2 24-1 4-1 虚位移的概念与分析方法虚位移的概念与分析方法 一、基本概念一、基本概念 虚位移：虚位移：质点系在给定瞬时为约束所容许的任何微小的位移质点系在给定瞬时为约束所容许的任何微小的位移MrrdABOArBrArBr实位移实位移：在无限小时间间隔在无限小时间间隔d dt t内内,系统的真实运动所产生的位移系统的真实运动所产生的位移所谓真实运动所谓真实运动,是指既满足约束方程又满足运动微分方程和初始是指既满足约束方程又满足运动微分方程和初始条件的系统运动因此条件的系统运动因此,在任意时刻在任意时刻,系统的实位移是惟一的系统的实位移是惟一的1 1、虚位移与实位移、虚位移与实位移虚位移不惟一虚位移不惟一虚位移可以是线位移，也可以是角位移虚位移可以是线位移，也可以是角位移第二十四章第二十四章 虚位移原理虚位移原理（1）静止质点可以有虚位移，但肯定没有实位移即：实位移与力有关，而虚位移只与约束有关2）虚位移是约束允许的微小位移，与时间无关，实位移是真实发生的位移，可以是微小值，也可 以是有限值，而且与时间有关2 2、虚位移与实位移的区别与联系、虚位移与实位移的区别与联系W1r2rrdW1r2rWrd（4）在定常系统中，微小的实位移是虚位移之一，在非定常系统中，微小的实位移不再成为虚位移之一。
3）虚位移不惟一，而实位移是惟一的二、虚位移的分析方法二、虚位移的分析方法 1 1、几何法、几何法 OABIArBrOArAAIOAAIrAABrAIBIOAAIBIBIr（虚速度法）自由度：k322211在同一时刻（位置），各点之间的虚位移的关系等同于各点之间的虚速度的关系2 2、解析法、解析法kkiiiirrrr2211jjikjr1(i=1,n),(21kiiqrr 2 1BAabxy1cosayA1sinaxA21sinsinbaxB21coscosbayB11cosaxA11sinayA2211coscosbaxB2211sinsinbayBk,q 21n个质点自由度为k取广义坐标：自由度：2取广义坐标：1，22 24-2 4-2 虚位移原理虚位移原理 一、虚功一、虚功rFw理想约束力的虚功：理想约束力的虚功：理想约束力在质点系的任何虚位移中所作元功之和等于零0N1iinirF(a)即约束处无虚位移，如固定端约束，铰支座等；0ir(b)即约束力与虚位移相垂直，如光滑接触面约束等.iirFN(c)即约束点上约束力的合力为零，如铰链连接；0NiF(d)即虚功之和即为零如连接两质点的无重刚性杆。
0N1iinirF作用于质点或质点系上的力在给定虚位移上所作的功作用于质点或质点系上的力在给定虚位移上所作的功主动力的虚功：主动力的虚功：计算方法与力的元功计算一样二、虚位移原理（虚功原理）二、虚位移原理（虚功原理）具有双侧、定常、理想约束的质点系，在给定位置平衡的充要具有双侧、定常、理想约束的质点系，在给定位置平衡的充要条件是：所有主动力在质点系任何虚位移中的元功之和等于零条件是：所有主动力在质点系任何虚位移中的元功之和等于零01iinirFw0)(1iziiyiixinizFyFxFw解析式解析式证明：证明：（1 1）必要性）必要性 命题：如质点系平衡，则上式成立命题：如质点系平衡，则上式成立0NiiFF0NiiirFF）（0)(N11N1iiniiiniiiinirFrFrFF0N1iinirF01iinirF（2 2）充分性）充分性 命题：上式成立，则质点系平衡命题：上式成立，则质点系平衡反证法：设上式成立，而质点系不平衡反证法：设上式成立，而质点系不平衡0)(NRiiiiiirFFrFw0)(N1iiiinirFrF与命题矛盾0 1iinirF所以，质点系必定平衡所以，质点系必定平衡。
设第i个质点不平衡：0RiF例例1：已知已知 OA=L，试求试求系统在图示位置平衡时，系统在图示位置平衡时，力偶矩力偶矩M与力与力F的关系的关系（不计摩擦）不计摩擦）01niiirFAB FMO1C2C090 gm1gm2gm3基本步骤：基本步骤：1.确定系统是否满足原理的应用条件确定系统是否满足原理的应用条件2.分析主动力作用点的虚位移分析主动力作用点的虚位移3.求主动力的虚功之和求主动力的虚功之和 BArrLFM 0W0MrFBMFL0)(MFL0ABBABArrLrrBA0 MLFABFMOgm1gm2gm3Ar1CrBr解：解：2Cr例例2：结构及其受力如图所示，试求结构及其受力如图所示，试求A端的约束力偶端的约束力偶aaa1F2F ABCMD DAAAMAAFAyDDFDy解：解：给出虚位移（如图所示）给出虚位移（如图所示）22ar 2rrCCrr31101niiirF02211AMrFrF0)232(21AMaFaF0)31(221FFaMAaaa1F2F ABCMD DCr1rAM2r确定虚位移的关系确定虚位移的关系将固定端将固定端A变成固定铰链变成固定铰链,将约束力偶变为主动力偶将约束力偶变为主动力偶例例3:3:图示椭圆规机构图示椭圆规机构,连杆连杆A、B长为长为l,，杆重和摩擦力不计杆重和摩擦力不计，试求试求:在图示位置平衡时主动力在图示位置平衡时主动力FA和和FB之间的关系。
之间的关系1.几何法几何法0BBAArFrFcoslrAsinlrBtan:BAFF则2.解析法解析法coslxBlsinyA0BBAAxFyF解：解：00)sincos(lFlFBA0)sincos(lFlFBAsinlxBlcosyA xyO BFAF rB rAtan:BAFF则。