自动控制理论（一）复习指南和要求第二章 控制系统的数学模型复习指南与要点解析要求：根据系统结构图应用 结构图的等效变换和简化或者 应用信号流图与梅森公式 求传递 函数（方法不同，但同一系统两者结果必须相同）一、控制系统3种模型，即时域模型----微分方程；※复域模型一一传递函数；频域模型一一 频率特性其中重点为传递函数在传递函数中，需要理解传递函数定义（线性定常系统的传递函数是在零初始条件下， 系统输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比）和性质零初始条件下：如要求传递函数需拉氏变换，这句话必须的1 •等效原则：变换前后变量关系保持等效，简化的前后要保持一致( P45)2•结构图基本连接方式只有串联、并联和反馈连接三种如果结构图彼此交叉，看不出 3种基本连接方式，就应用移出引出点或比较点先解套，再画简其中：※引出点前移在移动支路中乘以 G(s)注意：只须记住此，其他根据倒数关系导出即可)引出点后移在移动支路中乘以1/ G(s)相加点前移在移动支路中乘以1/G(s)相加点后移在移动支路中乘以G(s)［注］:乘以或者除以G(s)，G(s)到底在系统中指什么，关键看引出点或者相加点在谁的前后移动。
在 谁的前后移动，G(s)就是谁例1：利用结构图化简规则，求系统的传递函数 C(s)/R(s)R(s) ~|Gi(s)G2(S)]_1—q G3(s)c(s)H,s)解法1：1) Gg(s)前面的引出点后移到Gg(s)的后面(注：这句话可不写，但是必须绘制出下面的结构图, 表示你如何把结构图解套的)2)消除反馈连接3)消除反馈连接4)得出传递函数C(s)R(s)G(s)G2(s)G3(s)一 1 +Gi (s)G2 (s)Hi(s) + G2 (sG(s)H 2(s) + Gds© (沁(s)［注］:可以不写你是怎么做的，但是相应的解套的那步结构图必须绘制出来 一般，考虑到考试时间限C(s)R(s)制，化简结构图只须在纸上绘制出 2-3个简化的结构图步骤即可，最后给出传递函数G(9G(s)G3(s)C(s)1-—1 乜(9G3(s>H2(si 七(泌初(9解法2: G(s)后面的相加点前移 到G(s)前面，并与原来左数第二个相加点交换位置，即可解套， 自己试一下若［注］:条条大路通罗马，但是其最终传递函数 C® =—定相同)R(s)［注］:探※※比较点和引出点相邻，一般不交换位置 探※※，切忌，否则要引线)四、知道开环传递函数的定义，并会求闭环系统的传递函数1 •开环传递函数，如图：N(s)G(s)H(s)=BSH(s)G2初⑸R(s) +..—i- H(s)C(s)B(s)，则 G(s)H(s) G(s)H(s)名(s)C(s)R(s)G(s)，则 G(s)H(s)二 G(s)-常见)2 •四个闭环系统的传递函数----特点分母相同，即特征方程相同C(s) G(s)G2(s) _R(s)C(s)N(s)；(s) -R(s)；(s)"(s)：；Jn(s)"N(s)(通常说的输出对输入的传递函数)；1 G1(s)G2(s)H (s)G2(s)1 G,(s)G2(s)H (s)1一 1 G1(s)G2(s)H (s)—G2(s)H(s)1+G(s)G2(s)H(s)［注］:后面求稳态误差需要第三章 线性系统的时域分析要求：1)2)3)会分析系统的时域响应 c(t)，包括动态性能指标； 会用劳斯判据判定系统稳定性并求使得系统稳定的参数条件； 会根据给出的系统结构图，求出系统稳态误差，并减小或消除之。
时域分析方法和思路：已知系统输入r(t)和系统模型门(s)，求时域响应c(t)例1求一阶系统的单位阶跃响应1)输入r(t) =1(t)，贝U其拉氏变换为2) C(s)=°(s)R(s)=+ 1=1 T+1Ts +1 s s Ts +1R(s)」，则sT 1 1ss 1/T3)对上式取拉氏反变换，得其响应单位阶跃信号的响应为: c(t) =Css q =1 _e_ ,t 一0[注1]:探※Css为稳态分量，它的变化由输入信号的形式 (上例中r(t) =1(t))决定;(上例中s = )决定T探探Cts (上例中Cts二-e・T)为暂态分量，由闭环传递函数的极点二、线性系统稳定的充要条件是闭环特征根均需具有负实部或者:，(s)的极点都在在s平 面右半部分系统稳定性是系统本来的固有特性，与外输入信号无关1 •只有当系统的特征根全部具有负实部时，系统达到稳定2•如果特征根中有一个或一个以上具有正实部，则这表明系统不稳定；3. 如果特征根中具有一个或一个以上的零实部根，而其余的特征根均具有负实部，则 脉冲响应函数趋于常数，或者趋于等幅正弦(余弦)振荡，称为临界稳定[注2]:根据如果门(s)极点都在S平面左半部分，则 暂态分量Cts随时间增大而衰减为 0;如果①(s)极点有一个都在s平面右半部分，则 暂态分量Cts随时间增大而发散。
探※※二阶系统单位阶跃 响应及其欠阻尼情况下指标计算1. 熟悉二阶系统单位阶跃 响应的3个对应关系，即:不同阻尼比■类型一不同单位阶跃的时间响应波形图C(t)---不同系统稳定性2.二阶系统欠阻尼单位阶跃响应的指标计算: 时间、超调量计算(公式必须牢记)欠阻尼二阶系统上升时间、峰值时间、调节兀P_ 1 2=e 一 100%，c(tp) -c(：：)c(：：)100%4 3ts , —0.02,或 ts , —0.05aC2其中，阻尼角：二arctan :——，阻尼振荡频率 程例2: 2004年考题已知控制系统如图所示，(1)确定使闭环系统具有 '=0.7及-^6 (rad /s)"■八 1 - 2R(s) *+GiC(s)k值和•值； Gi(s) - ； H (s)⑵ 计算系统响应阶跃输入时的超调量 匚p和峰值时间tp o s(s 6)解:(1)ks2 (6 k )s k•n =k =36 k =36n ,则2 - -n =6 k 0.067⑵"」％ 二 exp( ■-讣1 ~■ J2]
五、 高阶系统的时域分析---利用闭环主导极点降阶如果在系统所有的闭环极点中，距离虚轴最近的闭环极点周围没有闭环零点，而其他 闭环极点又远离虚轴，且满足| Re s | 151 Resi |式中，® 为主导极点；s——为非主导极点则距离虚轴最近的闭环极点所对应的响应分量随着时间的推移衰减得最慢，从而在系统的 响应过程中起主导作用一般闭环主导极点为共轭闭环主导极点或者一个实闭环主导极点 六、※※※利用劳斯判据判定系统稳定性并求使得系统稳定的参数条件1. ※根据特征方程：D(S)二anSn an」sn， a1s a^ 0，则线性系统稳定的充要条件是 劳斯表首列元素均大于零；首列系数符号改变次数与分布在 s平面右半部的极点个数相同2. 劳斯表特殊情况时，系统临界稳定或者不稳定3. 如果系统稳定，则特征方程 D(s) anSn • an』sn，• ||| - ap - a 0系数同号且不缺项；4. ※利用劳斯判据判定系统稳定性例4:已知系统结构图，试用劳斯稳定判据确定使闭环系统稳定的 k的取值范围CS解：门(s) 口(s)二s(Qs 1)s 2列劳斯表:S4 1 3 kS3 3 2 0S 7/3 kS1 (14-9 k)/7 0S0 k如果劳斯表中第一列的系数均为正值，因此，14 -9k . 0,k ：：：14/9，且k 0。
所以0：：：k：：：14/9 7七、探※※稳态误差以及 减小或者消除稳态误差1. 稳态误差定义：ess = lim e(t) = lim L」[E(s)] =lim L」f：」e(s)R(s)]t^^ t_5C其中，误差传递函数g曇二」丽&,H”，：；Je(s)E(s)R(s)11 G(s),H(s) =12 .终值定理法求稳态误差 如果有理函数sE(s)除了在原点有唯一的极点外，在 s右半平面及虚轴解析，即 sE(s)的极点均位于s左半平面(包括坐标原点)，则根据终值定理可求稳态误差Qs(：：)二 ess 二 lim sE(s)二 lim s：」e(s)R(s)［注］:一般当输入是 为阶跃、速度、加速度信号及其组合信号时，且系统稳定时，可应用 终值定理求 稳态误差3.系统型别v定义为开环传递函数在s平面的积分环节个数mk 口(恥+1)G(s)H(s) nrv ,n-msvn 仃js 1)j 1其中，K :系统的开环增益(放大倍数)，v为型别4 •基于静态误差系数的稳态误差---当-输入为阶跃、速度、加速度信号及其组合信号时,? 静态位置误差系数? 静态速度误差系数Kv? 静态加速度误差系数KpK=lim sG(s) = lims 0R1 KpRKvK^lim s2G(s^li^K要求：根据给出系统开环传递函数和输入，能用静态误差系数能够求出稳态误差 例5:如图求系统当k=10,输入为r(t)=1.5t.时的稳态误差解:开环传递函数10K图中：G(s) =K1 , G2(s) —s(1 +T1S)K1、K2、「、T2均为已知正值。
当输入量 解系统闭环传递函数为as2 +bs，Gbc(s)=〒-1 +T2sr(t)= t2/2时，要求系统的稳态误差为零，试确定参数冲(s) = C^S^ = — 1 ，代入 G's)二 K1 , G2(s) Kl , Gbc(s)二R(s) 1+G1G2 s(1+Es)as2 bs1 T2s3 2则门(S) E(S)〔宀 1 -G2Gbc T1T2S (T1 T2-K2a)s (1-K2b)s、 R(s) 1 G1G2 T1T2s3 (t T2)s2 (1 K1K2T2)^ K1K2反馈系统)(只适应于单位负欲使系统闭环系统响应速度输入 R(s)=1/s3的稳态误差为0,即eSS =lim sE(s) =lim s：」e(s)R(s)3该包含R(s) -1/s的全部极点二 lim ss )02TT2S (T1 T2 -&a)s (1-K2b)sTT2s3 (T「T2)s2 (1 K1K2T2)s k1k21-，门e(S)应SG ( s) , =1s(s + 2) s(0.5s + 1)K r 15因为 r (t)=1-5t,则 Kv = li叫 sG(s) = lim 寸-5 ,因此 eSS 0.3。
5. 减小或者消除稳态误差的方法：a. 增大开环放大倍数(开环增益)(在保证系统稳定的前提下)b. 提高系统的型别(在保证系统稳定的前提下)c. ※采用复合控制方法(要知道其原理)：包括输入补偿和扰动补偿两种，都可以消除稳 态误差而不影响系统稳定性［注］:电=!四sE(s) = lim或e(s)R(s)若①e(s)零点包含输入信号的全部极点，则系统无稳态误 差同理，eSsn =lim sEn(s^lim S^en(s)N(s)，若:$(s)零点包含输入信号N(s)的全部极点， 则系统无稳态误差例6 2007 一复合控制系统如图所示—3，则 a=—1 -'K2b K 2［注］:要求会求误差传递函数，包括扰动下的误差传递函数(一般单位反馈)第四章线性系统的根轨迹法要求：根据给出系统结构图---求开环传递函数---得出根轨迹方程---化成标准形式一判断根轨迹类型---绘制根轨迹----完成对稳定性、动态性能和稳态性能的分析※※根轨迹定义：开环系统某一参数从 0-"：时，闭环系统特征方程式的根（闭环极点）在［s］平面变化的轨迹［注］:根轨迹是闭环系统特征方程式的根的轨迹二、根轨迹法中开环传递函数的标准形式一一零极点形式mk［【（s-Zj）G（s）H（s） =¥ ,n_m，k称为开环系统根轨迹增益丨丨（s-Pi）i 4［注］:变化的参数以规范形式k出现在分子上。
开环系统零极点形式表示，s项的系数为1 ；三、根轨迹方程从哪里来？ —— ※根据闭环系统特征方程 四、探※※根轨迹绘制的基本规则（180度和0度）（前8条）［注］ : 180度和0度的差别主要是相角条件有关的不同注：相角逆时针为正［注］:注意绘制的主要步骤必须有一一因有步骤分，而且要标注上前头方向例1:某负反馈系统的开环传递函数为 G（s）H（s）二丫怡2），试绘制系统的概略根轨迹 s2 +2s + 3解：要判断是180°根轨迹还是0°根轨迹，根据根轨迹方程G（s）H（s）=丿空 习 1标准型—— 180°根轨迹s2 +2s + 31:根轨迹的起点和终点起点》= -1 • j 2， p2 = -1 - j 2 （有复极点有起始角），n = 2 终点：N = -2 m = 12:根轨迹的分支数根轨迹的分支数 =开环极点数n =2---可以省略此步3:根轨迹的对称性和连续性：根轨迹连续且对称于实轴可以省略此步 4:根轨迹的渐近线（与实轴的交点和夹角）n - m =15:根轨迹在实轴上的分布:（-叫-2］是根轨迹6:根轨迹的起始角和终止角（只有开环复极点，因此只有出射角）芥=180° （口 詔）-.（p1 - p2） =180° . （-1 jJ2 2）一.（一1 j .2 1 j .. 2）帀=180° 54.7° -90° =144.7°,利用对称性，则 片2 »144.7°7:根轨迹与实轴的交点（根轨迹在实轴上的分离点与分离角）一 _（s2 2s 3），则坐二亠工2 2s 3）］ = °s + 2 ds ds s+2因此，s 4s ^°，所以求出 sx1 - -3.72, = °.268 （舍）&根轨迹与虚轴的交点。
若将j ■代入特征方程1 •竺® °s +2s+32s 2s 3 k(s 2H°2"】k - ° -2 3 2k与虚轴没有交点=°所以令实部，虚部分别等于°得:分析系统的稳定性： 都稳定超调五、根据根轨迹分析系统性能---根据根轨迹判断稳定性 探※※，求k值范围探※※, 量，系统型别（看根轨迹原点处开环极点的个数）等例2： 2°°8考题 已知系统结构图如下，要求R(s)E(s)°.25(s a)s2(s 1)C(s)1、 绘制参数a:°T ®的根轨迹（要有主要步骤）（1°分）；2、 确定使系统稳定的参数 旦的范围（2分）；3、 确定使系统阶跃响应无超调的参数 a的范围（2分）；4、 确定使系统出现阶跃响应出现等幅振荡时的频率（1分）5、 确定使系统出现阶跃响应出现衰减振荡时的参数 a的范围（1 分） 解：1、由题意得，系统特征方程为：D（s） = s3 +s2 +°.25s + °.25a = °则 ° . 2s5- -s § s ° . 25）则根轨迹方程为： 阳违 1（ 2分）s（s + s ° .25）绘制参数a:°—・的绘制18°°根轨迹如下：（1） 根轨迹的起点5 = °，p2 = p3 = -°.5 （ 1分），无开环有限零点；（2） 根轨迹的分支数 n=3 ；（3）根轨迹的渐近线与实轴的交点匚(1 分)：m = 0， n —m = 3。
n m、Pj 八 Zj7 j 1n -m0-0.5-0.5 13 3「JI与实轴的夹角\(21 1)二3’ l "二，l =1兀 I = -13,（4） 实轴上的根轨迹：（-：：,0］（ 1分）（5） 根轨迹与实轴的分离点（1分）da d 2 ［-4s（s2 s 0.25）］ = 0 ds ds12s2 8s 1 = 0，求出与实轴交点:q 二-0.5，S2 二-1/66） 根轨迹与虚轴的交点（1分）※应用劳斯稳定判据的特殊形式，列劳斯表：110.25（1 - a）0.25a3s2s1s0 s0.250.25a0P2,3j0.5Pi沖5当a =1，s1为全零行，此时 构筑辅助方程s2 0.25 =0，贝U s二j0.5 则根轨迹如下（3分）：2、0 va c1系统稳定（2分）;3、当根轨迹在分离点 s 1/6处，对应的a = -4s(s2 s 0.25) | 1 —s「6 272则当0 ::: a 阶跃响应无超调 （2分）274、s = j ■，则系统出现等幅振荡时的振荡频率 • =0.5 （ 1分）5、2a ::: 0.5 ( 1 分)27［注］:如果是参数根轨迹，根据闭环系统特征方程得出根轨迹方程， 并将其化成标准形式。
第五章 线性系统的频域分析法一一 第六章的基础要求：1）绘制出频率响应曲线开环幅相曲线或开环对数渐近幅频特性曲线（ Bode图）---补线-应用奈奎斯特稳定判据判断系统稳定性及系统稳定的参数范围2) 探※※利用开环对数幅频渐近特性确定最小相位系统的传递函数、频域分析法中开环传递函数的标准形式为mK【(js 1)G(s)H(s) =「旦 ，n・m——时间常数形式 sT(Ts + 1)i 4、最小相位系统开环幅相曲线的绘制mK【(jS 1)j斗G(s)H (s) =— ,n a m, K aO,T >0jj > 0s'F (Ts+1)i =41) 极坐标图的起点：1叫G(j「) K K ( ) , 「(0 J - - 900；J0 (j )“门“ 2mK 匸[(jj+1)2) 极坐标图的终点：：当处 时，Hm_G(jco)= 芈日 =0/_(n_ m)90° 0w (j ⑸旺r(jg+i)j=13) 与实轴交点 lm[G(j )H(j J] =0— 一-Re[G(j )H(j •)]4) 从起点到终点的相角及与实轴交点位置共同决定曲线所在象限 K值变化仅改变幅相曲 线的幅值及与实轴交点的位置，不改变其形状。
[注]:用箭头表示频率■■增大的方向例1 (P198) I型单位反馈控制系统开环传递函数为G(s)二Ks(T1s 1)(T2s 1)，K,T1,T2 0 ；绘制开环幅相曲线解：频率响应Kj (1 j「)(1 jT/ )K[- (T1 T2)- j(1-TT2 1 -K(T1 T2^ -KTT2 小3) 与负实轴的交点： 令Im =0^ 2 ，则Re 乂 2 厂二 匸则TT2 国(1+T1 ⑷)(1^2 ⑷)T1+T2)]2 2 2 2 (1 T1 ■ )(r T2 ■)3T1) 起点：• ■ =0 A( ■)二：：，i-) =2Q -tt2) 终点：国Ag )= Q ———(因为：(n—m )=3 )，说明整个幅相曲线在II, III象限2可见，K值变化仅改变幅相曲线的幅值及与负实轴交点的位置，不改变幅相曲线的形状三、最小相位系统开环对数渐近幅频特性曲线（ Bode图）的绘制（1）将开环传递函数分解成典型环节乘积的形式 （尾“1型）；mK【（j j ■ 1）G（冋 Hj）=―岂 ,n >m,^0,T >0j^0j）勺（j“ +1）id：将各典型环节的转折频率由低到高从左向右依次标注在横轴上< -i （最小转折频率）的频率范围设为低频段。
在低频段，开环对数渐近幅频特性La • =20 ig^v = 2 0Kg V2 0可见，其直线斜率为-20V但是要画出这低频段渐近特性直线，（P202）:1在小于第一个转折频率内任选一点 「0 ：：： J，计算La（「0）2：取特定频率「0=1，计算La（「0） =20lg KK -3：取LaC'0）为特殊值0，则 1，则计算出「0二K'⑵将•.（3）lg(不妨设为：--1/ '2/ -3/ -4^1 ),还必须确定该直线或其延长线上一点二 20lg K「20vlg 0常用（4）从低频以后，沿频率增大的方向，每遇到一个转折频率就改变直线斜率, 频率对应的典型环节种类如果典型环节为惯性环节或振荡环节，在交接频率之后，斜率要减小典型环节为一阶微分环节或二阶微分环节， 在交接频率之后，斜率要增加20dB/dec的整数倍，二阶 40dB/dec的整数倍变化规律取决于该转折20dB/dec 或 40 db/dec;如果20db/dec 或 40 db/dec即一阶（5）绘出用渐近线表示的对数幅频特性以后，如果需要，可以进行修正通常只需修正转折频率处幅值就可以了对于一阶项，在转折频率处的修正值为土3dB ;对于二阶项，在转折频率处的修正值可由公式求出。
例2已知G（s）二般不用修正K（50s 1），绘制Bode图s(500s 1)(5s 1)(s 1)解:L( .) dB四、探※※利用开环对数幅频渐近特性确定最小相位系统的传递函数1） 确定系统积分或微分环节的个数 （利用低频段低频渐近线斜率为 -20、dB/dec）KLa =20lg v =20lg K -20vlg ■c2） 确定系统其他环节（根据转折频率前后斜率变化判断对应的环节类型，利用转折频率倒数确定时间常 数）20db/dec 或 40 db/dec 对应一图中每次遇到一个交接频率改变一次分段直线的斜率且斜率的变化对应这环节的类型在交接频率之 后，斜率要减小20db/dec或40 db/de为惯性环节或振荡环节；斜率要增加 阶微分环节或二阶微分环节K3）探※※参数K的确定:已知低频段或其延长线上一点确定 La ；=20lg v =20lg K -20vlg「）1解: 1) G(s) K(忒 1G(s) = 1 s(-s 1)52) 201#= 20Kg-o3)特别指出，半对数坐标系中201 电 10 =10110( s 1)G(s)s(_s +1)5求斜率：例4 （见幻灯片）已知最小相角系统开环对数渐近幅频曲线，求开环传递函数） 。
解：1）确定结构：最左端直线的斜率为-40 db/dec, -20^ - 40，故而有2个积分环节因为从 助起, 近似对数幅频曲线斜率变化 20 db/dec和40 db/dec,故为1阶微分环节和2阶微分环节于是系统的传递函数为：G(s)二K(s/匕 1)~2s (s/ 3 1)2）确定K:法一）最左端直线的延长线和零分贝线的交点频率为 「0, 20lg K _20vlg，‘°二20lg K _40lg • ‘0 = 0 ,则 K - 0法二）：L(. ) dB斜率：-40= , -20= ——，则 —=(―^)2，贝V K - 弋2 - c .2lg '「■ 0 - lg ■ 2 lg ■ c - lg 2 ■ 2 2（已知C^c），在灼c处，直线1和2的纵坐标之和为0，即L® c ） = L!（豹c） + L2©c） = 0L|（coc）—0 L?（⑷c ）— 020= 1 c 40= 2 —gc 一©国2 （©叫—^⑷3 2因此 V0(lg ，c — lg ，0) 20(lg ，c —lg「2) = 0^V c =丄，则 0 二.c 2皎2五. 探※※频率域稳定判据1 •奈奎斯特稳定判据：闭环系统稳定的充分必要条件是闭合曲线 -GH不穿越（-1 , j0 ）点，且逆时针围绕（-1, j0）点P次。
记为：R（=2N） =P其中：N为半闭合曲线 rGH穿越（-1, j0）点左侧的的次数和相角增大为正穿越PGH :当三=0 :通常，只需绘制 0 _ ■：：：：：的半条 IGH曲线，即开环幅相曲线当 -0 :当G（S）H（S）有虚轴上的极点时， 绘制0 -•：：：：：的半条IGH曲线外，半闭合曲线还要从-=0出发，以无穷大为半径，逆时针转过v/n后的虚线圆弧，箭头指向 • = 0箭头指向•■增大的方向例5 设某单位反馈系统的开环传递函数为G(s)H(s)二(4s 1)s2(s 1)(2s 1)应用Nyquist判据判别闭环系统的稳定性2 2解. j4， 1 1 10， j，(1 -8 ■)解：G(j,.-J ：(他)(jo +1)(j2⑷ +1) 虫［(1 —岔)+9⑷］1) 绘制Nyquist曲线起点：/: =0 , A( ) ^ 即()- -1800( 讣=2)终点：』〜二， AC )=0 (，)--2700( n- m = 3)幅相曲线与负实轴有交点，可令ImG(j 3)H(j 3)=得32=1/8, 3 =0.354此时，ReG(j 3 )H(j 3 )=10.67，即幅相曲线与负实轴的交点为(-10.67, j0)。
2) 补线：位由于有一个交点，因此3=0+在实轴下面开环系统有两个极点在s平面的坐标 原点，因此幅相曲线应从3=0+开始，以无穷大半径逆时针补画180度,箭头指向3=0+如图3) 由图可见，N =-1，即R=-2系统无开环极点位于 s平面的右半部，故 P=0,所以Z=2，即系统不稳 定，并有两个闭环极点在 s平面的右侧例5-2.设系统的开环传递函数为G(s)H(s)二Ks(T1s 1)(T2s 1)，试求使系统稳定的K值范围解：1)首先作Nyquist曲线图，只求图过(-1,j0)点的K值范围2)代入^j，G( j •)=Kj (V jT1 )(V jT2 )K[七(T +T2)- j(1+TT声2)] (1 T12 2)(1 T22 2)利用相频条件与幅频条件，则|G(j「)H(j・‘)戶1，. G(j )H(j J = -180° 因此，一定与与负实轴有交点，其交点坐标为：2 1令：，因为“一，所以,罰仃“器I'，因此,T1 T2TT2即此时满足正好穿过(-1, j0)点3)分析：因为P=0,要使系统稳定，则N =0，因此，-gh不包围(-1, j0)点，则幅相曲线 与实轴的交点在(-1, j0)的右边。
当K = ―T ,正好穿过(-1, j0)，当K ::: ―T2 ,正好在(T, j0)的右边，此时R = N = 0 , TT 2 TT 2系统稳定因此系统稳定的K值范围为：0 ：：： K :::T1T22007例：已知某系统当开环增益 K -20时的开环频率特性 Nyquist图如下图所示该系统在右半平面的极点数 P=0，试分析当开环增益K变化时其取值对闭环稳定性的影响 （5分）Im-=0 '解：分析：求与负实轴的交点：令：Im = 0= ■，代入Re =因为K值变化仅改变幅相曲线的幅值及与负实轴交点的位置，不改变幅相曲线的形状所以：设A点对应的频率为-，1，B点对应的频率为 匕，贝UA 点：K = 20， - - ■<] ， | OA \ = 2求K二？，•’二-1 , \OA\ = 1，由此，K =10 （1分）幅相曲线 与负实轴交于A点B 点：K =20， - - 2， \ OB \= 0.5求K二？，••二、，\OB\ = 1，由此，K=40 （1分）幅相曲线与负实轴交于B点 注意：K ，表明与与负实轴的交点越负，即越往左边分析：因为P =0,所以当0 K ： 10，Nyquist曲线不包围（-1，j0）点，系统稳定（1分）；当10 ：：K :: 40，Nyquist曲线顺时针包围（-1，j0）点，系统不稳定（1分）；当K 40，Nyquist曲线不包围（-1，j0）点，上下穿越抵销，系统稳定（1分）；注意：求稳定的范围总是与临界稳定时的参数有关，所有域中的分析方法皆是如此。
注意：※自己看P21]例列，判断使得系统稳定的参数范围2 •对数频率稳定判据： 极坐标图 伯德图（-1,j0）点 OdB线和-180相角线（-1, - s段 OdB线以上区域结论：Nyquist曲线自上而下（自下而上）穿越（-1，j0）点左侧负实轴相当于Bode图中当L（ 3 ）>0dB时相频特性曲线自下而上（自上而下）穿越 -180G(s)H(s )有两个积分环节，故在对数相频 作为对数相频曲线的一部分显见 N= -1, 2个闭环极点位于s平面右半部3例6：一反馈控制系统，其开环传递函数为 G(s)H (s) 2 ，试用对数频率稳定判据s 仃 S +1)判断系统的稳定性(见幻灯片)解：系统的开环对数频率特性曲线如图所示由于 曲线3很小处,由下而上补画了 -180到0°勺虚线, R=-2 P=0,所以，说明闭环系统是不稳定的，有L( 3)(db)五、稳定裕度---后面校正设计用1. 孤※※相角裕度： A( c) =|G( j c)H (j c) 1相角裕度 Y——卩轨)—(―180^)=180； +NG(jtOc)H (丽2. 幅值裕度：「( 'x) = G( j x)H (j J =-180：h(dB) =20lg1G(Qx)H(jC0x)=—20lg G(Px)H(^x)工程上一般相角裕度 -30 ~70 ,幅值裕度h(dB)=20lg h _ 6dB例7 一单位反馈系统的开环传递函数为G(s) , K 0s(0.2s+1)(0.05s+1)解：试求K=1时系统的相位裕度和增益裕度。
频率特性G(j )Kj ・(j0.2， 1)(j0.05， 1)G( j c)二1 j c(j0.2 c 1)(j0.05 c 1) 1 c .'(0.04 c2 1)(0.0025 c 1)'c : 1= 180 ( -c) =180 (-90 -tan」0.2 c-tan‘0.05 c) = 180 -104 = 762) (上)=-90 -tan」0.2 x-tan」0.05 x =-180tan - tan 齐 tan T20.2 x tan ’ 0.05 x 二 90tan (弓::1-0.2 x 0.05 '^0 8=10tan q tan 二20.2 x 0.05 x1-0.2 x0.05 xh(dB) »20lg1j10(1 j2)(1 j0.5)-20lg10 20lg 1 4 20lg 、、1 0.25 =20 7 1 =28dB六、※※开环对数幅频特性的※三频段理论---后面校正设计用 1 •低频段决定了系统稳态精度低频段通常是指20lg |G（j ■ ）H （j.）的开环对数渐近曲线在第一个转折频率以前的区 段，这一段的特性完全由积分环节 v和开环增益K决定KLa（ J =20lg v =20lg K -v20lg -co20lg K - 20vlg 0 = 02. 中频段是指L（「）穿过0dB线（即c附近）的频段，其斜率及宽度（中频段长度）集中反映了 动态响应中的平稳性和快速性 （见幻灯片）。
一般的，中频段在•‘c附近以斜率为-20dB/dec 下降的直线3. 高频段指L（）曲线在中频段以后的区段， 反映出系统的低通滤波特性，形成了系统对 高频干扰信号的抑制能力（见幻灯片）第六章线性系统的校正方法要求：1）探※※※在 三频段理论基础上，能够熟练应用基于 频率法的串联超前、滞后和滞后 一超前校正设计需要的系统2）至于根轨迹校正，要求掌握其基本原理（与 基于频率法的串联超前、滞后和滞后 一超前校正可以相对应），但是由于计算起来太繁杂，一般不采用一、基本控制规律 P、PI （滞后，改善稳态性能）、PD （超前，改善动态性能）、PID 的特点、掌握基于频率法的串联超前、滞后和滞后 一超前校正原理和特点1.原理：G(j •) =Gc(j JG°(j JR(s)-串联滞后校正:保证动态性能不变情况下，提高系统稳态性能； 利用滞后校正装置高频幅值衰减特性--低频区;串联超前校正：提高相角裕度，改善系统动态性能；利用超前校正装置相角超前特性--中频区；2.两者可以放在同一个系统中使用，组成滞后一超前校正典型的频率域指标是抚，，K等指标，一般选择c， K，主要验证3.※※校正方法的选取：判断方法要会。
如果题目已经明确要求采用何种校正装置，就不 需要选择方法，即跳过这部分如果'c「’C0-超前校正如果,l'c0，且0（j'c） •---滞后校正如果'c_'c0，且0（「c） ：：： ~滞后一超前校正［注］：要求串联超前、滞后和滞后一超前校正的原理4. 探※※※校正步骤：只需要记住一种就是滞后 一超前校正步骤，所有的都包括了但是 注意，一定要验证探※※※［注］:一般无需指标间的转换，一定要有步骤（因有步骤分）例：2007设单位反馈系统的开环传递函数为 G0（s）二s(s 1)(0.007 s 1)，试采用滞后-超前校正装置进行串联校正，要求：1、 当输入信号为r（t）=t时，稳态误差ess空0.0012、 截止频率c -10rad /s3、相角裕度 _35°解：因为 ess 乞 0.001，所以 Kv =1000，取 k=Kv，作 G0（ j ）图［注意:本题已经给出具体装置类型，不用判断校正装置，如果没有明确，则:由图可知，--c0 : 27 rad/s,(或者用A( c0) =1求)G0(jc0)=「90 -arctg 27-arctg 0.007 27 二「188.6°『=180 . G0（j c0）- -8.6 :：: 45又因为 ’c l'c0所以采用滞后-超前校正装置进行校正。
2分）1、2、超前参数确定(5分)/G0( j c)二 -90"「arctg 10「arctg 0.007 10 = -178.30门卄 一［180 • Gj(c X 35贝 1 sin 爲 1.643 则4.602，1 -sin m 0.3571取= c = 10，贝U T = Jgm则超前校正为Gc1(s)二臼亘1T1S + 1确定滞后校正参数：(5分)1•尤(5= 1 0)-^=——:-0.047.4.602 10_ 0.2145s 1"0.047s 140此时，滞后校正的原系统为:G (s) = G0(S)Gc1(S)=1000(0.2145 s 1)s(s 1)(0.007s 1)(0.047s 1)1000 21452 1C =10 时，I G ( j，c) I 2 210J101J0.072 +1J0.47210.047 (： 2 ：：1)：2一 -21.3661|G'(j c)「21.3661 1取 c =1，贝U〉2T2 =1，所以 T2 ” 21.366:2T2 10 c 2 2, 2所以滞后校正为Gc2（s）—-T?s +1s 121.366s 1G(s) = Gq(S)Gcc(S)Gcz(S)=1000(0.2145s + 1)s(0.007s 1)(0.047s 1)(21.366s 1)3、验证：（3分）1）仏=1000s」，当输入信号为r（t） =t时，稳态误差ess =0.0012) 当• c =10 时，|G(j「c)|：、13 G(jc)=-90 arctg 0.245 10 - arctg 0.007 10 - arctg 0.047 10 - arctg 21.366 103--141.110孑=180 G(j c) =38.89 35所以，以Gc林册?盘%为串联校正装置，符合系统设计指标要求。
第八章非线性系统分析要求：能用 描述函数法分析 非线性系统稳定性和出现自 持振荡时的振幅和频率能用相平面法 分析非线性系统稳定性和出现自 持振荡时的稳态误差及超调量(即 振幅)［注］:一般描述函数法和相平面法二选其一即可分析非线性系统性能一、描述函数法：----※※熟练掌握运用描述函数法分析非线性系统的稳定性，判断是否 产生自持振荡；※※※如果自持振荡，正确计算产生自持振荡的振幅和频率；1 •描述函数的物理意义P411:用描述函数N(A)来代替系统中的非线性环节，描述函数N(A) 更象一个放大器，其放大倍数是 随正弦输入振幅的变化而改变的复数故描述函数又称 为 复放大系数设非线性控制系统经化简后其方块图如图所示，'f(s)———— »|~GS设图中：N (A)――非线性的描述函数r = 0 x 假设系统具有应用描述函数的条件，故非线性特性用描述函数代替G(j )――系统线性部分的频率特性则系统的闭环传递函数为:N(A)G(s)1 N(A)G(s)非线性系统对应的闭环特征方程： 1 - N(A)G(s) =0，这里N(A)为非线性特性描述函数用频率响应可表示为:1 N(A)G(j J =0则 G(j )N(A)非线性系统的Nyquist稳定判据的特征方程 N(A)G( j「)= -1。
因N( A)G( j「)曲线很难绘制，应用Nyquist稳定判 据的特征方程等价于负倒描述函数 G( j ) 1/N(A)2 •※※海运用描述函数法分析非线性系统的稳定性非线性系统的稳定性判定规则( P=0)N(A) 非线性的描述函数，A=0—•，箭头表示A增大的方向G(j ) 系统线性部分的频率特性， -0-::要判断系统的稳定性，只要在复平面上同时绘出 G(j)和- 曲线，然后根据它们的相N(A)对位置来判断非线性系统的稳定性这就是 Nguist判据在非线性系统中的推广应用— 11) 如果沿线性部分的频率响应G( j )由汽—；0向■ ■ > 移动时，非线性的 —— 曲线始N(A)终处于G(f )的左侧，即为G(j-)曲线不包围 曲线，则非线性系统稳定 对于N(A)1 1-曲线来说，随着■增长方向的右侧为不稳定区只要-曲线不进入这个区域，N(A) N(A)整个非线性系统就稳定越远离这个不稳定区域，稳定程度越高12) 如果沿线性部分的频率响应 G(j )由--0向移动时，非线性-亓& 曲线始终处 于G(r)曲线的右侧，即为G(j)曲线包围- 曲线，则非线性系统不稳定N(A)13) 如果曲线G(j ■)与曲线 —相交，非线性控制系统在交点处可能出现自持振荡。
判断N(A)原则：沿A方向，1① -——由稳定区进入不稳定区一一不稳定平衡点；N(A)1② - 由不稳定区进入稳定区 稳定平衡点， 并产生自持振荡自持振荡的频率和N(A)振幅为交点处的A和• •即满足:-1/N(A) =G(j ■)，或者用ReG(j芈A"1来求得Im[G(j )N(A)] =01［注］：判别工作点是否稳定，一定要掌握-轨迹上振幅A的增长方向，并把它标在轨N(A)迹上，否则容易得出错误的结论1［注］:一般 N(A)已知，让你求出 ，然后判断稳定性N(A)例1： 2007:非线性控制系统如下图所示1) 试用描述函数法分析a=1，b=2，k=10时，系统的稳定性2) 若系统存在自持振荡，计算自持振荡的振幅和频率3) 阐述消除自持振荡的方法Ikc—XJ—0 as(s + 1)(s + 2)(注：非线性控制系统的描述函数为： ”(厲=他」1-便1)兀A Y (A丿解：1)由题意可知，线性部分的频率特性及负倒描述函数如图所示极值为310.7854(1 分)非线性部分：N(A) = 4b,1 - a ，当A = .2a时，负倒描述函数有极值, 兀A耳 (A丿线性部分:G(j ■)二2 3—3 k⑷. _k(2国—⑷)2.2 3、2j 2、2 3、2(-3, ■ ) ' (2；r ) (-3 ■ ) (2；r )(1 分)令Im =0，则代入 ReG( j J - - k - - -1.67 ( 1 分)6 6因为ReGj •厂N(Am)所以有交点，则系统存在自持振荡,1 11一 a A2)由-丽一 4b（2分）二 A1一 1 2A10=— 6二 A :得 A, =1.03、A2 =4.1 ;有图可知，当A =1.03，•‘二迈时，是不稳定的平衡点，不发生自持振荡（2 分）当A2 =4.1，•‘ = •.. 2时，是稳定的平衡点，产生自持振荡 (3分)3) ( 5 分)(1)改变线性特性的参数，使G(j.)曲线不与-1/N(A)曲线相交； ⑵ 改变非线性特性的参数，使-1/N(A)曲线不与G(j ■)曲线相交；⑶ 增加校正环节，改变G(j.)曲线形状，不与-1/N(A)曲线相交。
二•相平面法：要求：1•正确求出对于非线性系统在每个线性区的相轨迹方程，也就是 e-e之间关系的方程(或c-C)会画相轨迹(模型中是给具体数的)※※关键是确定开关线方程2. 探※※ 如果发生自持振荡，计算振幅和周期例 2:已知 r(t) =4 1(t)，1) 给出起点在e0 =0，e^ =0的相轨迹图e-e10分)2) 计算相轨迹旋转一周所需时间和振幅5分)r -宙h e .rx •1c J *2 s解：1)设系统结构图，死区特性的表达式：\ x=0, |e|c2数学表达式： x二e「2, e - 2x = e 2,e -2因为线性部分： C廻 1，则微分方程为： C = XX(s) s因为 e=r-c， c=r-e，C=* …e， C=H-e代入则 e=-x+ri ( 1)e=0, |e|空 2--1当 t 0， r=0， 代入，贝 U e=2—e, e 2 IIe - -e - 2,e ：： -2 III则系统开关线关线：e = —2由于非线性环节有3个分区，相平面e — e分为3个线性区tCAtAD2f e =2 e -亘）2C点的横坐标M'!———0s由题意知初始条件e（0）=4 , e（0）=0在II区，则从初始值出发绘制相轨迹:II区：e・e-2=0不是标准形式（e=0且e=0,则e = 2，所以奇点（2,0））特征方程：s e-e20 1 0 1 1de de =-1 e 12 2振幅一一代表此时的位移，也就是此时与横轴的交点位置大小 例3 : 2008年 非线性控制系统如下图所示。
图中r（t）=2・1（t）1、 以c-C为相变量，写出相轨迹分区运动方程（8分）；2、 若M=0.5，画出起始于c（0） =0、C（0） =0的相轨迹（4分）；3、 利用相轨迹计算稳态误差及超调量（3分） ^0,s = _j,奇点对应着中心点一一没有一阶导数或者用解析法求）结论：II区以奇点（2,0）为中心的圆，与右开关线 e = 2的交点A（2,-2）I区：e=0 , e=C=2，水平线，与左开关线e =…2的父点B （ -2, -2）III 区：e+e+2=0 , （ e=0且e=0,则 e = —2，所以奇点（-2,0）特征方程：s2 +1 =0, s = ±j,奇点对应着中心点一一没有一阶导数或者用解析法求） 结论：III区以奇点（-2,0）为中心的圆以此例推，出现了一个封闭椭圆一一极限环 2）相平面中出现了稳定的极限环 对应着非线性的自持振荡问题：自持振荡的周期怎么算呢？幅值怎么算呢 ？如图： 这是个椭圆，1）周期：T =4（怯人Tad）2 1 .2 de, （ dj 卑）-ei解：1） （8分）根据系统结构图可得:1区M C O b 二|' M C ■ ■ ■ 0各区的运动方程：C = r -c - M -二 C c = 。