T=1为其一个周期，故②正确；∵D（）=0，D（2）=1，D（）=0，显然函数D（x）不是单调函数，故③错误；∵D（﹣x）=D（x），故D（x）是偶函数，故④正确；故正确的结论有2个，故选：C【思路点拨】由函数值域的定义易知①错误；由函数周期性定义可判断②正确；由函数单调性定义，易知③错误；由偶函数定义可证明④正确；【题文】8、如图，对于曲线Ψ所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角α，使得α≥∠AOB对于曲线Ψ上的任意两个不同的点A、B恒成立，则称角α为曲线Ψ的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线Ψ的相对于点O的“确界角”．已知曲线C：（其中e=2.71828…是自然对数的底数），O为坐标原点，则曲线C的相对于点O的“确界角”为A． B． C． D． 【知识点】分段函数的应用.B1 【答案解析】B 解析：画出函数f（x）的图象，过点O作出两条直线与曲线相切，设它们的方程分别为y=k1x，y=k2x，当x＞0时，y′=f′（x）=，设切点为（m，n），则对应的切线方程为，令m=0，n=0，则，解得m=e，即切线斜率k1=，则切线y=k1x的倾斜角为，当x≤0时，函数的导数f′（x）=，设切点为（a，b），（a＜0）则切线斜率k=f′（a）=，则对应的切线方程为y﹣（）=（x﹣a），令a=b=0，则﹣（）=﹣•a，即，则，解得a=，则y=k2x的斜率k2=f′（）=×=，则切线y=k2x的倾斜角为，由两直线的夹角θ=﹣=，故选：B【思路点拨】画出函数f（x）的图象，过点O作出两条直线与曲线相切；，再由两直线的夹角公式即可得到所求的“确界角”．二、填空题：(本题共6个小题，每小题5分，共30分，请将你的答案写在答卷上相应位置）【题文】9、= ．【知识点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．B6 B7【来.源：全,品…中&高*考*网】 【答案解析】7 解析：=+=+=+=7，故答案为：7．【思路点拨】根据对数函数的运算性质和幂的运算性质，化简计算即可．【题文】10、＝________．【知识点】定积分B13 【答案解析】π2﹣2 解析：dx=（4x++4）dx=（2x2+lnx+4x）=（8+ln2+8）﹣（2+0+4）=10+ln2，故答案为：10+ln2【思路点拨】 根据定积分的计算法计算即可． 【题文】11、已知函数（）是区间上的单调函数，则的取值范围是 ．【知识点】利用导数研究函数的单调性．B12 【答案解析】(－∞，2]∪[5，＋∞) 解析：∵f（x）=+（a﹣1）x∴f′（x）=x2﹣ax+（a﹣1）=（x﹣1）[x﹣（a﹣1）]，∵f（x）是区间（1，4）上的单调函数，∴或∴或，故答案为(－∞，2]∪[5，＋∞) ．【思路点拨】求导，判断函数的单调性，由题意可得或，解得即可．【题文】12、若函数恰有两个零点，则的取值范围为 ；【知识点】函数的零点与方程根的关系．【来.源：全,品…中&高*考*网】B9 【答案解析】(－2，2) 解析：∵f（x）=（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）﹣3=（x2+2x+k+3）（x2+2x+k﹣1）=[（x+1）2+2+k]（x2+2x+k﹣1）恰有两个零点，∴（x+1）2+2+k=0无解，x2+2x+k﹣1=0有2个解，∴，解得：﹣2＜k＜2，故答案为：（﹣2，2）．【思路点拨】由题意得：（x+1）2+2+k=0无解，x2+2x+k﹣1=0有2个解，得不等式组，解出即可．【题文】13、在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是 .【知识点】相似三角形的性质．【来.源：全,品…中&高*考*网】L4 【答案解析】 [10，30] 解析：设矩形的另一边长为ym，由相似三角形的性质可得：，解得y=40﹣x，（0＜x＜40）∴矩形的面积S=x（40﹣x），∵矩形花园的面积不小于300m2，∴x（40﹣x）≥300，化为（x﹣10）（x﹣30）≤0，解得10≤x≤30．满足0＜x＜40．故其边长x（单位m）的取值范围是[10，30]．故答案为[10，30]．【思路点拨】设矩形的另一边长为ym，由相似三角形的性质可得：，（0＜x＜40）．矩形的面积S=x（40﹣x），利用S≥300解出即可．【题文】14、已知真命题:“函数的图像关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数是奇函数”.则函数图像的对称中心坐标为 .【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． A3 【答案解析】(－1，1) 解析：设f（x）=x3+3x2﹣x﹣2 的对称中心为点P（a，b）则函数y=f（x+a）﹣b=（x+a）3+3（x+a）2﹣（x+a）﹣2﹣b是奇函数， 由f（﹣x+a）﹣b=﹣[f（x+a）﹣b]， ∴f（﹣x+a）﹣b=﹣f（x+a）+b，∴f（﹣x+a）+f（x+a）﹣2b=0，∴（6a+6）x2+2a3+6a2﹣2a﹣4﹣2b=0，∴，解得：，故答案为：（﹣1，1）．【思路点拨】设f（x）的对称中心为点P（a，b），由f（﹣x+a）+f（x+a）﹣2b=0，得：（6a+6）x2+2a3+6a2﹣2a﹣4﹣2b=0，得方程组解出即可．三、解答题：本题共6小题，共80分，请在答卷的相应位置作答）【题文】15、(本小题满分12分) 已知函数（1）求函数的最小正周期；（6分） （2）若x∈，都有f(x)－c≤0，求实数c的取值范围．（6分）【知识点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．C4 【答案解析】（1）；（2）解析：（1）由，得 4分所以函数的最小正周期为 …………6分（2）因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，…10分又，所以函数在区间上的最大值为2，最小值为-1 …………11分 故。
…………12分【思路点拨】（1）函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1可化简为2sin（2x+），从而可求函数f（x）的最小正周期；（2）先求得f（x）=2sin（2x+）在区间[0，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，f（0）=1，f（）=2，f（）=﹣1，所以函数f（x）在区间[0，]上的最大值为2，从而可求实数c的取值范围．【题文】16、(本小题满分12分) 如图, 是边长为的正方形，平面，，，与平面所成角为.⑴求证：平面；（5分）⑵求二面角的余弦值；（7分）【知识点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．G10 【答案解析】（1）见解析；（2）二面角的余弦值为. 解析：⑴证明： 因为平面，面所以. ……………………2分因为是正方形，所以，又相交且都在面内，从而平面. ……………………5分⑵解：因为两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示.因为面，所以与平面所成角就是，已知与平面所成角为，即， …………………6分所以.由可知，. 则，，，，，所以，， ……………………8分设平面的法向量为，则，即，令，则. …………………10分因为平面，所以为平面的法向量，，所以. …………………11分因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.………………12分【思路点拨】（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE；（Ⅱ）建立空间直角坐标系D﹣xyz，分别求出平面BEF的法向量为和平面BDE的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．【题文】17、（本小题满分14分）某公司从一批产品中随机抽出60件进行检测. 下图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106].（1）求图中的值，并根据频率分布直方图估计这60件抽样产品净重的平均数、众数和中位数；（5分）（2）若将频率视为概率，从这批产品中有放回地随机抽取3件，求至多有2件产品的净重在[96，98）的概率；（3分）（3）若产品净重在[98，104)为合格产品，其余为不合格产品. 从这60件抽样产品中任选2件，记表示选到不合格产品的件数，求的分布列及数学期望。
6分）【知识点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图．K6 【答案解析】（1）平均数为101.3（克）；众数为101；设中位数为，（2）0.999（3）见解析.解析：（1）由频率分布直方图知，，解得. …2分故估计这60件抽样产品净重的平均数为（克）. ………4分众数为101. ……………………………………………………………………5分设中位数为，则，解得. ……………………6分（2）恰好抽取到3件产品的净重在的概率为，故至多有2件产品的净重在的概率为. ……………………9分（3）这60件抽样产品中，不合格产品有件，合格产品有件. 的可能取值为. …10分 …13分 . …………………………………14分【思路点拨】（1）运用频率分布直方图，求解即可．（2）根据概率分布关系，结合对立事件求解运算．（3）求出随机变量的取值，判断求解对应的概率的值，再求期望的数值．【题文】18、(本小题满分14分)某商场销售某件商品的经验表明，该商品每日的销量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）满足关系式，其中，为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。
1）求实数的值；（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大知识点】函数模型的选择与应用；利用导数研究函数的单调性．B12菁B【答案解析】（1）（2）解析：（1）根据题意可得，当时，，代入解析式得：，所以； …………4分（2）因为，所以该商品每日销售量为：每日销售该商品所获得的利润为：， ……8分所以 ……10分所以，的变化情况如下表：（3，4）4（4，6）+0-递增极大值42递减由上表可得，是函数在区间（3，6）上的极大值点，也是最大值点；所以当时，函数取得最大值42；因此，当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大 ……14分【思路点拨】（1）由f（5）=11代入函数的解析式，解关于a的方程，可得a值；（2）商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值．【题文】19、（本小题满分14分）已知函数，（1）若=,求函数的极值；（2）求函数的单调区间。
知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性.B12菁【来.源：全,品…中&高*考*网】 【答案解析】（1）极大值f（﹣1）=，极小值f（3）=﹣．（2）见解析解析：f(x)的定义域为R，f ′(x)＝． (1)若a＝，则f (x)＝，f ′(x)＝．令f ′(x)＝0，解得x＝－1或x＝3．…………2分当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，3)3(3，＋∞)f ′(x)＋0－0＋f(x)递增极大值递减极小值递增……4分∴当x＝－1时，f(x)取得极大值f(－1)＝，当x＝3时，f(x)取得极小值f(3)＝．…6分(2) 设g(x)＝ax2―2ax―1①若a＝0，则f (x)＝，f ′(x)=－ <0,f (x)的减区间为 (－∞，＋∞)．②若a>0，则Δ＝4a2＋4a>0，g(x)＝ax2―2ax―1的两个零点为x1＝1― ，x2＝1＋．令f ′(x)<0解得x10，令f ′(x)<0解得x< x2或x> x1，所以f(x)的减区间为(－∞，x2)和(x1，＋∞) ．故当a>0时，f (x)的减区间为(x1，x2) ；当―1≤a≤0时，f (x)的减区间为 (－∞，＋∞)；当a<―1时, f(x)的减区间为(－∞，x2)和(x1，＋∞) ．【思路点拨】（1）利用导数求函数的极值，求导f′（x）=，令f′（x）=0，解得x=﹣1或x=3，即可得出函数的极值；（2）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论．【题文】20、（本小题满分14分）已知函数（a是常数，）.（1）若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；（2）当时,方程在上有两解，求实数的取值范围；（3）求证: 【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．B12 【答案解析】（1）（2）.（3）见解析解析：（1） ．切线方程为．…….4分（2）当时，，其中，当时，；时，，…………6分∴是在 上唯一的极小值点，∴ ． ……8分又， 综上，所求实数的取值范围为. …………10分（3）等价于若时，由（2）知在上为增函数，当时，令，则，故，即，∴．…….13分故即，即。
…….14分【思路点拨】（1）先根据x=2是函数f（x）的极值点求出a的值，然后利用导数求出切线的斜率，从而可求出切线方程；（2）利用导数研究函数的单调性，求出函数f（x）的最小值，以及区间端点的函数值，结合图象可得m的取值范围；（3）等价于，若a=1时，由（2）知f（x）在[1，+∞）上为增函数，可证得，从而可得结论．。